河北张家口市第一中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

河北张家口市第一中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕
原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02π
θ⎛⎤∈
⎥
⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤
+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<，
∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
2．设函数()sin 6f x M x πω⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）
A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()f x 的最大值为M
C ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减
D ．5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】
已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,2
2
k k k Z π
πππ⎛⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T π
πω=
=，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
当0x =时，()0sin 20sin 662
M
f M M ππ⎛
⎫
=⨯+== ⎪⎝
⎭，故选项A 错误； 因为()sin 26f x M x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以最大值为M ，故选项B 正确； 由解析式可知()f x 在3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤+
∈ 即2,6
3x k k π
πππ⎡⎤
∈+
+
⎢⎥⎣
⎦
上单调递减，当0k =时，选项C 正确；
由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26
x k π
π+=，即212
k x ππ=
- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.
3．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）
A ．2A =
B ．点7,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 图像的一个对称中心 C ．6
π=
ϕ D ．直线3
x π
=
是()f x 图像的一条对称轴
【答案】ABD 【分析】
由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.
【详解】
因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得2
1
A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；
()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2
ϕ=
.又0ϕπ<<，所以3π
ϕ=，故C 错误；
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
令23
x k π
π+
=，k ∈Z ，解得62πk π
x =-+
，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为6
2
π
k πx =-+， 令1k =，则3
x π
=，D 正确；
令23
2
x k π
π
π+
=
+，k ∈Z ，解得12
2
k x π
π
=
+
，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故B 正确.
故选：ABD 【点睛】
本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，
()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系
数法求解.
4．已知函数()1
cos cos 632
f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减 C ．51,62π⎛⎫
⎪⎝
⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为
1
2
【答案】ABC 【分析】
利用三角恒等变换思想化简()11
sin 2232
f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判
断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】
cos cos sin 326
6x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，
()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，32232x πππ≤+≤， 此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，
5151111sin 2sin 26
2632222f π
πππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭， 所以，51,62π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 11
1122
f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
()sin y A ωx φ=+形式，
再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
5．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则下列说法正确的是（ ）
A ．4
π
ϕ=-
B ．()f x 的最小正周期为4
C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03
⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】BCD 【分析】
先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利
用最高点42,33D ⎛⎫
⎪⎝⎭
解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确. 【详解】
由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，
选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω
=-
，0612262T x AB ϕ
πω
ω-
=
=⋅==，解得6
πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==
，得013x =，故1,03A ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 最小正周期414433T ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，B 正确；
选项C 中，由24T π
ω
=
=，得2
πω=
，结合最高点42,33D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，知43A =，即
()4sin 326f x x ππ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是
()f x 的一个单调增区间，C 正确；
选项D 中，5
3
x =-时()5454sin sin 0332363
f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=
⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.
故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：
解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.
6．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<
），在
,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫
-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则下列结论错误的是（ ）
A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=
B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2
π
【答案】ABD 【分析】
根据条件先求函数的解析式，
对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；
对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】 因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上既无最大值，也无最小值， 所以,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，
即函数的周期223
3T π
π
≥⨯
=
，即223
ππω≥，则03ω<≤
因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以06212
π
π+
=为函数的一条对称轴；
则1223
πππ
ωϕωϕπ+=
+=①② 由①②解得：=2=
3
π
ωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π
-==,则21x x -必为2
π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π
=-
时，()sin 03f x A π⎛⎫=-
≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭
不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,12
12x k k π
πππ⎡
⎤∈+
+
⎢⎥⎣
⎦
时，322,2322x k k πππππ⎡⎤
+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;
对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是
44
T π
=,故D 错误，
可选D 故选:ABD 【点睛】
（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；
（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或
cos y x =的性质解题.
7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2
C π
>
，则222sin sin sin C A B >+
C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】
根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理
sin sin a b
A B
=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.
2
C π
>，222
cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知
222sin sin sin C A B >+，故B 正确；
C.当02
A π
<<
时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫
<⇔-<
⎪⎝⎭
，即2
2
A B A B π
π
->⇒+<
，即2
C π
>
，则ABC 为钝角三角形，若2
A π
>
，
sin cos cos cos 2A B A B π⎛
⎫<⇔-< ⎪⎝
⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当
2
A π
=
是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，
故C 正确；
D.A B A B ππ+<⇒<-，
0,0A B πππ<<<-<，
()cos cos cos A B B π∴>-=-，
即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.
8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称
B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]
1,2- 【答案】BC 【分析】
利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在
[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，因为06f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
62f f ππ⎛⎫
⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，故A 错误；
对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
27,636x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，
()()()
cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()
cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减，
当,2x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
时，()max 2f x f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭()
()min
1f x f π==-.
所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；
对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.
故选：BC. 【点睛】
方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[]
,a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或
()cos y A x k ωϕ=++的形式；
第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
二、数列多选题
9．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列
B ．满足100n S <的n 的最大值是9
C ．n S 除以4的余数只能为0或1
D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】
根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得(
)*
21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为()111n n na n a +-+=，
故等式两边同除以()1n n +得：()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()1211122121
1n n a a n n n n n n --=------=--，，
2111121122
a a =-⨯-=
故根据累加法得：()11121n a a n n
n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足，
故()*21n a n n N =-∈
所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()
21212n n n S n +-=
=， 故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确；
对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能
为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正
确；
对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.
故选：ABC
【点睛】
本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得
()1111111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-
B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
【答案】AC
【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=，
所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题.
等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定； （2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。