高三数学组合一周强化华东师大版

组合一周强化
一、一周知识概述
本周学习的内容包括组合的概念、组合数、组合数公式的性质以及组合知识的应用．然后还学习了加法原理，了解加法原理与乘法原理的区别．组合问题与前面学习的排列问题是并行的，组合数公式的推导依据的是排列数公式，学习时应明确二者联系与区别．
二、重难点归纳
1、本周学习的第一个重点是组合的概念、组合数公式
组合的概念：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．对比组合与排列的定义可以看出，它们的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合仅仅是“并成一组”，因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．
另一方面，由组合数公式，亦可说明，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的排列数的计算可分成两步：先求；再对取出的m个元素进行全排列．
2、本周学习的第二个重点是组合数的两个性质
组合数的两个性质：
组合数的两个性质既可用组合数公式进行推导证明，也可以利用解决组合问题的基本思路来推导．对的理解：从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m 个元素，也就是说，从n个不同元素中，取出m个元素的每一个组合，都对应于从n
个不同元素中取n－m个元素的唯一的一个组合，反过来也如此．对的理解：把n＋1个元素分为不含某元素a和含某元素a两类，不含a这一类，从n＋1个元素中取m个元素的组合，相当于从n个元素中取m个元素的组合，组合数为；含a的这一类，a必被取出，从n＋1个元素中取m个元素的组合，相当于从其余的n个元素中取m－1个元素的组合，组合数为，根据加法原理有．
两条性质的主要应用体现在化简计算上．性质①常用于时组合数的计算，这样可以使计算简便；性质②常用于恒等式变形和证明不等式，它在与组合数有关的数列求和中有非常重要的作用．
3、计数原理II――加法原理
加法原理：完成一件事，有k类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1＋m2＋…＋m n 种不同的方法．
加法原理中“完成一件事有n类方法”，是指一件事在一定标准下的分类，标准不同，分类也不同，分类要满足“不重不漏”的原则．完成这件事的各种方法是互相独立、互相排斥的，每一种方法都完成这件事情．
4、本周学习的第三个重点，也是本周的难点，即解答组合应用题
解答组合应用题的总体思路为：①整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果是使用分类计数原理；②局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步计数原理；③考察顺序、无序的问题，用组合解答；有序的问题属排列问题；④辩证地看待“元素”与“位置”．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”效果更好．同一个问题，应从多个角度去思考，既可防止重复与遗漏，又可提高分析问题，解决问题的能力．
三、典型例题剖析
例1、6人住在两间屋子里，
（1）每屋住3人；
（2）每屋至少住1人，问各有多少种分配方法？
例2、要从12人中选5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须入选；
（2）甲、乙、丙三人不能入选；
（3）甲、乙、丙三人只有一人入选；
（4）甲、乙、丙三人至少一人入选；
（5）甲、乙、丙三人至多二人入选．
例3、证明：（1）
（2）
（3）
例4、11名学生，有5名只会英语，4名只会日语，2人既会英语也会日语，从中选4人参加英语比赛，4人参加日语比赛，有多少种不同的选法？
例5、平面上有9个点，其中4个点共线，此外无3点共线.
（1）经过这9个点可确定多少条直线？
（2）以这9个点为顶点可确定多少个三角形？
（3）以这9个点为顶点可确定多少个四边形？
试题答案
三、例1：
解答：（1）每屋住3人，可这样安排：先从6人中选出3人住第一间屋子里，有
种选法；剩下3人，住在第二间，有种选法；故有=20种分配方法．（2）每屋至少住1人，可考虑第一间屋子，若仅住1人，则有种；仅住2人，
有种；仅住3人，有种，仅住4人，有种；住进5人，有种，故共有62种分配方法．
点评：注意组合和排列的异同点，相同点：两者都是从n个不同的元素中取出m 个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

解答：（1）每屋住3人，可这样安排：先从6人中选出3人住第一间屋子里，有
种选法；剩下3人，住在第二间，有种选法；故有=20种分配方法．（2）每屋至少住1人，可考虑第一间屋子，若仅住1人，则有种；仅住2人，
有种；仅住3人，有种，仅住4人，有种；住进5人，有种，故共有62种分配方法．
点评：注意组合和排列的异同点，相同点：两者都是从n个不同的元素中取出m个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

分析：两大性质：（1），
（2）．
应用它们应抓住特点，配凑形式.
证明：（1）构造模型：从n个元素中取k个元素的组合数可分三类：
第一类：不含A、B的有种，第二类含A、B中一个有种，第三类含A、B的有种，由分类计数原理有：.
（2），
∴命题成立.
第三类：
∴原命题成立.
点评：利用组合数的性质与组合数中m≤n，且m，n∈N来解决一些有关组合数的计算问题．性质，在计算m≥时比较有用，而性质
也可化为来用，在组合里，最后结果一般用数字作答．分析：两大性质：（1），
（2）．
应用它们应抓住特点，配凑形式.
证明：（1）构造模型：从n个元素中取k个元素的组合数可分三类：
第一类：不含A、B的有种，第二类含A、B中一个有种，第三类含A、B的有种，由分类计数原理有：.
（2），
∴命题成立.
第三类：
∴原命题成立.
点评：利用组合数的性质与组合数中m≤n，且m，n∈N来解决一些有关组合数的计算问题．性质，在计算m≥时比较有用，而性质
也可化为来用，在组合里，最后结果一般用数字作答．分析：分析出所需图形的构成方式，对元素进行正确的分类.
解答：（1）直线须用两点来确定，这些直线可分三大类：第一类是从共线的4点中的点能形成一条；第二类在这4点中及另外的5点中各取一个点，形成直线条；第三类两点均在5点中取，有直线条，故共形成的直线有条.
（2）确定的三角形有个.
（3）个.
注：以上几问均可用间接法做，请读者自己完成.。