巧建坐标系 妙用解析法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线BF与直线GE的交点K的坐标为（65，125），交点K到圆心的距离为32，即点K在圆上.
又因为点K在直线GE上，所以点K就是点M，可得点M在线段BF上.
评注第（1）题证明点G在圆上，只要证明点G到圆心的距离等于半径，若以点F为原点，AC所在直线为x轴，DF所在直线为y轴建立坐标系，那么很容易表示出点A，B，E，P的坐标，从而求出直线AB及EP的解析式，再进一步得出直线AB及EP的交点G的坐标.而以DF为直径的圆的圆心坐标和半径均易求，这样问题得解;第（2）题以DF为直径的圆的解析式到高中才学，因此我们可以另辟蹊径，证明EG与BF的交点即为点M，于是问题就转化为求直线GE和BF的解析式，得出其交点K的坐标，再证明点K在圆上，于是点K就是点M.第（1）小题不用解析法也可得证，但第（2）小题不用解析法显然有困难.本题是一个几何证明题，如果没有原题中的提示，解题思路很难形成，这就需要平时多加积累，获取经验，要证明直线过定点，往往可以建立合适的坐标系，求出点的坐标及直线解析式，验证点的坐标满足解析式即可，几何问题运用解析法，此题是比较典型的一例.
1几何问题
1.1过定点问题
例1如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=6，D是斜边AB的中点，过点D分别作BC，AC的垂线，垂足分别为点E，F，点G是线段AD上一点，连结EG交线段DF于点P，且DP=1.
（1）求证：点G在以DF为直径的圆上;
（2）若以DF为直径的圆与线段GE相交于另一点M，求证：点M在线段BF上.
巧建坐标系 妙用解析法
作者：安国钗 张正华
来源：《理科考试研究·初中》2019年第12期
摘要：某些非函数问题通过建立平面直角坐标系，巧妙运用解析法可以得到有效的解决.本文从过定点问题、立方体展开图、网格问题、方程不等式、程序框图等几个方面，分类例举如何巧建坐标系，有效地运用解析法，为解题提供新的途径.
小州同学思考了几分钟后，有了这样的思路：以点F为原点，AC所在直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，把点G看成是直线EP与AB的交点.请根据小州同学的思路，完成这道题目.
解析（1）如图2，以点F为原点，AC所在的直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，易证四边形DFCE是矩形.
所以DE//AC，DF//BC.
1.3网格问题
例3如图8，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点.
（1）AE的长等于;
（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图8所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）.
所以A（0，4），B（8，0）.
即AC=4，BC=8，S△ABC=16.
所以该方案纸片利用率=616=37.5%.
（3）如图7建立坐标系，则直线AB经过（-2，0），（-1，2），其解折式为y=2x+4;直线AC经过（2，1），（0，2），其解折式为y=-12x+2，直线BC经过（2，0），（0，-1），其解折式为y=12x-1.
1.2立方体展开图问题
例2操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
说明（如图4）：方案一：图形中的圆过点A，B，C;
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点.0%.
发现：（1）方案一中的点A，B恰好为该圆一直径的两个端点.你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由.
則y=x+3，y=13x+2.解得x=-32，y=32.
可得点G（-32，32）.
以DF为直径的圆的圆心Q坐标为（0，32），半径为32，所以QG=32.
所以点G在以DF为直径的圆上.
（2）如图3，易得直线BF∶y=2x，直线GE：y=13x+2，则y=2x，y=13x+2.解得x=65，y=125.
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%.请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程.
探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三，如图5），请直接写出方案三的利用率.
解析（2）如图6建立坐标系，可得E（2，3），F（4，2），得直线EF解折式为y=-12x+4.
因为D是AB的中点，
所以DE=DF=12×6=3.
由题意得，点D（0，3），B（3，6），E（3，3）.
因为PD=1，所以PF=2，所以P（0，2）.
设直线BD的解析式为y=kx+b，把B（3，6）和D（0，3）代入得3k+b=6，b=3，解得k=1，b=3.
所以直线BD∶y=x+3.
同理得直线PE：y=13x+2.
关键词：解题教学;坐标系;解析法
函数是初中数学的核心内容，也是抽象、模型、对应思想的主要载体，是高中数学函数内容的基础.函数也是数与形的自然载体，函数解析式有着代数的属性，函数图象和性质又有着几何属性，在平面直角坐标系中能实现数与形的完美结合.在数学解题教学中，某些非函数问题通过建立平面直角坐标系，巧妙运用解析法可以得到有效的解决，在平时数学中值得关注.
直线AB，AC，BC两两交于点A（-45，125），B（-103，-83），C（3，12）.
作矩形刚好覆盖△ABC，则S△ABC =S矩形-三个直角三角形的面积=36130，所以该方案纸片利用率=636130=49.9%.
评注如果直接求直角三角形纸片的面积，需求两直角边长，纯粹用几何方法难度较大，特别是方案三，需添多条辅助线，反复利用相似三角形的判定与性质定理才能求出两直角边长.不妨换种思路，注意正方体展开图是六个小正方形，各内角均为直角，而且方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点，因此联想到若建立坐标系的话，可表示出小正方形各顶点坐标，从而各边所在直线的解析式也可求出，联立解析式组成方程组就可求得三角形各顶点坐标，再把三角形面积转化为矩形面积减去三个小直角三角面积，解起来可谓是水到渠成.立方体展开图实际上也可以把它看成特殊的网格图，依托直角建立平面直角坐标系，由点的坐标得出特定的横向、纵向线段长度，进一步求出各图形面积，充分体现数学知识间的联系，综合运用数形结合、化归思想、函数思想等.
