2020-2021下海华东师范大学松江实验中学高三数学下期中第一次模拟试卷含答案

2020-2021下海华东师范大学松江实验中学高三数学下期中第一次模拟试卷含
答案
一、选择题
1．已知数列{}n a 中，(
)111,21,n n n
a a a n N S *
+==+∈为其前n 项和，5
S
的值为（ ）
A ．63
B ．61
C ．62
D ．57
2．已知数列{}n a 的通项公式是2
2
1
sin
2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110
B ．100
C ．55
D ．0
3．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，
315N =)，则10N =（ ）
A ．1020
B ．1010
C ．510
D ．505
5．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则
cos2A =（ ）
A ．78
B ．
18
C ．78
-
D ．18
-
6．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩
，则22
(2)x y -+的最小值为（ ） A ．
32
2
B 5
C ．5
D ．
92
7．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数：
①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
8．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
9．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ）
A ．5
B ．25
C
D
．10．,x y 满足约束条件362000
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则23
a b
+的最小值为 ( ) A ．
256
B ．25
C ．
253
D ．5
11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
12．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9
B ．27
C ．54
D ．81
二、填空题
13．已知变量,x y 满足约束条件2
{41
y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．
14．若x ，y 满足约束条件1300
x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．
15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 16．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且
8a =，73b c +=，则ABC V 的面积为______．
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 19．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则
14
x y
+的最小值为______． 20．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.
三、解答题
21．设}{
n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.
（2）设11a =，*2()n
a n
b n N =∈，数列}{
n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有
20n T ≤，求d 的取值范围.
22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．
23．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n n
n
b a =
，求数列{c n }的前n 项和T n . 24．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．
（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =
,求的面积．
25．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(533海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船
到达D 点需要多长时间？
26．已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前
n 项和n T .
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：
1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，
分组求和有：(
)5
521255712
S ⨯-=-=- .
本题选择D 选项.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件得a n ＝n 2
sin （2n 1
2+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数
，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】
∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 1
2+π）＝2
2,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数
，
∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552
故选C ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2
A B π
+=可得到结论不正确；③可由余弦
定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】
①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理
sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2
A B π
+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错
误；③由已知及余弦定理可得222222
22a c b b c a a b c ac bc
+-+--=，化简得222a b c =+，
所以③正确. 故选C. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
4．D
解析：D 【解析】
n 阶幻方共有2
n 个数，其和为(
)2221
12...,2
n n n n ++++=
Q 阶幻方共有n 行，∴每行的
和为
()
(
)
222
1
12
2
n n n n n
++=
，即(
)(
)2210
1
10101
,5052
2
n n n N N
+⨯+=
∴=
=，故选D.
5．C
解析：C
【分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14
=
， 那么2
7cos2218
A cos A =-=-． 故选C 【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
6．C
解析：C 【解析】
由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.
7．C
解析：C
【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函
数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin
cos 3sin 222
C C C C == ()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
9．A
解析：A 【解析】
在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得1
14522
ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()
2
2
2
2
2
2142
214252
b a
c accosB =
+-=+-⨯⨯⨯
=． 10．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由360
20
x y x y --=⎧⎨-+=⎩得点B 坐标为
B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。

因为目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=
所以
2312316616625
()(23)(13)(132)6666
a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。

当且仅当66236a b
b a a b ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
即65a b ==时，上式取“=”号。

