湖北高一高中数学期末考试带答案解析

湖北高一高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.不等式的解集是( ) A ．{x |－1≤x≤5} B ．{x | x≥5或x≤－1} C ．{x |－1< x < 5}
D ．{x | x > 5或x <－1}
2.若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( )
A ．若，则
B ．若，则
C ．若
，则
D ．若
，则
3.等差数列{a n }的公差d < 0，且a 2a 4 = 12，a 2 + a 4 = 8，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n = 2n －2 (n ∈N *) B ．a n =" 2n" + 4 (n ∈N *
)
C ．a n =－2n + 12 (n ∈N *)
D ．a n =－2n + 10 (n ∈N *
)
4.下列命题中正确的是（ ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形
C ．若A 、B 、C 、
D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形 5.不等式
的解集为
，则( )
A ．a =－8，b =－10
B ．a =－1，b = 9
C ．a =－4，b =－9
D ．a =－1，b = 2
6.一平面截球O 得到半径为cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则球O 的体积是( ) A ．12π cm
3
B ．36π cm
3
C ．cm
3
D ．cm
3
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
8.在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知，且a + b = 5，，则△ABC
的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9.对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题正确的是（ ） A ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n
B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
D ．若m α，n ∥α，则m ∥n
10.已知数列{a n }满足a n = nk n (n ∈N *，0 < k < 1)，下面说法正确的是( ) ①当时，数列{a n }为递减数列； ②当时，数列{a n }不一定有最大项； ③当时，数列{a n }为递减数列；
④当
为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项.
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．②③
二、填空题
1.已知圆锥的底面半径为2cm ，高为1cm ，则圆锥的侧面积是 cm 2．
2.数列{a n }中，a 1 = 3，，则数列的通项公式 ．
3.已知，则x + y 的最小值为 ．
4.
．
5.如图，PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射
影．给出下列结论：
①AF ⊥PB ； ②EF ⊥PB ；
③AF ⊥BC ； ④AE ⊥平面PBC ． 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
1.已知
，求
的值．
2.某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，游客可以乘长为3km 的索道AC 上山，也可以沿山路BC 上山，山路BC 中间有一个距离山脚B 为1km 的休息点D ．已知∠ABC = 120°，∠ADC = 150°．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2km ，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C
点)．
3.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000m 2，人行道的宽分别为4m 和10m(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比
，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计?
4.已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60，且a 6为a 1和a 21 的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)若数列{b n }满足
，b 1 = 3，求数列
的前n 项和T n ．
5.已知△ABC 是边长为l 的等边三角形，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，AD = AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A －BCF ，其中．
(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；
(3)当时，求三棱锥F －DEG 的体积V ．
6.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n + 1 = 2S n + 2 (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)在a n 与a n + 1之间插入n 个数，使这n + 2个数组成一个公差为d n 的等差数列．
①在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p (其中m ，k ，p 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由； ②求证：
．
湖北高一高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.不等式的解集是( ) A ．{x |－1≤x≤5} B ．{x | x≥5或x≤－1} C ．{x |－1< x < 5}
D ．{x | x > 5或x <－1}
【答案】D
【解析】不等式转化为
，解得：
或
.
不等式
的解集是
或
.
故选D.
【考点】一元二次不等式的解法.
2.若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( )
A ．若，则
B ．若，则
C ．若
，则
D ．若
，则
【答案】B 【解析】
，当
时，
，故
错.
，
，
，
，即
，B 正确，C 、D 错误.
故选B.
【考点】不等式的性质.
3.等差数列{a n }的公差d < 0，且a 2a 4 = 12，a 2 + a 4 = 8，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．a n = 2n －2 (n ∈N *)
B ．a n =" 2n" + 4 (n ∈N *
)
C ．a n =－2n + 12 (n ∈N *)
D ．a n =－2n + 10 (n ∈N *
)
【答案】D 【解析】由
，，即，解得或
，若，则
；若
，则
.公差
，
，故
，
，
，
.
故选D.
【考点】一元二次方程；等差数列性质.
