高考数学专题复习：函数的零点与方程的解

高考数学专题复习：函数的零点与方程的解
一、单选题
1．设函数()2
1,0
log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A ．2 B ．5 C ．4 D ．5
2．“0a ≥”是“函数ln ,0()2,0x x x f x a x >⎧=⎨+≤⎩有且只有一个零点”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数()2ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ） A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
4．设函数()(),10
11,011x x f x x f x -<≤⎧⎪
=⎨+<<⎪-⎩
，若函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．(),0-∞
C ．1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
5．已知函数()e 1x f x x -=-+，则它的零点在所在区间为（ ） A ．(2,1)--
B ．(1,0)-
C ．(0,1)
D ．(1,2)
6．已知()21,,
2,.x
x a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪>⎩
若集合()(){}
0,x x f x f x >=-恰有2个元素，则a 的取值范围是（ ） A ．
,0
B ．[)0,2
C ．[)0,4
D ．[)2,4
7．已知函数()log ,0
3,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩
（0a >且1a ≠）．若函数()f x 的图象上有且只有两个
点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）
A ．10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()10,1,4⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
C ．()1,11,4⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
D ．()()0,11,4⋃
8．己知函数()()()1,1
,ln ,1
x e x f x g x f x a x x -⎧≤==+⎨
>⎩，若()g x 存在两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-
B ．()1,0-
C ．()0,1
D ．(]0,1
9．已知关于x 的方程22
x
x a
a -=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2
B ．()2,4
C ．()2,+∞
D ．()4,+∞
10．己知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（ ） A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．7个
11．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点
()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 (
)2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩
的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ） A
．[2-
B
．(,2-∞-
C
．(,2-∞+
D
．(0,2+
12．已知函数()21,0log ,0
x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()()1
2g x f f x =-的零点个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．直线3y =与函数2
6y x x =-图象的交点个数为________.
14．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，1
2,1
()2ln ,01
x x f x x x -⎧->⎪=⎨
⎪<≤⎩，关于x 的方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则实数a 的范围是________.
15．若直线233y m m =+-与函数()||1f x x =+的图像有两个不同交点，则实数m 的取值范围是______．
16．若32a =，2log 3b =，则函数2y x abx a =--的所有零点之和等于________.
三、解答题
17．已知二次函数23
()28
f x kx kx =+-，
（1）若1是()f x 的一个零点，求实数k 的值；
（2）若()0f x <对x R ∀∈恒成立，求实数k 的取值范围．
18．已知函数()3x
f x =，()2
g x x a =+-（a ∈R ）.
（Ⅰ）若函数()()y f g x =是偶函数，求a ；
（Ⅱ）若函数()()y g f x =存在两个零点，求a 的取值范围.
19．已知函数()22()x x f x a a -=+⋅∈R ，且f （x ）的图像关于y 轴对称． （1）求证：f （x ）在区间[0,)+∞上是单调递增函数；
（2）设函数()()2(2)h x f x f x m =+-，若()h x 在区间[1,)-+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围．
20．已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，满足()()x f x g x a +=，0a >且1a ≠，且()()1
112
f g -=-．
（1）求实数a 的值，及()f x 和()g x 的表达式；
（2）若关于x 的方程()()[2]3f x g x λ⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，求常数λ的取值范围．
21．已知函数()()22,0log ,0x m
x f x x x x ⎧+>⎪
=⎨⎪-<⎩
在()0,+∞上有最小值1．
（1）求实数m 的值；
（2）若关于x 的方程()()()2
2
210f x k f x k k ⎡⎤-+++=⎣⎦恰好有4个不相等的实数根，求实
数k 的取值范围．
22．已知函数(
)
2()log 21()x
f x k
g x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.请在下面四个函数：①
21()g x x = ②22()log g x x = ③3()g x x = ④4()2x g x =中选择一个函数作为()g x ，
使得()f x 是偶函数.
（1）请写出()g x 表达式，并求k 的值； （2）设函数211
()log 2()22
x
h x a a x a R ⎛
⎫=⋅-+∈ ⎪⎝
⎭，若方程)(()f x h x =只有一个解，求a 的取值范围.
