江苏省无锡市南长区九年级数学上学期期中试题 苏科版

2013－2014学年第一学期九年级数学期中试卷
（测试时间：100分钟 满分：120分 请把答案一律写在答题卡上．．．．．．．．．．．．） 一、选择题（每题3分，共30分）
1．计算16的结果为………………………………………………………………… （ ） A ．±4 B ．±2 C ．4 D ．2
2．下列根式中，与3是同类二次根式的是…………………………………………（ ） A ．8 B ．
2
3
C ．0.3
D ．27 3．一元二次方程x 2
＋5x ＋3＝0解的情况是 ……………………………………… （
） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定
4．等腰△ABC 的两边长分别是一元二次方程x 2
－9x ＋18＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是 ………………………………………………………………………… （ ） A ．9 B ． 12 C . 15 D . 12或15
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ………………………………………… （
） A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．对角互补 6．对于一组统计数据：2，4，4，5，6，9．下列说法错误的是 ……………… （ ）
A ．众数是4
B ．中位数是5
C ．极差是7
D ．平均数是5
7．下列命题：①方程x 2
＝x 的解是x ＝1；②x 2
＋4是最简二次根式；③三角形的外心到三角形三条边的
距离相等；④顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形；⑤相等的圆周角所对的弧相等；⑥方程
x 2＋4x ―1＝0的两个实数根的和为4，其中真命题
有………………………………………………………………………（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
8．如图，□ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，∠ADC ＝70°，连接AE ，则∠AEB
的度数为………………………………………………………（ ）
A ．20°
B ．24°
C ．25°
D ．26°
9．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝CD ＝8，BC ＝15，且CD 的中垂线l 交BC 于P 点，连接PD ．则四
边形ABPD 的周长为……………………………………（ ）
A ．26
B ．27
C ．28
D ．29
10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，D 为AB 边上一动点，E 为平面内一点，以点B 、C 、D 、E 为顶点
的四边形为平行四边形，则DE 的最小值为………… （ ） A ．32 2 B ．2 2 C ．823 D ．4
二、填空题（每空2分，共18分）
11．如果二次根式x ＋2有意义，那么x 的取值范围是 ．
12．化简或计算：(―5)2
＝ ；28×13
12＝ ． 13．若x ＝0是关于x 的一元二次方程(m ＋2)x 2
－3x ＋m 2
―4＝0的一个根，则m 的值为 ． 14．2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．则2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率为 ． A B C
（第10题） （第9题） A B C D l
P （第8题） A B C D O ▲
▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲
▲ ▲ ▲
▲
▲
15．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，则∠OAB ＝ ．
16．菱形的周长为24cm ，且有一内角为120º，则这个菱形的面积为
cm 2. 17．如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的三等分点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若OC ＝3，CD ＝2，则圆心O 到弦AB 的距离是 ． 18．已知一个矩形纸片ABCD ，AB ＝12，BC ＝6，点E 为DC 边上的动点（点E 不与点D 、C 重合），经过点A 、
E 折叠该纸片，得点D ′和折痕AE ，经过点E 再次折叠纸片，使点C 落在直线ED ′上，得点C ′和折痕E
F ．当点C ′恰好落在边AB 上时，DE 的长为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 19．（本题满分14分，第（1）、（2）小题每小题4分，第（3）小题6分） （1）计算：12―||1―2＋13
； （2）解方程：x 2
－2＝－2 x ；
（3）先化简，再求值：（a ―1）÷（
2a ＋1
―1），其中a 为方程x 2
＋3x ＋2＝0的一个根． 20．（本题满分8分）
某次考试中，A 、B 、C 、D 、E 五位同学的数学、英语成绩如下表所示：（单位：分）
A
B
C
D
E
平均分 标准差 极差 英语 82 88 94 85 76 85 6 18 数学
71
72
69
68
70
70
（1）求这五位同学数学成绩的标准差和极差（结果可保留根号）；
（2）为了比较同一学生不同学科考试成绩的好与差，可采用“标准分”进行比较，标准分大的成绩更好；已知：标准分＝（个人成绩―平均分）÷成绩的标准差．