又因为点K在直线GE上，所以点K就是点M，可得点M在线段BF上.
评注第（1）题证明点G在圆上，只要证明点G到圆心的距离等于半径，若以点F为原点，AC所在直线为x轴，DF所在直线为y轴建立坐标系，那么很容易表示出点A，B，E，P的坐标，从而求出直线AB及EP的解析式，再进一步得出直线AB及EP的交点G的坐标.而以DF为直径的圆的圆心坐标和半径均易求，这样问题得解;第（2）题以DF为直径的圆的解析式到高中才学，因此我们可以另辟蹊径，证明EG与BF的交点即为点M，于是问题就转化为求直线GE和BF的解析式，得出其交点K的坐标，再证明点K在圆上，于是点K就是点M.第（1）小题不用解析法也可得证，但第（2）小题不用解析法显然有困难.本题是一个几何证明题，如果没有原题中的提示，解题思路很难形成，这就需要平时多加积累，获取经验，要证明直线过定点，往往可以建立合适的坐标系，求出点的坐标及直线解析式，验证点的坐标满足解析式即可，几何问题运用解析法，此题是比较典型的一例.
1几何问题
1.1过定点问题
例1如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=6，D是斜边AB的中点，过点D分别作BC，AC的垂线，垂足分别为点E，F，点G是线段AD上一点，连结EG交线段DF于点P，且DP=1.
（1）求证：点G在以DF为直径的圆上;
（2）若以DF为直径的圆与线段GE相交于另一点M，求证：点M在线段BF上.
巧建坐标系 妙用解析法
作者：安国钗 张正华
来源：《理科考试研究·初中》2019年第12期
摘要：某些非函数问题通过建立平面直角坐标系，巧妙运用解析法可以得到有效的解决.本文从过定点问题、立方体展开图、网格问题、方程不等式、程序框图等几个方面，分类例举如何巧建坐标系，有效地运用解析法，为解题提供新的途径.
小州同学思考了几分钟后，有了这样的思路：以点F为原点，AC所在直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，把点G看成是直线EP与AB的交点.请根据小州同学的思路，完成这道题目.
解析（1）如图2，以点F为原点，AC所在的直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，易证四边形DFCE是矩形.
所以DE//AC，DF//BC.
1.3网格问题
例3如图8，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点.
（1）AE的长等于;
（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图8所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）.
所以A（0，4），B（8，0）.
即AC=4，BC=8，S△ABC=16.
所以该方案纸片利用率=616=37.5%.
（3）如图7建立坐标系，则直线AB经过（-2，0），（-1，2），其解折式为y=2x+4;直线AC经过（2，1），（0，2），其解折式为y=-12x+2，直线BC经过（2，0），（0，-1），其解折式为y=12x-1.
1.2立方体展开图问题
例2操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
说明（如图4）：方案一：图形中的圆过点A，B，C;
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点.0%.
发现：（1）方案一中的点A，B恰好为该圆一直径的两个端点.你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由.
則y=x+3，y=13x+2.解得x=-32，y=32.
可得点G（-32，32）.
以DF为直径的圆的圆心Q坐标为（0，32），半径为32，所以QG=32.
所以点G在以DF为直径的圆上.
（2）如图3，易得直线BF∶y=2x，直线GE：y=13x+2，则y=2x，y=13x+2.解得x=65，y=125.
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%.请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程.
探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三，如图5），请直接写出方案三的利用率.
解析（2）如图6建立坐标系，可得E（2，3），F（4，2），得直线EF解折式为y=-12x+4.
因为D是AB的中点，
所以DE=DF=12×6=3.
由题意得，点D（0，3），B（3，6），E（3，3）.
因为PD=1，所以PF=2，所以P（0，2）.
设直线BD的解析式为y=kx+b，把B（3，6）和D（0，3）代入得3k+b=6，b=3，解得k=1，b=3.
所以直线BD∶y=x+3.
同理得直线PE：y=13x+2.
关键词：解题教学;坐标系;解析法
函数是初中数学的核心内容，也是抽象、模型、对应思想的主要载体，是高中数学函数内容的基础.函数也是数与形的自然载体，函数解析式有着代数的属性，函数图象和性质又有着几何属性，在平面直角坐标系中能实现数与形的完美结合.在数学解题教学中，某些非函数问题通过建立平面直角坐标系，巧妙运用解析法可以得到有效的解决，在平时数学中值得关注.
直线AB，AC，BC两两交于点A（-45，125），B（-103，-83），C（3，12）.
作矩形刚好覆盖△ABC，则S△ABC =S矩形-三个直角三角形的面积=36130，所以该方案纸片利用率=636130=49.9%.
评注如果直接求直角三角形纸片的面积，需求两直角边长，纯粹用几何方法难度较大，特别是方案三，需添多条辅助线，反复利用相似三角形的判定与性质定理才能求出两直角边长.不妨换种思路，注意正方体展开图是六个小正方形，各内角均为直角，而且方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点，因此联想到若建立坐标系的话，可表示出小正方形各顶点坐标，从而各边所在直线的解析式也可求出，联立解析式组成方程组就可求得三角形各顶点坐标，再把三角形面积转化为矩形面积减去三个小直角三角面积，解起来可谓是水到渠成.立方体展开图实际上也可以把它看成特殊的网格图，依托直角建立平面直角坐标系，由点的坐标得出特定的横向、纵向线段长度，进一步求出各图形面积，充分体现数学知识间的联系，综合运用数形结合、化归思想、函数思想等.