参考答案
1．C 【分析】
解方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦，求出根即可得到结论. 【详解】
令()1t f x =+，先解()0f t =，
即100t t +=⎧⎨≤⎩或2
0log 0t t >⎧⎨=⎩，解得：t =-1或t =1.；
当t =-1时，有120
x x +=-⎧⎨≤⎩或20log 2x x >⎧⎨=-⎩，解得：3x =-或14x =；
当t =1时，有100x x +=⎧⎨≤⎩或20
log 0x x >⎧⎨=⎩，解得：1x =-或1x =；
所以函数()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的零点有4个. 故选：C 【点睛】
求函数零点类问题分为两大类： (1)零点直接解出来：方程可解；
(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值. 2．A 【分析】
求出()f x 有且只有一个零点的条件，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】
首先()ln (0)f x x x =>已经有一个零点1，
因此()f x 只有一个零点，则()2(0)x f x a x =+≤无零点，
即2x a =-（0x ≤）无解，0x ≤时，120x -≤-<，所以1a <-或0a ≥， 因此0a ≥是()f x 有且只有一个零点”的充分而不必要条件． 故选：A ．
3．B 【分析】
因为()f x 为增函数，故代入区间端点逐个计算，左负右正即可. 【详解】
因为()2ln 0y x x =>、()20y x x =->为增函数， 所以()()2ln 20f x x x x =+->为增函数，
且()1ln112120f +-=-<=，()2ln 2222ln 20f +-=2>=，()3ln3322ln310f =-2+=+>，
()4ln 4422ln 420f =-2+=+>，
根据零点存在性定理知()2ln 2f x x x =+-的零点在区间()1,2内. 故选：B 4．C 【分析】
先求出分段函数在()1,1-上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点等价于函数()f x 的图象与直线2y t =在区间()1,1-内有且仅有两个公共点，数形结合即可求出结果. 【详解】
若01x <<，则110x -<-<，所以()()1
11f x f x =+-，故(),101
1,011
x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩， 其图象如图：
函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点等价于函数()f x 的图象与直线2y t =在区间()1,1-内有且仅有两个公共点，于是120t -<<，1
02
t -<<. 故选：C. 5．D 【分析】
根据零点的存在性定理判断即可得答案. 【详解】
解：因为2(2)e 30f -=+>，(1)e 20f -=+>，(0)1120f =+=>，1(1)0f e
=>,2
1
(2)10f e =
-<, 所以根据零点的存在性定理可知它的零点在所在区间为(1,2) 故选：D 6．B 【分析】
分0a <，0a =和0a >三种情况，写出(),()f x f x -，再由()()f x f x =-讨论方程解的情况，从而可求出a 的取值范围 【详解】
解：当0a <时， ()21,,
2,.x
x a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩
有一段部分为2,y x x a =>，而2y
x 本身具有偶数的
性质，所以集合()(){}
0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，
当0a =时，()21,0
2,0x
x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩
，则()2x f x -=，由22x x = 得2x =或4x =，恰好有两个解，
所以0a =符合，
当0a >时，当0x a <≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0x a -<<，1()22x
x f x -⎛⎫
-== ⎪
⎝⎭，
由()()f x f x =-，得122x
x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，得0x =，不合题意，
当x a >时，2
()f x x =，0x a a -<-<<，则1()22x
x f x -⎛⎫
-== ⎪
⎝⎭
，
由()()f x f x =-，得2122x
x x -⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，解得2x =或4x =，因为集合()(){}
0,x x f x f x >=-恰
有2个元素，所以02a <<， 综上，02a ≤<，故选：B
7．C
【分析】根据原点对称的性质，求出当40x -≤<时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可
【详解】当40x -≤<时，函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即
|3|,(04)y x x =--+≤≤，若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函
数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象如图：
若1a >时，()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，满足条件； 当4x =时，|43|1y =--+=-
若01a <<时，要使()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，
则要满足(4)1f <-，即1
log 41log a a a -<-=，
解得故
1
14
a <<； 综上a 的取值范围是()1,11,4⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
故选：C 8．A 【分析】
由题可得()f x 的图像与y a =-的图像有2个交点，数形结合即可求出. 【详解】
由题，()g x 存在两个零点，等价于()f x 的图像与y a =-的图像有2个交点，画出()f x 的函数图象如下：
由数形结合知01a <-≤，即10a -≤<. 故选：A. 9．D 【分析】
先判断0a =时不符合题意，再将问题转化为()2
1,0f t t t t a
=->与直线1y =有3个不同的交点，判断0a <时()2
1f t t t a
=
-单调不符合题意，最后画0a >时的图象进行数形结合，利
用12a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
解得参数范围即可.
