山东临清三中高中数学 2.1.1-2分数指数幂教案 新人教a版必修1

2.1.1第二课时分数指数幂教案
【教学目标】
1.通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.
2.掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽
象类比的能力
3.能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学
正确的计算能力.
【教学重难点】
教学重点：
（1）分数指数幂概念的理解.
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质.
（3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.
教学难点：
（1）分数指数幂概念的理解
（2）有理数指数幂性质的灵活应用.
【教学过程】
1、导入新课
同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂
2、新知探究
提出问题
（1）整数指数幂的运算性质是什么？
（2）观察以下式子，并总结出规律：0
a>
10
25
a a
===；
8
42
a a
===；
12
34
a a
===；
10
52
a a
===.
（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
*
(0,,,
x m n N
>∈且n>1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
规定：正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)n m
a a m n N n =
>∈>.
提出问题
（1） 负整数指数幂的意义是怎么规定的？ （2） 你能得出负分数指数幂的意义吗？
（3） 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？ （4） 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？ （5） 分数指数幂的意义中，为什么规定0a >，去掉这个规定会产生什么样的后果？ （6） 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质
是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明0a >的必要性，教师及时作出评价.
讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：
对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质： ①
(0,,)
r s r s a a a a r s Q +∙=>∈②
)(0,,)
(r s rs a a r s Q a =>∈③
()(0,0,)r r r a b a b a b r Q ∙=>>∈
3、应用示例
例1 求值：213
32
416(1)8;(2)25;(3)()81
-
-
点评：本题主要考察幂值运算，要按规定来解.要转化为指数运算而不是转化为根式. 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.
320)a a a >
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.
变式训练
求值：（1
） （2
4、拓展提升
已知112
2
3,a a +=探究下列各式的值的求法.
（1）332
2122
112
2
;(2);(3)
a a a a a a a a
----
-++-
点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值
5、课堂小结
（1） 分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义
是
*0,,,1)n m
a a m n N n =>∈>，正数的负分数指数幂的意义
是*10,,,1),n
m
n m
a a m n N n a
-=
=
>∈>零的正分数次幂等于零，零的负分数指
数幂没有意义.
（2） 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. （3） 有理数指数幂的运算性质：
①(0,,)r s r s a a a a r s Q +∙=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q ∙=>>∈ 【板书设计】 一、分数指数幂 二、例题 例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】课本习题2.1A 组 2、4.
2.1.1-2分数指数幂
课前预习学案
一． 预习目标
1. 通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念
2. 能简单理解分数指数幂的性质及运算 二． 预习内容
１．正整数指数幂：一个非零实数的零次幂的意义是： ． 负整数指数幂的意义是： ．
２．分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是： ． 正数的负分数指数幂的意义是： ． ０的正分数指数幂的意义是： ．
０的负分数指数幂的意义是： ．
３．有理指数幂的运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那么
r
s
a
a ⋅＝ ；
)
(a r
s
＝ ；
)
(ab r
＝ ．
４．根式的运算，可以先把根式化成分数指数幂，然后利用 的运算性质进行运算．
三． 提出疑惑
通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上
课内探究学案
一． 学习目标
1. 理解分数指数幂的概念
2. 掌握有理数指数幂的运算性质，并能初步运用性质进行化简或求值 学习重点：
（1）分数指数幂概念的理解.
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.
学习难点：
（1）分数指数幂概念的理解
（2）有理数指数幂性质的灵活应用.
二． 学习过程 探究一
１．若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ） A 、m m
n
n
a a a ÷= B 、m
n m n a
a a = C 、()n
m m n a a += D 、01n n a a -÷=
２．c ＜0，下列不等式中正确的是
（ ）
A c 2
B c
C 2
D 2c c
c c
c c
．≥．＞．＜．＞()()()1
2
1
2
1
2
３．若)
214
3(
x --有意义，则ｘ的取值范围是（ ）
Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________． 探究二
例１：化简下列各式：（1
）
2
；
（２）)
332
4
()3(562
1
1
2
12
3
1b a b
a
b
a
-÷---
例２：求值：（１）已知a x
x =+-2
2（常数）求8
8x
x -+的值；
（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求
y
x
y x 2
12
12121
+
+的值
例３：已知
a
x
212+=，求a
a a
a
x
x
x x --++33的值．
三． 当堂检测
１．下列各式中正确的是（ ）
Ａ．
1)
1(0
-=- Ｂ．1)1(1
-=-- Ｃ．a
a 2
2
313=
- Ｄ．x x x 2
3
5
)
()(=
--
2.
4
4
等于（ ） A 、16a
B 、8a
C 、4a
D 、2
a
３．下列互化中正确的是（ ） Ａ．)0(()2
1≠=-
-x x x Ｂ．)0(3
16
2
<=
y y
y
Ｃ．)0,((4
3
4
3)()
≠=-y x x
y y
x Ｄ．33
1x x -=
４．若1,0a b ><,
且b
b
a a -+=则
b b a a --的值等于（ ）
A 、6
B 、2±
C 、2-
D 、2
５．使
)
23(24
3x x ---
有意义的ｘ的取值范围是（ ）
Ａ．Ｒ Ｂ．1≠x 且3≠x Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１
课后练习与提高 １．已知ａ＞０，ｂ＞０，且b a
a
b
=，ｂ＝９ａ，则ａ等于（ ）
Ａ．43 Ｂ．９ Ｃ．9
1
Ｄ．39 ２．
222
2
=+-x x
且ｘ＞１，则x x 2
2
--的值（ ）
Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２
３．=⨯⨯6
1
12
5.1323 ． ４．已知N n +∈则)1](1[8
12
)1(---n n ＝ ．
５．已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=>-n n a a x a 1
121,0,求()n
x x 2
1++的值．
课后练习答案１．Ａ ２．Ｄ ３．(-2,-2) ４．4
1
2
-n （ｎ为奇数时）；
０（ｎ为偶数时） 5.略。