用排列组合对一类问题另解

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中学数 学月 刊
２０ ０ ６年第 １ ０期 当 户一 １ ｑ一 １ｒ一 ２ ， ， ， 时 就是 例 ３ 情形 ，
中纵、 横方 向各 一步 ， 方 向两 步 ， 四步 的 竖 这
每 一 种搭 配 方式 就 相 当于 一种 爬 法 ， 共 有 故维普资讯 源自２０ ０ ６年第 １ 期 ０
中学 数学 月 刊
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用排 列组合 对一类 问题 另解
汤 正谊 （ 苏州 大学数 学科 学 学院 ２ ５ ０ ） １０ ６
作 为课 外 园地 的文 ［］ １ 就一 类 问题 提 出
了“ 逐点 累加 法 ” 这个 方法 新颖 ， 于解决 所 ． 对 论 对 象数 量 较 小 的情 形 是 行 之有 效 的 ， 是 但 当数量 较大 时 ， 此方 法逐 点标 号再 累加 ， 用 显 得有 点 繁 复 ， 起 来 颇 费时 费 力 ． 此 ， 文 做 为 本
只能 向前 走一 步 ， 了 过 河 之 后 ， 要 走 到 将 兵
右上 角到左 下角 方 向走 的． 因此 共有走 法 （ 亦 即读 法 ） 种数 为
处 ， 须共 走 ６步 ， 中两 步 是 向右 横 向走 ， 必 其 什么 时候 横 向走 ， 以在 这 ６步 中任 意选择 ， 可 每一 种选 择 就是 一 种 走 法 ， 故共 有 走 法 种数
步是 向右 横 向走 的 ， 以共 有走 法为 所
ｃ＋ — 一 ＂— － 种． ． 个 － ｒ 构
例 ２ 在 图 ３中 ，构 “
建 谐 会创 好 和『 和 社 ，美 未 建和 莉 建
来 ” 从 上 往下 读 （ 能跳 ， 不 读 ） 共 有 多 少 种 不 同读 ，
法种 数 为
Ｃ 一 １ ４ ７ ６ ８ ５ ．
将 例 １推
广之 ， 图 ２ 有 如 ， 只由 ｍ × 个 小 正 方 形 拼 凑 州
一
例 ３ 一 只 蚂 蚁 沿着 图 ４中的铁 丝架 的铁 丝， Ａ 从
方向
成
的
矩
形 图２
ＡＢ Ｄ， 有 一 Ｃ 今 只 蚂 蚁 沿 图 中
法？
会
想提 出用排 列 组 合方 法 来 解 决这 类 问 题 ， 下
特 渚 喈谐
面仍 旧用文 ［ ］ １ 中的例子来 加 以说 明．
例 １ 在 中 国 象
棋盘 上 ， 兵要 走 最短 红
汉
１ ｒ
扯会 会 会柚 ． 衬Ｉ｝ 厶土
刨 创 创 刨刨
界
解 每 一种读 法 ， 相 当 于从 “ ”字 出发 一 步 构
一
荚荚荚美 好 来
的路 程 到 对 方 绿 将 处
（ 图 １ ， 有 多 少 种 见 ）共 走法 ？
步 地 走 到“ ”字 的 一 来
＼／
过河 之前 ， 兵
图 １
种 走 法 ， 一 种 走 法 共 需 每
走 １ 步 ， 中 ５步是按 从 ’ ０ 其
图３
解
爬 法数为 Ｃ Ｃ ＝ ６・ ；・ ！ ２— １ ． ２ 如 把 这 个
故例 ３中蚂蚁 不 同爬 法数 为
１ ・ 一４ １ １ —２ ！ ２ ２ ． ・ 音 ２ ‘ ！１
例 ４ 墙上 挂着 两 串
问 题 推 广 到 一
礼 物 ： （ 一 １ … ， ） ， ８，
Ｂ（ 一 １ … ，） 如 图 ６ ， ７， ．
般 ， 有 长 方 体 设
Ａ ＢＣＤ ～
每 次 从 某 一 串 的 最 下 端
摘下一个礼物 ， 这样 摘 了
ｐ段
Ｂ Ｃ Ｄ 今 有 ，
三组平行平面 ，
１ ５次 ， 将 礼 物 全 部 摘 可
下 ， 么共 有 多少 种 不 同 那
第 一 组 平 行 平
面共 有 户 一 １
图 ５
摘法？ 解 这 个 问题 纯 粹
个， 它们都 平行 于 ＡＤＤ Ａ ， 把 ＡＢ线 段分 且
成 户段 ； 二组 平行 平 面共 有 ｑ～ １ ， 第 个 它们
都 平行 于 ＡＢ 且把 Ｂ ＢＡ ， Ｃ线 段 分 成 ｑ段 ；
第 三组 平行 平 面共 有 ｒ １ ， ～ 个 它们 都平 行 于 ＡＢ Ｄ， Ｃ 且把 Ａ４ 线 段分 成 ｒ段． 由这 三组平
是 一个 排 列 问 题 ， 一 种 每
图６
摘法 就 是 对 所 有 和 Ｂ 的一 种 排 列． 物 礼
和Ｂ共１ ５件 ， 其全 排列 种数 为 １ ， 故 ５ 但 ｉ
点 爬 到 Ｂ 点 ， 么 那 从 Ａ 到 Ｂ 的最 短路 线 共 有 几种 不 同走
法？
ｌ ｊ 讯
线条 从 Ａ 点爬 到 Ｃ 点 ， 果 它爬 的路 程按 最 如 短路 程爬 的 ， 问共 有 多少种 爬 法？ 对于此 题 ， 如用 逐 点 累加 法 ， 以施 行． 难 今 采用 上 面 的组合 法 ， 们 把 蚂蚁 每 走小 正 我 方形一 条边 ， 之为 一步． 称 因为蚂蚁 按最 短路
解 蚂 蚁 要 从 Ａ 点爬 到 Ｂ 点 ，
图４
需要 分 别 沿三 个 方 向爬 ， 即横 方 向 ， 纵方 向 ， 竖方向， 每爬 到 一个铁 丝架 的交 点处 ， 就算 爬 完 了一 步 ， 么蚂 蚁 由Ａ到 Ｂ共 爬 了 四步 ， 那 其
程 由 Ａ点爬 到 Ｃ点 ， 须共走 ｍ ＋ 步 ， 中 必 其
为 ｃ 一 ； 一
ｃ ｌ ０ — 一
善 ｒ ．
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如果仿 照本 题 ， 把句 子换成 “ 烈庆祝 伟 热
大 的 中华 人 民共 和 国成 立 五 十 七 周 年 ” 共 ， ２ １个 字 ， 果 采 用 逐点 累加 法 ， 麻 烦 得 不 如 将
堪设 想． 如采用 同上 的组 合法 ， 易 得共有 读 则
是 Ａ ， … ， 永 远 保 持 固有 的 次 序 ， 有 Ａ ， Ａ。 没