4.下列命题中正确的是（ ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形
C ．若A 、B 、C 、
D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形 【答案】B
【解析】不在同一直线的三点确定一个平面，故A 错，B 对；共线的四点可以构成无数个平面，故C 错； 正四面体的四个边都相等，但它不是平面图形，故D 错. 故选B.
【考点】平面的基本性质. 5.不等式
的解集为
，则( )
A ．a =－8，b =－10
B ．a =－1，b = 9
C ．a =－4，b =－9
D ．a =－1，b = 2
【答案】
【解析】不等式的解集为
，
为方程
的两根，则根据根与系
数关系可得
，
.
故选C.
【考点】一元二次不等式；根与系数关系.
6.一平面截球O 得到半径为cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则球O 的体积是( ) A ．12π cm
3
B ．36π cm
3
C ．cm
3
D ．cm
3
【答案】B
【解析】设球的半径为
，则有
，
.
故选B.
【考点】球心到截面的距离；球的半径之间的关系.
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
【答案】C
【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为4；底面三角形是斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为
.
故选C.
【考点】三视图与几何体的关系；几何体的体积的求法.
8.在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知，且a + b = 5，
，则△ABC
的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】由
得，
，
，
，即
，
，
，由余弦定理可得
，
，由正弦定理得
.
故选A.
【考点】二倍角公式的应用；正、余弦定理的应用.
9.对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题正确的是（ ） A ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m α，n ∥α，则m ∥n
【答案】D
【解析】若m 、n 与α所成的角相等，则可能平行或相交,故A 错；若，则
可能平行或相交，
故B 错；若，则或，故C 错；D 正确. 故选D.
【考点】直线与直线平行的判断方法；直线与平面的判断方法.
10.已知数列{a n }满足a n = nk n (n ∈N *，0 < k < 1)，下面说法正确的是( ) ①当时，数列{a n }为递减数列； ②当时，数列{a n }不一定有最大项； ③当时，数列{a n }为递减数列；
④当
为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项.
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．②③
【答案】C
【解析】选项①：当时，
，有
，
，则
，即数列
不是递减数列，
故①错误； 选项②：当时，
，因为
，所以数列
可有最大项，故②错
误； 选项③：当时，
，所以
，即数列
是递减数列，故③正
确； 选项④：
，当
为正整数时，；当时，
；当
时，令
，解得
，
，数列
必有两项相等的最大项，故④正确.
所以正确的选项为③④. 【考点】数列的函数特征.
二、填空题
1.已知圆锥的底面半径为2cm ，高为1cm ，则圆锥的侧面积是 cm 2． 【答案】 【解析】圆锥的底面周长为：
，母线长为：，
.故答案为
.
【考点】圆锥侧面积的求法.
2.数列{a n }中，a 1 = 3，，则数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】由，两边取对数得
，数列
是以
为首项，2为公比的等比数列，
则有，即
.
故答案为
. 【考点】数列通向公式的求解；等比数列的通向公式.
3.已知，则x + y 的最小值为 ． 【答案】 【解析】，
，由
，可得
，当且仅当
时等号
成立，故
，故答案为
.
【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用. 4. ．
【答案】
【解析】
，故答案为
.
【考点】三角函数和与差公式.
5.如图，PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射
影．给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；
③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．
其中正确命题的序号是．
【答案】①②③
【解析】所在的平面，,
,又为圆的直径，是圆上的一点，
,又,
平面,平面，
，又,
平面，又平面，
,即①正确；
又，故不与平面垂直，即④错误；
又,同理可证平面,平面，
,即②正确；
由平面,平面知，,即③正确；
故答案为①②③.
【考点】线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理.
三、解答题
1.已知，求的值．
【答案】
【解析】由根据和角公式展开可得，然后再将
中的利用和角公式展开后化简可得，再将利用二倍角公式转化为即可得到，从而得到结果.
试题解析：由得：
．
【考点】三角函数和与差公式；三角函数二倍角公式.