请通过计算说明B 同学在这次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 21．（本题满分8分）
如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连结AE 、BD 且AE ＝AB ． （1）求证：∠ABE ＝∠EAD ； （2）若∠AEB ＝2∠ADB ， 求证：四边形ABCD 是菱形． 22．（本题满分10分）
如图，在△ABC 中，以AB 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，CE ⊥AB 分别交⊙O 于点E 、F 两点，交AB 于点G ，连接BE 、DE ．
（1）求证：∠BED ＝∠BCE ；
（2）若∠ACB ＝45°，AB ＝5， CD ＝2，求BE 及EF 的长．
（第15题） （第17题） A
B C D O
（第18题） B
C D E F
D ′ C ′
A B E ▲ ▲ ▲
▲ A
E
F
O
G
23．（本题满分10分）
某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．
（1）若外商要将这批猴头菇存放x 天后一次性出售，则x 天后这批猴头菇的销售单价为 元，销售量是 千克（用含x 的代数式表示）；
（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额―收购成本―各种费用）
24．（本题满分10分）
EG 、FH 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）如果把条件中的“EG ⊥FH ”改为“EG 与FH 的夹角为45°”，并假设正方形ABCD 的边长为1，FH
的长为5
2
（如图3），试求EG 的长度．
25．（本题满分12分）
如图，在平面直角系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，A （8，0），B （0，6），点P 从点B 出发，沿BA 以每秒1个单位的速度向点A 运动，点Q 从点A 出发，沿AO 以每秒1个单位的速度向点O 运动，当点Q 到达点O 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t 秒．
（1）用含t 的代数式表示C 点坐标；
（2）如图1，连接PQ ，过点Q 作QC ⊥AO 交AB 于点C ，在整个运动过程中，当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？
（3）如图2，以QC 为直径作⊙D ，⊙D 与AB 的另一个公共点为E ．问是否存在某一时刻t ，使得以BC 、
图1 H G
F E
D C B A 小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形ABCD ，点
E 、
F 、
G 、
H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，若EG ⊥FH ，则EG = FH ”(如图1)
经过思考，大家给出了以下两个方案：
（甲）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过点B 作BN ∥EG 交CD 于点N ； （乙）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ； 小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．…… H G F E
D C B A
H G F E
D C B A
CE、AE的长为边的三角形为直角三角形？若存在，直接写出一个
．．符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
（图1）
（图2）
2013－2014第一学期九年级期中数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（每题3分，共30分）
1．C ． 2．D ． 3．A ． 4．C . 5．A ． 6．B ． 7．C ． 8．A ． 9．D ． 10．C ． 二、填空题（每空2分，共18分）
11．x ≥―2． 12．5；8
36． 13．―2． 14．20%． 15．54º．
16．18 3. 17．7． 18．2或6． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 19．（本题满分14分，第（1）、（2）小题每小题4分，第（3）小题6分） （1）计算：12―||1―2＋13
； （2）解方程：x 2
－2＝－2 x 解：原式＝23―（2―1）＋
33
（3分） 解：x 2
+2x －2=0……（1分） ＝7
33―2＋1 …（4分） ∴x 1＝－1+3，x 2＝－1－ 3 …（4分）
（3）解：原式＝（a ―1）÷
2―a ―1
a ＋1
………………………………………………（1分） ＝（a ―1）×（―
a ＋1
a ―1
） ＝―a ―1 ……………………………………………………………（2分）
解方程x 2
＋3x ＋2＝0得x 1＝―1，x 2＝―2．…………………………………（4分）
当a ＝―1时，原式无意义，舍去； …………………………………………（5分） 当a ＝―2时，原式＝1．………………………………………………………（6分） 20．（本题满分8分）
（1）标准差为2，极差为4；……………………………………………………（4分）
（2）B 的英语标准分＝（88―85）÷6＝1
2
，………………………………………（5分）
B 的数学标准分＝（72―70）÷2＝2．…………………………………（6分）
∵1
2＜2，∴B 同学在这次考试中，数学学科考得更好．…………………（8分）
21．（本题满分8分）
