2019届高考数学模拟考试试卷及答案(理科)(六)

2019届高考数学模拟考试试卷及答案（理科）（六）
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．)
1．设集合{|24}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A B ⋂=
A. [)1,2
B. (]1,2
C. [)2,+∞
D. [)1,+∞
2．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1内单调递减的是
A.2y x =
B.cos y x =
C.2x y =
D.x y ln =
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若311318,3a a S +==-,那么5a 等于
A. 4
B. 5
C. 9
D. 18
4．已知() 15sin ,15cos =， () 75sin ,75cos =OB =
A. 2
D. 1
5. 过原点且倾斜角为3
π
的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为
B. 2
C. 6
D. 32
6．设m l ,是两条不同的直线， βα,是两个不同的平面，给出下列条件， 其中能够推出l ∥m 的是 A. l ∥α，m ⊥β，α⊥β B. l ⊥α，m ⊥β，α∥β C. l ∥α，m ∥β，α∥β
D. l ∥α，m ∥β，α⊥β
7．函数()log 31a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-= 上，其中0,0>>n m ，则mn 的最大值为 A.
16
1
B. 8
1
C.
4
1
D.
2
1 8. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若32-=n n a S ，则=n S
A. 12+n
B. 121-+n
C. 323-⋅n
D. 123-⋅n
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为 A. 4
B. 2
C. 4
3
D.
23
10. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复
兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：
y
根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省
级一等奖及以上学生人数为63
人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为 A. 111
B. 117
C.118
D.123
11．已知1F 、2F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=
>>的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支
上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为 B.
4
3 C. 5
3
D. 2
12. 设函数bx ax x x f ++=2ln )(，若1=x 是函数)(x f 的极大值点，则实数a 的取值
范围是
A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛
∞-21， B. ()1，∞-
C. [)∞+，1
D. ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞+，21
2018年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.已知正方形ABCD 边长为2, M 是CD 的中点,则⋅= .
14.若实数,x y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+≤111
x y y x y ，则2x y +的最大值为 .
15.直线l 与抛物线x y 42=相交于不同两点B A 、,若）4,(0x M 是AB 中点，则直线l 的 斜率=k .
16.已知锐角111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222A B C ∆的三个内角的正弦值, 其中2
2π
>A ,若122=C B ,则2222322C A B A +的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分12分)
已知函数2()sin cos f x x x x +.
（1）当0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域；
（2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b
c ()2
A f =,4,5a b c =+=，
求ABC ∆的面积.
18. (本小题满分12分)
某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 44
将学生日均课外体育锻炼时间在[)40,60的学生评价为“课外体育达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；
合
（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”
与性别有关？
参考公式2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++
19. (本小题满分12分)
如图，直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ACB 且21===AA BC AC ，E 是棱1CC 上
A 1
动点，F 是AB 中点.
（1）当E 是1CC 中点时，求证：//CF 平面1AEB ；
（2）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面1AEB 与平面ABC 所成锐二面角为
6
π
， 若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.
20. (本小题满分12分)
已知F 是椭圆12
62
2=+y x 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于),(11y x A ，),(22y x B 两点.
（1）若321=+x x ，求AB 弦长；
（2）O 为坐标原点,θ=∠AOB ,满足64tan 3=⋅θ，求直线l 的方程.
21. (本小题满分12分) 已知函数)0(12
)2ln()(≥++
+=x x
ax x f . （1）当2=a 时，求)(x f 的最小值；
（2）若12ln 2)(+≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 在极坐标系中，曲线1C 的方程为223
12sin ρθ
=
+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴
建立平面直角坐标系，曲线2C 的方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21232（t 为参数）. （1）求曲线1C 的参数方程和曲线2C 的普通方程； （2）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的最大值.
23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分) 已知函数()22f x x a x =--+.
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）当2a =时，函数()f x 的最小值为t ，114t m
n
+=- (0,0)m n >>，求m n +的最小值.
