高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义学案新人教A版必修4(2021年整理)

（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2.2 向量减法运算及其几何意义学案新人教A版必修4
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2.2 向量减法运算及其几何意义学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2.2 向量减法运算及其几何意义学案新人教A版必修4的全部内容。

2．2。

2 向量减法运算及其几何意义
预习课本P85～86，思考并完成以下问题
（1）a的相反向量是什么？
（2)向量的减法运算及其几何意义是什么？
[新知初探］
1．相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
（1)规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
（2）－(－a）＝a；
（3)a＋（－a）＝(－a）＋a＝0；
（4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
[点睛] 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
2．向量的减法
（1）定义:a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)几何意义:以O为起点，作向量OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，如图所示，即a－b 可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
[点睛］在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量"即可．
错误!
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√",错误的打“×”）
（1)两个向量的差仍是一个向量．( )
(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )
(3）向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．( ）（4)相反向量是共线向量．( ）
答案：（1)√（2)√(3)√（4）√
2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是（）
A．m＝n B．m＝－n
C．|m｜＝|n｜D．方向相反
答案：A
3．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于（）
A．QP B．OQ C．SP D．SQ
答案：B
4．在平行四边形ABCD中，向量AB的相反向量为______．
答案：BA，CD
向量的减法运
算
［典例］化简：（1)(AB－CD）－(AC－BD)；
（2）（AC＋BO＋OA）－(DC－DO－OB)．
[解］(1）（AB－CD）－（AC－BD）
＝(AB＋BD）－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.
（2）(AC＋BO＋OA）－(DC－DO－OB)
＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0。

（1)向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和；
②起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
[活学活用］
化简下列各式:
(1）AB－AC－DB；
(2）AB＋BC－AD;
（3)AB－CD－DB。

解：（1）AB－AC－DB＝CB＋BD＝CD。

（2）AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC.
(3）AB－CD－DB＝AB＋DC＋BD＝AB＋BD＋DC＝AC.
向量的减法及其几何
意义
[典例] 如图，已知向量a,b，c不共线，求作向量a＋b－c。

[解] 法一：如图①所示,在平面内任取一点O,作OA＝a,AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC ＝c，则CB＝a＋b－c。

法二：如图②所示,在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC,则OC＝a＋b－c。

求作两个向量的差向量的两种思路
(1）可以转化为向量的加法来进行,如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b)即可．
（2）也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
在本例的条件下作出向量：
①a－b＋c；②a－b－c.
解：如图所示．
利用已知向量表示未知
向量
[典例］如图所示，四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且AB＝a，AC＝b，AE＝c,试用向量a，b，c表示向量CD，BC,BD。

［解] 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，
故BD＝BC＋CD＝b－a＋c.
[一题多变］
1．[变设问]本例条件不变，试用向量a，b，c表示BE与CE。

解：BE＝AE－AB＝c－a，
CE＝AE－AC＝c－b。

2．[变条件]
本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点"，其他条件不变，其结论又如何呢？
解:因为四边形ACDE是平行四边形，
所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a,
BD＝BC＋CD＝b－a＋c.
用几个基本向量表示其他向量的一般步骤
（1)观察待表示的向量位置；
(2)寻找相应的平行四边形或三角形;
(3)运用法则找关系，化简得结果．
层级一学业水平达标
1．在三角形ABC中,BC＝a，CA＝b,则AB＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：选D AB＝CB－CA＝－BC－CA＝－a－b.
2．在△ABC中，|AB｜＝|BC｜＝｜CA｜＝1，则｜BC－AC｜的值为（)
A．0 B．1
C。

错误!D．2
解析：选B |BC－AC｜＝｜BC＋CA｜＝|BA|＝1。

3．若O,E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ）
A．EF＝OF＋OE B．EF＝OF－OE
C．EF＝－OF＋OE D．EF＝－OF－OE
解析：选B EF＝EO＋OF＝OF－OE.故选B.
4．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A,B，C的向量分别是a，b，c，则向量OD等于( ) A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
解析:选B 如图，点O到平行四边形的三个顶点A,B,C的向量分别是a，b，c，结合图形有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a－b＋c。

5．下列各式能化简为AD的个数是（)
①(AB－DC)－CB
②AD－（CD＋DC)
③－(CD＋MC)－（DA＋DM)
④－BM－DA＋MB
A．1 B．2
C．3 D．4
解析:选C ①中，(AB－DC）－CB＝AB＋CD＋BC＝AB＋BD＝AD;
②中，AD－（CD＋DC)＝AD－0＝AD；
③中，－(CD＋MC）－（DA＋DM)＝－MD－DA－DM＝DM＋AD－DM＝AD;
④中，－BM－DA＋MB＝MB＋AD＋MB＝AD＋2MB。