所以当65a b ==时，23a b +取最小值25
6。

故选A 。

【点睛】
利用基本不等式a b +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。

当
a b ，都取正值时，（1）若和+a b 取定值，则积ab 有最大值；（2）若积ab 取定值时，
则和 +a b 有最小值。

11．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得
21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公
式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，
若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得2
1114a q 3a a q =+，即
2q 4q 30-+=，
解得q 1=或3；
又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，
则n 1
n a 3-=，则有34a 327==；
故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．
二、填空题
13．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划
解析：11 【解析】
试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得
3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直
线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2
{
1
y x y =-=，解得(3,2)A ，此时
33211z =⨯+=．
考点：简单的线性规划．
14．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式
解析：[﹣3，3] 【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：
联立13x y x y -=-+=，解得12
x y ==，()1,2B ，
化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22
x z
y =-. 由图可知，当直线22
x z
y =
-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-⨯=-；
当直线22
x z
y =
-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-⨯=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].
故答案为：[﹣3，3].
点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
15．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-
【解析】 【分析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】
由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】
本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数
列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数
解析：10 【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值． 【详解】
因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅ 41234S a a a a =+++，且94S S =
所以567890a a a a a ++++= 由等差数列性质可知70a = 因为40k a a += 所以4770k a a a a +=+=
则根据等差数列性质可知477k +=+ 可得10k = 【点睛】
本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．
17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB∴由正弦
解析：
4
【解析】 【分析】
由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】
∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，
∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，
∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinB
cosB
， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，
∴cosB （sinA cosA +sinB
cosB
）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinB
cosAcosB
+=﹣2sinC ，
∴cosB•
()sin A B cosAcosB
+=
sinC
cosA
=﹣2sinC ，
解得cosA=﹣
12，A=23
π；
∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ， ∴bc=9
∴△ABC 的面积为S =
12bcsinA=192⨯，
故答案为
4
． 【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．
18．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可
解析：
613. 【解析】
分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解． 详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()
1137
131313262
2
a a a S +⨯==
=， ∴7613
a =
． 设等差数列{}n a 的公差为d ，
则()9109109976322213
a a a a a a d a -=-+=-==
． 点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若(
)*
,,,,m n p q m n p q Z
+=+∈，则
m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12
n n n a a S +=
结合在一起应用，利用
整体代换的方法可使得运算简单．
19．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等 解析：
94
【解析】 【分析】
变形14141444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫
++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭之后用基本不等式：求解即可. 【详解】
原式可变形为：
()141419
14544444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当43x =，8
3y =时取等．
故答案为：9
4
【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
20．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题
解析：{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】
根据同侧同号列不等式，解得结果. 【详解】
因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以
(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <
【点睛】
本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.
三、解答题
21．（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；
（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．
【详解】
（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 612
55
a a -=
=-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）22
20120
+，
由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；
（2）设()*
11
2n
a n a
b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n
，
可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值； 当d ＜0时，T n (
)21221212dn d
d
-=
--＜
，
对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得202
12
d
≥-，且d ＜0， 解得d ≤29
log 10
． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．
22．（1）21n a n =-；（2）2
31
2
n n -+
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得
3,2q d ==，进而得到所求通项公式；
（2）由（1）求得1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即
可得到数列{}n c 和． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得3
2
3b q b =
=，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以141
2141
a a d -=
=-， 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．
（2）由题意知1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，
则数列{}n c 的前n 项和为
1
2
(121)1331[13(21)](1393)2132
n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+
-L L ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
23．（1）a n ＝3n ﹣
1，b n ＝2n ﹣1（2）T n ＝3﹣（n +1）•（
13
）n ﹣1 【解析】 【分析】
(1)利用基本量法求解n a ,再代入()1,n n P b b +到直线20x y -+=可得{}n b 为等差数列,再进行通项公式求解即可. (2)利用错位相减求和即可. 【详解】
（1）递增等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ,且a 2＝3,S 3＝13, 可得a 1q ＝3,a 1+a 1q +a 1q 2＝13,解得q ＝3或q 13
=
, 由等比数列递增,可得q ＝3,a 1＝1,则13-=n n a ； P （b n ,b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上,可得b n +1﹣b n ＝2, 且b 1＝a 1＝1,则b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n n
n b a =
=（2n ﹣1）•（13
）n ﹣1, 前n 项和T n ＝1•1+3•1
3
+5•
1
9++L （2n ﹣1）•（13
）n ﹣1, 13T n ＝1•13+3•19+5•
1
27++L （2n ﹣1）•（13
）n , 相减可得
23T n ＝1+2（11
39+++L （13）n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•（13
）n
＝1+2•
111133113
n -⎛⎫
- ⎪⎝⎭--（2n ﹣1）•（13）n , 化简可得T n ＝3﹣（n +1）•（13
）n ﹣
1.
【点睛】
本题主要考查了等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法,属于中档题. 24．（1
）
3
； （2
）
【解析】 【分析】
（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB 的值，确定出sinB 的值，
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB ，利用完全平方公式变形后，将a+b ，b ，cosB 的值代入求出ac 的值，再由sinB 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【详解】
（Ⅰ）由()3cos cos tan tan 11A C A C -=得，sin sin 3cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
,
3sin sin cos cos )1A C A C ∴-=（，即()1cos 3A C ∴+=-， 1
cos 3
B ∴=，
又0B π<< , 22
sin B ∴=
． （Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 23a c b B ac +-== ()2
221
23
a c ac
b a
c +--∴=，
又33a c +=，3b =
，9ac =,
1
sin 322
ABC S ac B ∆∴=
=． 【点睛】
本题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 25．救援船到达D 点需要1小时． 【解析】 【分析】 【详解】
5(33)906030,45,105sin sin •sin 5(33)?sin 455(33)?sin 45sin AB DBA DAB ADB DB AB
DAB DAB ADB AB DAB DB ADB =+∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒
∆=
∠∠∠+︒+︒
∴=
==
∠解：由题意知海里，在中，由正弦定理得
海里
又
海里
中，由余弦定理得
,
海里，则需要的时间
答：救援船到达D 点需要1小时
26．（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列
{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n
T .
试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，
由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d
=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．
（2）由（1）知()()
()1
16631233n n n n
n c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得
()2341
322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，
()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得
()()
()2341222
42132222212341232
21n
n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
所以2
32n n T n +=⋅．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。