职高数学7

动脑思考 探索新知
如图，设有两个非零向量a， b，作 OA a，
A
a OB b，由射线OA与OB所形成的的角叫做向量
a与向量b的夹角，记作<a，b>．
O
b
B
两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b
的内积，记作a·b， 即 a·b＝|a||b|cos<a，b>
(7.10)
由内积的定义可知 a·0＝0, 0·a＝0.
没有产生位移，没有做功，水平方向
图7—21
上产生的位移为s，即
W＝｜F｜cos30°
3
·｜s｜＝100×2
·10＝500
3．
动脑思考 探索新知
W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100×23 ·10＝500 3． 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由 两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与 向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
巩固知识 典型例题
例4 已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a·b, |a|,|b|, <a,b>．
解 a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5. |a|＝ a a (1)2 22 5． |b|＝ b b (3)2 12 10． cos<a，b>＝ a b 5 2 ． | a || b | 10 5 2 所以 <a，b>＝45 ．
动脑思考 探索新知
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>= 180 时，a·b＝−|a||b|．
cos<a,b>＝|
a a ||
b b
． |
当a＝b时，有<a，a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝ a a．
对非零向量a，b，有 a·b＝0 a b.
学习效果
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.3Ａ组（必做）
教材习题７.3Ｂ组（选做） 实践调查：试着编写一道关于向量
内积的问题并解答．
作业
cos<a,b>＝
|
a a
ห้องสมุดไป่ตู้
b || b
|
x1 x2 y1 y2
．
x12 y12 x22 y22
(7.13)
利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.
由于a⊥ b a·b＝0，由公式(7.11)可知
a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0．
因此
a⊥b x1 x2＋ y1 y2＝0．
巩固知识 典型例题
例2 已知|a|＝|b|＝ 2 ,a·b＝ 2,求<a,b>．
解
cos<a,b>＝
ab | a || b |
2 2． 2 2 2
由于
0≤<a,b>≤180°，
所以
<a,b>＝135 ．
运用知识 强化练习
1. 已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a·b．
2. 已知a·a＝9,求|a|.
1.已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a·b．
-2．
2.已知a＝(2, −3)，b＝(3, −4)，c＝( −1,3),求a·(b＋c)．
7．
自我反思 目标检测
平面向量内积的概念？
两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之 积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b．
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
(7.14)
巩固知识 典型例题
例3 求下列向量的内积： （1） a＝ (2, −3), b＝(1,3)； （2） a＝ (2, −1), b＝(1,2)； （3） a＝ (4,2), b＝(−2, −3) ．
解 (1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7； (2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0； (3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．
14．
3．
3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝30°，求(2a＋b)·b ．
6 3+9．
动脑思考 探索新知
设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j ＝0, 又| i |＝|j|＝1,所以
a·b＝(x1 i＋y1j)·(x2 i＋y2j)
＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j
动脑思考 探索新知
可以验证，向量的内积满足下面的运算律：
a·b＝b·a.
ab a b a b．
(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
一般地，向量的 内积不满足结合律， 即
a·(b·c)≠(a·b ) ·c.
巩固知识 典型例题
例1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a，b>＝60°，求a·b． 解 a·b＝|a||b| cos <a，b> ＝3×2×cos 60°＝3．
＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2
＝ x1 x2＋ y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，
即
a·b＝ x1 x2＋ y1 y2
(7.11)
设a＝(x,y)，则 a a a x2 ，y2即
a x2 y2
(7.12)
动脑思考 探索新知
由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，
巩固知识 典型例题
例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4)； (2) a＝(0, −1), b＝(1, −2)．
解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a⊥ b． (2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2， 所以a与b不垂直．
运用知识 强化练习
第七章 平面向量
7.3 向量的内积
创设情境 兴趣导入
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，
朝着与水平线成 30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m．
那么，这个人做了多少功？
做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积．力F是水平方向的力 与垂直方向的力的和，垂直方向上
F
O
s