（1）∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，
∴∠AEB ＝∠EAD ．………………………………………………………………（2分） ∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ， ……………………………………………（3分） ∴∠ABE ＝∠EAD ；……………………………………………………………（4分）
（2）∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，
∵∠AEB ＝2∠ADB ，∠ABE ＝∠AEB ，
∴∠ABE ＝2∠DBC ． …………………………………………………………（6分） ∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ADB ，
∴AB ＝AD ， ……………………………………………………………………（7分） ∴□ABCD 是菱形．……………………………………………………………（8分） 22．（本题满分10分）
（1）证明：连接AD ，则∠BED ＝∠BAD ．
∵CE ⊥AB ，∴∠CGB ＝90º，∴∠ABD ＋∠BCE ＝90º．……………………（1分） ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90º，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90º．…………………（2分） ∴∠BAD ＝∠BCE ，
∴∠BED ＝∠BCE ．…………………（4分）
（2）∵∠ADC ＝90º，∠ACB ＝45º， ∴∠DAC ＝∠ACB ＝45º， ∴AD ＝CD ＝2，∴BD ＝1． ………（6分） ∵∠EBD ＝∠EBD ，∠BED ＝∠BCE ． ∴△BED ∽△BCE ，∴BE BD ＝BC
BE
．∴
BE ＝3
．………………………………（8分）
连接AE ，则AE ＝2，利用面积法求得EG ＝
30
5
，………………………（9分） ∵直径AB ⊥EF ，∴EF ＝2EG ＝230
5
． ………………………………（10分）
23．（本题满分10分） 解：（1）10＋0.5x ，2000―6x ；……………………………（3分）(第1空1分) （2）由题意得：（10＋0.5x ）（2000―6x ）―10×2000―220x ＝24000．…………（6分） 解得x 1=40，x 2=200（不合题意，舍去） ……………………………………（9分） 答：这位外商想获得利润24000元需将这批猴头菇存放40天后出售．…（10分） 24．（本题满分10分）
（1）结论：EG ∶FH ＝3∶2．……………………………………………………（1分） 证明：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ． （如图a ）
∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，
∵长方形ABCD ，∴∠BAD ＝∠ADN ＝90°．∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，
∴∠BAM ＝∠DAN ， ……………………………………………………………（3分）
∴△ABM ∽△ADN ，∴AM AN ＝AB AD
， ……………………………………………（4分） ∵AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∴EG ∶FH ＝3∶2 ；………………………………（5分） （2）解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过点A 作AN ∥EG 交CD 于点N ，
∵AB ＝1，AM ＝FH ＝
52，∴在Rt △ABM 中，BM ＝1
2
，………………………（6分） 将△AND 绕点A 旋转到△APB ，
∵EG 与FH 的夹角为45°，∴∠MAN ＝45°，∴∠DAN ＋∠MAB ＝45°， 即∠PAM ＝∠MAN ＝45°，从而△APM ≌△ANM ，∴PM ＝NM ，
（图a ）
（图b ） A
B
D
E
F
O G
设DN ＝x ，则NC ＝1－x ，NM ＝PM ＝1
2
＋x ，
在Rt △CMN 中，(12＋x )2＝14＋(1－x )2
，解得x ＝13，……………………………（9分）
∴EG ＝AN ＝1＋x 2
＝10
3
．………………………………………………………（10分） 答：EG 的长为
103
． 25．（本题满分12分）
解：（1）∵CQ ∥BO ，∴△ACQ ∽△ABO ，∴CQ ＝34
t ，AQ ＝8-t ．
∴C(8-t, 3
4t ) …………………………………………………………………（2分）
（2）如图a ，PC ＝QC ．
∵CQ ＝34t ，AC ＝54t ．∴PC ＝10―9
4
t ．
∵PC ＝QC ，∴10―94t ＝34t ，解得t ＝10
3．………………………………………（4分）
如图b ，PC ＝CQ ．
由PC ＝CQ ，∠CQA ＝90º得PC ＝PA ，94t ＝58t ＝80
13． …………（6分）
如图c ，CQ ＝PC ，∴34t ＝94t ―10，解得t ＝20
3．………………………………（8分）
如图d ，CQ ＝PQ ，过Q 作QN ⊥AC 于N ，则CN ＝12PC ＝9
8t ―5，
由△CQN ∽△BAO 可求得t ＝
200
27
．……………………………………………（10分） 综上，当t ＝103、8013、203、200
27时，△CPQ
（3）t ＝100―2079或625―25337
36
．…………………………………………（12分）
（只需写出一解即可）
A B
C
P
Q O
A
B
C
P
Q O
A
C
P
Q A
B C
P
Q
O N。