河北数学会考试题及答案

河北数学会考试题及答案
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为（）。

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，求a5的值。

A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
答案：A
3. 若复数z满足|z|=1，且z的实部为1/2，则z的虚部为（）。

A. √3/2
B. -√3/2
C. √3/2i
D. -√3/2i
答案：B
4. 已知双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0，b>0），若双曲线C的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线C的离心率为（）。

A. √3
B. √2
C. 2
D. 3
答案：B
5. 已知函数f(x)=2sin(x+π/4)，若f(x)的图象关于点(π/2, 0)对称，则x的值为（）。

A. π/4
B. 3π/4
C. 5π/4
D. 7π/4
答案：B
6. 已知向量a=(1, 2)，b=(2, -1)，则向量a+2b的坐标为（）。

A. (5, 3)
B. (5, -1)
C. (-1, 5)
D. (-1, -5)
答案：A
7. 已知圆C的方程为(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9，直线l的方程为
y=2x+3，若圆C与直线l相切，则圆心C到直线l的距离为（）。

A. 3
B. 3√2
C. √2
D. 2√2
答案：D
8. 已知等比数列{bn}的首项b1=1，公比q=2，求前n项和Sn。

A. 2^n - 1
B. 2^(n+1) - 2
C. 2^n - 2^(n-1)
D. 2^(n+1) - 1
答案：D
9. 若函数g(x)=x^3-3x，求g'(x)的值。

A. 3x^2 - 3
B. 3x^2 + 3
C. x^2 - 3x
D. x^2 + 3x
答案：A
10. 已知抛物线y^2=4x的焦点为F，点P(1, 2)在抛物线上，求点P到焦点F的距离。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
二、填空题（每题4分，共20分）
11. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值。

答案：2
12. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，求向量a·b的值。

答案：5
13. 已知椭圆E：x^2/16 + y^2/9 = 1，求椭圆E的离心率。

答案：√7/8
14. 已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值。

答案：3
15. 已知正方体的棱长为a，求正方体的表面积。

答案：6a^2
三、解答题（每题10分，共40分）
16. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证f(x)在(-∞, 1)上单调递增。

证明：首先求导数f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。

当x<1时，f'(x)>0，说明f(x)在(-∞, 1)上单调递增。

17. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，求前n项和Sn。

解：根据等比数列的求和公式，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2(1-
3^n)/(1-3)=3^n-1。

18. 已知抛物线y^2=2px（p>0），焦点F(p/2, 0)，点P(m, n)在
抛物线上，且点P到焦点F的距离为p，求点P的坐标。

解：根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于点P到准
线的距离，即|m-p/2|=n^2/(2p)。

将抛物线方程y^2=2px代入，得到
n^2=2pm。

联立以上两个方程，解得m=p/2，n=p。

所以点P的坐
标为(p/2, p)。

19. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在[1, 3]上的值域。

解：首先求导数f'(x)=2x-4。

令f'(x)=0，解得x=2。

当1≤x<2时，f'(x)<0，说明f(x)在[1, 2]上单调递减；当2<x≤3时，f'(x)>0，说明f(x)在[2, 3]上单调递增。

计算f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，所以f(x)在[1, 3]上的值域为[-1, 0]。