【详解】 0a =时，22
x x a a -=
即20x
=无解，显然不符合题意； 0a ≠时，令()20x t t =>，则原方程等价于a
t a t -=
，即211t t a
-=，令()21f t t t a =-， 则()2
1,0f t t t t a
=
->与直线1y =有3个不同的交点. 二次函数2
10y t t a
=
-=的根为a 和0， 若0a <时，显然0t >时，2
10y t t a =->，且单调递增，即()21f t t t a
=-单调，不可能与直线1y =有3个不同的交点
若0a >时，作出()f t 的草图如图所示，
又2
21124a a
t t t a a ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭，则只需满足
2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭14
a
>，得4a >. 故选：D ． 【点睛】
方法点睛：已知函数零点个数(方程根的情况)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：分类讨论直接求解方程得到方程的根；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 10．A 【分析】
根据函数周期性，结合区间[1,1]-的解析式，函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象，求得交点个数即可. 【详解】
函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象如下：
因为(9)(1)1lg9,(11)(1)1lg11f f f f ==>==< 数形结合可知，两函数的图象交点有10个. 故选：A. 11．B 【分析】
由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围． 【详解】
解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点 设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称 令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-
2()2g x x x ∴=-+
故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得2
2m x x
=--+
又因为2222x x --
+≤-=-x =
(,2m ∞∴∈--．
故选：B ． 12．B 【分析】
设()f x t =，即()12f t =，解得12
t =-或t =()1
2f x =-和()f x 数即为答案. 分0x ≤和0x >分别解出方程即可. 【详解】
函数()()()1
2g x f f x =-的零点，即方程()()12f f x =的根.
设()f x t =，()1
2
f t =
当0t ≤时，()112f t t =+=
，解得12t =-，即()1
2f x =-
当0x ≤时，()112
f x x =+=-
，解得3
2x =-
当0x >时，()21log 2f x x ==-，解得x
当0t >时，()21
log 2
f t t ==，解得t ()f x =
当0x ≤时，()1f x x =+10x > (舍)
当0x >时，()2log f x x =x = 所以函数()()()1
2
g x f f x =-有3个零点.
故选：B 13．4
【分析】作出直线3y =与函数2
6y x x =-图象，然后数形结合分析即可.
【详解】做出直线3y =与函数2
6y x x =-图象，如图：
数形结合可知，直线3y =与函数2
6y x x =-图象的交点个数为4个，
故答案为：4.
14．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
根据题意作出()f x 的图象，令()t f x =，则方程为220t at b +-=，若方程
()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则方程220t at b +-=有两个实数根，即可
得出答案. 【详解】
根据题意作出()f x 的图象，
令()t f x =，则方程为220t at b +-=，
若方程()()22
0f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，
则方程220t at b +-=有两个实数根，
所以其中一个根为0，且另一根在区间1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
所以()
2222000102
Δ40a b a a b ⎧+⨯-=⎪⎪-<-<⎨⎪⎪=-->⎩
，解得102a <<，所以a 的取值范围10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
故答案为：10,2⎛⎫
⎪⎝⎭.
15．(,4)(1,)-∞-+∞ 【分析】
画出()||1f x x =+的图像，由图像可知2331m m +->，从而可求出m 的取值范围 【详解】
解：1,0
()11,0x x f x x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩
，图像如图所示
因为直线233y m m =+-与函数()||1f x x =+的图像有两个不同交点， 所以2331m m +->，解得4m <-或1m ， 所以实数m 的取值范围是(,4)(1,)-∞-+∞， 故答案为：(,4)(1,)-∞-+∞ 16．1 【分析】
先利用指对数互化得到3log 2a =，从而分析出2y x abx a =--由两个零点，利用根与系数的关系可得答案. 【详解】
因为32a =，所以3log 2a =，所以23log og 31l 2ab =⨯=.