6．下列四个等式：
①a＋b＝b＋a；②－（－a）＝a；③AB＋BC＋CA＝0；
④a＋（－a）＝0，
其中正确的是______（填序号）．
解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的,③符合向量的加法法则，也是正确的．
答案：①②③④
7．若a，b为相反向量,且|a｜＝1，|b|＝1,则｜a＋b|＝__________，｜a－b｜＝________.
解析：若a,b为相反向量，则a＋b＝0，∴｜a＋b｜＝0,
又a＝－b，∴｜a｜＝｜－b|＝1,∵a与－b共线，∴|a－b｜＝2。

答案：0 2
8．在△ABC中,D是BC的中点，设AB＝c，AC＝b,BD＝a，AD＝d,则d－a＝______,d ＋a＝______.
解析:根据题意画出图形，如图所示，则d－a＝AD－BD＝AD＋DB＝AB＝c；
d＋a＝AD＋BD＝AD＋DC＝AC＝b。

答案：c b
9．化简：
（1)MN－MP＋NQ－PQ;
(2）BD＋DC＋AB－AC.
解：(1）MN－MP＋NQ－PQ
＝(MN＋NQ)－(MP＋PQ)
＝MQ－MQ＝0.
（2)BD＋DC＋AB－AC＝(BD＋DC)＋（AB－AC)
＝BC＋CB＝0。

10．设O是△ABC内一点,且OA＝a，OB＝b，OC＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H。

试用a,b,c表示DC，OH,BH。

解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴OD＝OA＋OB＝a＋b,
∴DC＝OC－OD＝c－(a＋b）＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴OH＝OC＋OD＝c＋a＋b，
∴BH＝OH－OB＝a＋b＋c－b＝a＋c.
层级二应试能力达标
1．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则（）A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B
如图，a－b＝OA－OB＝BA,c－d＝OC－OD＝DC，又四边形ABCD
为平行四边形，则BA＝CD，即BA－CD＝0，所以BA＋DC＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.
2．平面上有三点A，B，C，设m＝AB＋BC,n＝AB－BC，若m,n的长度恰好相等,则有（）
A．A，B,C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析:选C
∵｜m｜＝｜n｜，AB＋BC＝AB－CB，AB－BC＝AB＋CB，∴|AB－CB|＝|AB＋CB|，如图．
即▱ABCD的对角线相等，
∴▱ABCD是矩形,∴∠B＝90°，选C。

3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°,｜AB|＝2，则｜BC＋DC｜＝( )
A。

错误!B．2错误!
C.错误!D．2错误!
解析：选B 如图，设菱形对角线交点为O，
∵BC＋DC＝AD＋DC＝AC，
∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2,
∴OB＝1。

在Rt△AOB中，
|AO|＝错误!＝错误!，
∴|AC|＝2|AO｜＝2错误!。

4．已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A＝90°，给出下列结论：
（1）|AB－AC｜＝|AB＋AC｜；
(2)|BC－BA｜＝|CB－CA|;
（3)｜AB－CB|＝｜AC－BC|；
(4)|AB－AC|2＝｜BC－AC｜2＋|CB－AB|2.
其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D 如图，以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．
5。

如图,已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其
中OB＝b，OC ＝c,则EF等于________．
解析：EF＝OA＝CB＝OB－OC＝b－c.
答案:b－c
6．对于向量a，b,当且仅当____________________________________________时,有｜a －b｜＝｜｜a|－|b｜|.
解析:当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b｜＞||a|－｜b｜|,所以只有两向量共线且同向时，才有｜a－b|＝|｜a｜－｜b|｜。

答案：a与b同向
7。

如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a,b，c，d，e，f表示以下向量：
（1)AC；（2）AD;(3）DF＋FE＋ED.
解：（1）AC＝OC－OA＝c－a。

（2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.
(3)DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0.
8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a,BC＝b，AC＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
（1)a＋b＋c.（2)a－b＋c。

解:（1）由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC＝c，所以延长AC到E，使|CE|＝|AC｜。

则a＋b＋c＝AE，且｜AE｜＝2错误!。

所以｜a＋b＋c｜＝2错误!。

（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义学案 新人教A 版必
修4
11 /
1111
(2）作BF ＝AC ，连接CF ， 则DB ＋BF ＝DF ， 而DB ＝AB －AD ＝a －b ，
所以a －b ＋c ＝DB ＋BF ＝DF ，
且|DF ｜＝2，所以｜a －b ＋c |＝2.。