2020年河南省洛阳市第五十八中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2020年河南省洛阳市第五十八中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线l与两条直线x-y-7=0, y=1分别交于P, Q两点, 线段PQ的中点为(1, -1), 则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 已知向量与反向，下列等式中恒成立的是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
3. 一个等差数列共有3 n项，若前2n项的和为100，后2 n项的和为200，则中间n项的和为
（）
A. 75
B. 100
C. 50
D. 125
参考答案：
A
【分析】
利用等差数列的性质，，成等差数列，建立方程，进行求解．
【详解】解：设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为，
由题意得，，
解得，，
故中间的项的和为75，
故选：A．【点睛】本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前项和为，则，，，成等差数列，属于中档题．
4. 已知命题：，，则（）
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
C
5. 关于的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的象限为（）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限参考答案：
B
略
6. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为，直径为4的球的体积为，则（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
7. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50
的
样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ） A ．26, 16, 8, B ．25，17，8 C ．25，16，9 D ．24，17，9
参考答案：
B 略
8. “a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要
参考答案：
B
9. 如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A
【考点】导数的运算．
【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．
【解答】解：∵f（x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2
∴f′（x ）=3x 2
+2bx+c=3x 2
﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，
故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．
10. 过点(3,1)作圆(x －1)2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )
A ．2x ＋y －3＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．4x －y －3＝0
D ．4x ＋y －3＝0
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设
，且,则的最小值为________.
参考答案： 16
12. 由直线
上的动点P 引圆的两切线，切点为，则四边形
的面积最小值为
.
参考答案：
8
13. 过点P(3，4)的动直线与两坐标轴的交点分别为A ，B ，过A ，B 分别作两轴的垂线交于点M ，则点M 的轨迹方程是 。

参考答案：
略
14. 如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为__________；
参考答案：
15. 设P0是抛物线y = 2 x 2 + 4x + 3上的一点，M1，M2是抛物线上的任意两点，k1，k2，k3分别是
P0M1，M1M2，M2P0的斜率，若k 1–k 2 + k 3 = 0，则点P0的坐标为。

参考答案：
( – 1，1 )
16. 已知点A n(n，a n)为函数图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设
c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为_ _____．
参考答案：
c n＋1<c n
17. 经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程的一般式为▲
参考答案：
略
三、解答题：本大题共
5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设数列满足：
求数列的通项公式.
参考答案：
解析：
又,
略19. 如果项数均为的两个数列，满足
且集合
，则称数列是一对“项相关数列”.
（1）设是一对“4项相关数列”，求和的值，并写出一对“项相关数列” ；
（2）是否存在“项相关数列” ？若存在，试写出一对；若不存在，请说明理由；
（3）对于确定的，若存在“项相关数列”，试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对．
参考答案：
（1）依题意，，相加得，
，又，
则，.
“4项相关数列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）
参考：
（“4项相关数列”共6对：
：8，5，4，6；：7，3，1，2
或：7，3，5，8；：6，1，2，4
或：3，8，7，5；：2，6，4，1
或：2，7，6，8；：1，5，3，4
或：2，6，8，7；：1，4，5，3
或：8，4，6，5；：7，2，3，1
（2）不存在．
理由如下：
假设存在“15项相关数列”，
则，相加，得
又由已知，由此
，显然不可能，所以假设不成立。

从而不存在“15项相关数列”
（3）对于确定的，任取一对“项相关数列”，
令，，
先证也必为“项相关数列” ．
因为
又因为，很显然有
，
所以也必为“项相关数列”．
再证数列与是不同的数列．
假设与相同，则的第二项，又，则，即
，显然矛盾．
从而，符合条件的“项相关数列”有偶数对．
20. 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．
（1）请将上面的列表补充完整.
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由.
（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．
参考数据：
（参考公式：）
参考答案：
（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有人，，
常喝不常喝合计
8
（2）由已知数据可求得：，
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有
关．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表
所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是．．．．．．．．．12分21. 已知函数u（x）＝x ln x，v（x）x﹣1，m∈R．
（1）令m＝2，求函数h（x）的单调区间；
（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，且满足1e（e为自然对数的底数）求x1?x2的最大值．
参考答案：
（1）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2）
【分析】
（1）化简函数h（x），求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出
（2）函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个正根，由此得到m（x2﹣x1）
＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消参数m化简整理可得ln（x1x2）＝ln?，设t，
构造函数g（t）＝（）lnt，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x1?x2的最大值．
【详解】（1）令m＝2，函数h（x），∴h′（x），令h′（x）＝0，解得x＝e，
∴当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴函数h（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）
（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnx x+1，
∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，
∵函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，
∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个不等正根，
∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，
两式相减可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），
两式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴
∴ln（x1x2）＝ln?，
设t，∵1e，∴1＜t≤e，
设g（t）＝（）lnt，∴g′（t），
令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），
再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，
∴p（t）在（1，e]单调递增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，
∴φ（t）在（1，e]单调递增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，
∴g（t）在（1，e]单调递增，∴g（t）max＝g（e），
∴ln（x1x2），∴x1x2
故x1?x2的最大值为．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题
22. （14分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B
（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
（3）设圆C与x轴交于M、N两点，有一动点Q使∠MQN=45°．试求动点Q的轨迹方程．
参考答案：
【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；轨迹方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）由已知中圆C的标准方程，我们易确定圆心C的坐标，进而得到直线PC的斜率，然后根据弦AB被点P平分，我们易得l与直线PC垂直，利用点斜式易求出满足条件的直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，由此我们可得到直线l的方程，代入点到直线距离公式，求出弦心距，然后根据弦心距，半弦长，半径构成直角三角形，满足勾股定理，得到弦AB的长．
（3）由圆C与x轴交于M、N两点，我们易求出M、N两点的坐标，然后根据动点Q使∠MQN=45°，构造关于动点（x，y）的方程，整理即可得到动点Q的轨迹方程．
【解答】解（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P与PC垂直，所以直线l的斜率为﹣，
直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣2），即 x+2y﹣6=0．
（2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即 x﹣y=0
圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．
（3）∵圆C与x轴交于M（﹣2，0），N（4.0）两点∴tan45°=．
1=
1=
x2﹣2x﹣8+y2=6y或x2﹣2x﹣8=﹣6y∴Q点的轨迹方程是：（x﹣1）2+（y﹣3）2=18（y＞0），或（x﹣1）2+（y+3）2=18（y＜0）
【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，轨迹方程，其中由于直线l过点P（2，2），故使用点斜式方程求解比较简便．。