计数统计量和秩统计量

1)(n 12
1)
,i
1,2,, n
c
ov(Ri
,
R
j
)
(n 1) 12
,
i
j, i,
j
1,2,, n
证明：由 R (R1, R2 ,的边, R缘n )分布也是均匀分布，
P(Ri
r)
1 ,r n
1,2,, n
P(Ri
r, Rj
s)
1 ,r n(n 1)
s, r, s
1,2,, n
从而，有
由定理1.2.1可知，任一由 1, 2 ,, n , 构成的统计量 S(1, 2 ,, n ) 关于一切 p0 分位点为 0 的分布类是适应 任意分布的。这样的统计量称为计数统计量。最常用的一
个计数统计量为
n
B i
i 1
例3 符号检验 设随机变量 X1, X 2 ,, X n 相互独立同分布，分
P(Ri
r)
1 N
当r 1,2,, N
0
其他
二维边缘分布有，当 i j 时，有
P(Ri
r, Rj
s)
1 N (N 1)
当r s, r, s 1,2,, N
0
其他
定理1.3.3对秩统计量 R (R1, R2 ,, Rn ) 有
E(Ri
)
n 1,i 2
1,2,, n
var(Ri
)
(n
则 R 服从均匀分布.
证明 P{R r} P{( R1, R2 ,, RN ) (r1, r2 ,rN )}
P{( Z1 , Z 2 ,, Z N ) (Z (r1) , Z (r2 ) ,Z (rN ) )}
因为
P{( Z d1 , Z d2 ,, Z dN ) (Z (1) , Z (2) , Z (N ) )} P{( Z d1 Z d2 Z dN )}
n(n 1) r1
2
n(n 1) 12
(n 1) ,i j,i, j 1,2,, n 12
Tn (X1, X 2 ,, X n ) n(X ) /
则 {Tn } 关于￡是渐近适应任意分布的统计量.其极限分布为
N (0,1)
第二节计数统计量
定义1.2.1 设 X 是一个随机变量，对一给定的实数 0，定义
随机变量 (X 0 ) ，其中
(t)
1 0
t 0 t0
则称随机变量 为 X 按 0 分段的计数统计量。
例1设随机变量 X1, X 2 ,, X n相互独立同分布，分布为 N (0 , 2 )
参数 0 已知， 2未知。 ￡ {N(0 , 2 ) 0}
取统计量 其中
T(X1, X 2 ,, X n )
n(X 0 ) / S
1
X
1 n
n i1
Xi,S
1 n 1
n
(Xi
i 1
X
)
2
2
则T关于￡是适应任意分布的.
Ri r,当Zi Z (r) , i 1,2,, N
当 Ri 唯一确定时，称样本观测值 Z i 有秩 Ri . 注意：由于F(z) 为连续分布，因而 Ri 不唯一确定的概率为0.
定理1.3.1记 R (R1, R2 ,, RN ) ，则集合 R {(r1, r2 ,, rN ) (r1, r2 ,, rN )是（1，2，，N）的全排列｝
E(Ri )
n r 1r1 n源自n(r 1
r)
1 n
n(n 1) 2
1 n
n 1,i 2
1,2,, n
var(Ri )
E(Ri2 )
E 2 (Ri )
n r 1
r2
1 n
( n 1)2 2
1 n(n 1)(2n 1) ( n 1)2 (n 1)(n 1)
n
6
2
12
cov(Ri , R j ) E[(Ri E(Ri ))(R j E(R j ))]
第一章 计数统计量和秩统计量
第一节 适应任意分布的统计量 第二节 计数统计量 第三节 秩统计量 第四节 符号秩统计量
第一节 适应任意分布的统计量
定义1.1 .1 设随机变量 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 F(x) 的样本， 一切可能的 F(x) 组成分布类￡。如果统计量 T (X1, X 2 ,, X n ) 对任意的 F(x)均有相同的分布，则称T关于￡是适应任意分 布的（d-free）.
d
(Z d1 , Z d2 ,, Z dN ) (Z1, Z 2 ,, Z N )
所以 P{R r} P{(Z d1 Z d2 Z dN )} P{(Z1 Z 2 Z N )} 1 N!
定理1.3.2 R (R1, R2 ,, RN ) 的边缘分布也是均匀分布， 特别地，一维边缘分布有
布为 F(x) ，F(x) 在 x 0连续。假设检验问题
H0
:
F (0)
n
1 2
;
H1
n
:
F (0)
1; 2
检验统计量可取 B i ( X i ) ，即为 X1, X 2 ,, X n
中取正号的个数。在原i1假设成i1立时， B ~ B(n,0.5)
+
第三节 秩统计量
定义1.3.1 设 Z1, Z2 ,, Z N , 是来自连续分布 F(z) 的简单随机 样本 Z(1) Z(2) Z(N ) , 为其次序统计量.定义随机变量
n 1 n 1
1
n1 n1
0 (r )(s )
(r )(s )
rs
2
2 rs n(n 1)
2
2
1
(r n 1)(s n 1)
n(n 1) rs
2
2
1
n
{[
(r n 1)]2
n
(r n 1)2}
n(n 1) r1
2
r 1
2
1 {0 n (r n 1)2} 1 n(n 1)(n 1)
定理1.2.1 设随机变量 X1, X 2 ,, X n相互独立。 X i 有分布 Fi (x) (i 1,2,n) 。Fi (0 ) p0 (0 p0 1)
则 i ( X i 0 ) (i 1,2,n) 是相互独立同分布的随机变量， 其共同分布为参数为 (1 p0 ) 的两点分布。
定义1.1.2 设随机变量 X1, X 2 ,, X n是来自总体F(x) 的样本， 一切可能的 F(x) 组成分布类￡。如果统计量
{Tn ( X1, X 2 ,, X n ), n 1,2,}
对任意的 F(x)均有相同的极限分布，则称 {Tn } 关于￡是 渐近适应任意分布的.
例2设随机变量 X1, X 2 ,, X n相互独立同分布，分布为 F(x) 分布类￡ {期望为，方差为σ2 0的分布} 取统计量