2.某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，游客可以乘长为3km的索道AC上山，也可以沿山路BC上山，山路BC中间有一个距离山脚B为1km的休息点D．已知∠ABC = 120°，∠ADC = 150°．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2km，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发到达C
点)．
【答案】两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰． 【解析】在中，由正弦定理可得，求出,再在在中，由余弦定理可求出,
即可得出,也即得出结论. 试题解析：由得：； 由正弦定理得：，
；
在中，由余弦定理得：
，
即，
解得：km ，km ；
由于
，
；
因此两位登山爱好者能在2个小时内徒步登上山峰. 【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用.
3.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000m 2，人行道的宽分别为4m 和10m(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比
，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计?
【答案】(1)
(2) 要使公园所占面积最小，休闲区
应设计为长100米，宽40
米
【解析】(1)设休闲区的宽为米，则其长为米，根据休闲区的面积为4000平方米， 将用表示，然后根据矩形的面积公式求出公园所占面积关于的函数即可； （2）利用均值不等式求出最小值，利用等号成立的条件，从而求出长和宽. 试题解析：（1）解：设休闲区的宽为米，则其长为米. 由，得：
，则
即.
（2） 当且仅当
，即
时取等号，此时
，
；
所以要使公园所占面积最小，休闲区应设计为长100米，宽40米. 【考点】函数解析式的求法；均值不等式的应用.
4.已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60，且a 6为a 1和a 21 的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)若数列{b n }满足，b 1 = 3，求数列的前n 项和T n ． 【答案】（1），
(2)
【解析】(1)设等差数列
的公差为，由题意列方程组
，可求得和
，进而根据等差
数列的通向公式和求和公式分别求得和前项和
；
（2）根据（1）中的和，根据
，进而求得
，再利用裂项法求
的
的前项和.
试题解析：(1)解：设数列的公差是，则
，即 ①
∵为和
的等比中项
∴，即
②
由①②解得：
，
∴
，
．
(2)解：由(1)知：
累加，得：
∴
∴
.
【考点】等差数列的性质；通向公式的求法；裂项法的应用.
5.已知△ABC 是边长为l 的等边三角形，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，AD = AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A －BCF ，其中．
(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；
(3)当时，求三棱锥F －DEG 的体积V ．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）
【解析】(1)在等边三角形
中，由
,可得
,在折叠后的三棱锥中也成立，故有
,再根据直线和平面平行的判定定理证的
平面
.
（2）在等边
中，
是
的中点，所以
，折叠后可证得
,且.在三棱锥
中，由
，由勾股定理可得
，从而
,故可证得
平面
.
（3）由（1）可知,再结合（2）可得平面.最后再由,运
算可求得结果.
试题解析：(1)证：在等边
中，，∴
在折叠后的三棱锥中也成立，∴ ∵在平面外，在平面内，∴平面
.
(2)证：在等边中，是的中点，所以，折叠后，
∵ 在
中，
，
∴，因此 又相交于，∴平面． (3)解：由(1)可知，结合(2)可得：平面，∴
当时，
∴
.
【考点】线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；等体积法求体积.
6.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n + 1 = 2S n + 2 (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)在a n 与a n + 1之间插入n 个数，使这n + 2个数组成一个公差为d n 的等差数列．
①在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p (其中m ，k ，p 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由； ②求证：．
【答案】（1）
（2）不存在（证明见解析） （3）证明见解析
【解析】（1）利用和等比数列的定义即可得出； （2）利用等差数列的通向公式即可得出； ①假设在数列中存在三项（其中是等差数列）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及其反证法即可得出；
②利用（2）的结论、“错位相减法”和等比数列的前和公式即可得出. 试题解析：(1)解：由，得： 两式相减：
∵数列是等比数列，∴，故
因此
．
(2)解：由题意，即
，故
①假设在数列中存在三项（其中
是等差数列）成等比数列
则，即： (*)
∵成等差数列，∴
(*)可以化为
，故，这与题设矛盾 ∴在数列中不存在三项
（其中
是等差数列）成等比数列.
②令
则
两式相减得：
∴
.
【考点】等差数列和等比数列的性质；错位相减法求和.。