理科数学答案
二、填空题
13. 2 14. 5 15. 2
1
16. 10 三、解答题
17．（1）题意知，由2()sin cos sin(2)3f x x x x x π=+=-+
∵0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin(2)3x π⎡-∈⎢⎣⎦
可得()f x ⎡∈⎣
（2）∵()22
A f =，∴sin()03A π-=，∵()0,A π∈可得3A π=
A 1
∵4,5a b c =+=，
∴由余弦定理可得22216()3253b c bc b c bc bc =+-=+-=-
∴3bc =
∴1sin 2ABC S bc A ∆==18. (1)
(2) 22
200(60203090)200
6.060 6.635150509011033
K ⨯-⨯=
==<⨯⨯⨯ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.
19.（1）取1AB 中点G ，连结FG EG 、，则FG ∥1BB 且12
1
BB FG =.
因为当E 为1CC 中点时，CE ∥1BB 且121
BB CE =，
所以FG ∥CE 且=FG CE .
所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1AEB CF 平面⊄，1AEB EG 平面⊂， 所以//CF 平面1AEB ；
（2）假设存在满足条件的点E ，设()10≤≤=λλCE . 以F 为原点，向量1AA FC FB 、、方向为x 轴、
y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系
.
则()0,0,3-A ，()
2,0,31B ，()λ,1,0E ，平面ABC 的法向量()1,0,0=m ， 平面1AEB 的法向量()3,333--=
λ，，()
2
3
19933cos 2
=
-++=
=λ， 解得1=λ，所以存在满足条件的点E ，此时1=CE .
20.(1) 061212)13()
2(6
3222222=-+-+⇒⎩⎨⎧-==+k x k x k x k y y x
613221=⇒=⇒=+AB k x x (2) 3
6
264tan 3=⇒=⋅∆AOB S OB OA θ ()233,2-±==⇒x y x
21. 01)2(4
)(2
2≥++-+='x x ax a ax x f ，）
（ （1）当2=a 时3
211
)(）
（+-='x x x f ,12ln 2)1()(min +==f x f （2）00≥⇒≥a x
①0=a 时, 12ln 212ln )1(+<+=f 不成立
②4≥a 时, 0)(≥'x f ,)(x f 在),0(+∞递增, 12ln 222ln )0()(+>+=≥f x f 成立 ③40<<a 时, )(x f 在)4,
0(a a -递减, ),4(∞+-a
a
递增 14224ln )4(
)(min +-++-=-=a
a
a
a
a a a f x f ）（
设
14042+=⇒>=-t a t a a ,1221
4ln )()4()(2min ++++==-=t t t t g a a f x f ）（ 0)1()1(4)(2
22
<++-='t t t t g ,所以)(t g 在),0(+∞递减,又12ln 2)1(+=g 所以⇒≤<10t 4214<≤⇒≤-a a
a
综上: 2≥a
22. （1）曲线1C 的参数方程为1:sin x C y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）
曲线2C 的普通方程为20x -=
（2）设曲线1C 上任意一点,sin )P αα，点P 到20x -=的距离
2
d==
∵2)22
4
π
α
≤+-≤
∴0d
≤≤
所以曲线
1
C上的点到曲线
2
C
的距离的最大值为
2
2
23．（1）当1
a=时，不等式为2120212
x x x x
--+≥⇔-≥+
两边平方得22
4(1)(2)
x x
-≥+，解得4
x≥或0
x≤
∴()0
f x≥的解集为(][)
,04,
-∞⋃+∞
（2）当2
a=时，
6,2,
()22223,22
6,2
x x
f x x x x x
x x
-≤-
⎧
⎪
=--+=--<<
⎨
⎪-≥
⎩
，可得4
t=-，∴
11
4
4
m n
+=(0,0)
m n
>>
∴
111
()
44
m n m n
m n
⎛⎫
+=++
⎪
⎝⎭
15159
1
4444416
n m
m n
⎛⎫⎛⎫
=++≥+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
当且仅当2
m n
=，即
3
16
n=，
3
8
m=时取等号.。