函数2y x abx a =--即为23log 2y x x =--由两个零点，即为32log 2=0x x --的两根. 由根与系数的关系可得两根之和为1. 故答案为：1
17．（1）1
8
；（2）(3,0)-.
【分析】
（1）把1直接代入即可求解；
（2）根据()0f x <对x R ∀∈恒成立，列不等式组，求出实数k 的取值范围.
【详解】
（1）因为1是()f x 的一个零点， 所以3(1)208f k k =+-=，解得：1
8
k =.
（2）对于二次函数二次函数2
3()28
f x kx kx =+-，
因为()0f x <对x R ∀∈恒成立，
只需满足2
034208k k k <⎧⎪
⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪
⎝⎭⎩， 解得：30k -<<，
所以实数k 的取值范围是(3,0)-. 18．（Ⅰ）0 ；（Ⅱ）2a <-. 【分析】
（Ⅰ）利用偶函数的定义列方程即可求解；
（Ⅱ）()()()232x
f x a a
g f x =+-=+-，若0a ≥时，不符合题意；当0a <时，写成分段
函数的形式，判断单调性，得出有两个零点的条件即可求解. 【详解】
（Ⅰ）()()2
3x a y f g x +-==为偶函数，
则()()()()2
3
x a f g x f g x -+--==，即2233x a x a -+-+-=，
可得x a x a +=-+，所以()()2
2
x a x a +=-+ 可得20ax =对于x ∈R 恒成立，所以0a =，
（Ⅱ）()()()232x
f x a a
g f x =+-=+-，
若0a ≥时，()()32x
a g f x =+-在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；
当0a <时，()()()()3332,log 3232,log x x
x a x a g f x a a x a ⎧+-≥-⎪
=+-=⎨---<-⎪⎩
，
则()()g f x 在()()3,log a -∞-单调递减，在()()3log ,a -+∞单调递增，
所以()()()
3mi lo n g 32220a a a a g f x -+-=-+-=-<=，
当()3log x a <-时，3x a a --<-，所以20a -->，可得2a <-， 19．（1）证明见解析；（2）(6,11]. 【分析】
（1）由于f （x ）的图像关于y 轴对称，所以可得f （x ）为偶函数，再利用偶函数的定义列方程可求出a 的值，然后利用单调性的定义证明即可；
（2）由（1）得()22()22222x x x x h x m --=+++-，令22x x t -=+，将函数转化为224y t t m =+--，
构造函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+，由函数()h x 在区间[1,)-+∞上有两个零点，求出t 的范围，从而可求出m 的取值范围 【详解】
（1）证明：∵f （x ）的图像关于y 轴对称，∴f （x ）为偶函数，
()()0f x f x ∴--=，即()22220x x x x a a --+⋅-+⋅=，整理得()(1)220x x a ---=，上式对任意的x ∈R 均成立，故1－a ＝0， ∴1a =．
任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，
则()()2211212222x x x x f x f x ---=+--
121122
12
2222222x x x x x x x x ++++--=
()(
)12
2112
21222x x x x x x ++--=
．
12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，12220x x ∴-<，()()1221210,x x f x f x +->∴>， 即证得f （x ）在[0,)+∞上单调增．
（2）解：()22()22222x x x x
h x m --=+++-，
令22x x t -=+．
则()2
()222422x x x x h x m --=+-++- 224t t m =+--．
由（1）可得当[1,)x ∈-+∞时，[2,)t ∈+∞ 引入函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+．
易知F （t ）在[2,)+∞上单调递增，F （t ）最多有一个零点． 要使h （x ）在[1,)-+∞上有两个零点，则52,2t ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，
所以2
524,2,2m t t t ⎛⎤=+-∈ ⎥⎝⎦
，可得(6,11]m ∈，
故实数m 的取值范围为(6,11]．
20．(1)2a =，2222(),(),22
x x x x
f x
g x x R ---+==∈；(2)15(,)8+∞.
【分析】
(1)取x =-1结合已知条件求出a 值，再由奇偶函数定义列式解方程即得；
(2)利用(1)的结论，通过换元，令22||2
x x t --=，问题转化为方程2
321t t λ=--在3(0,)4t ∈时
有唯一实根即可作答. 【详解】
(1)令x =-1得1(1)(1)f g a --+-=，而函数()f x 、
()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 则1
1
(1)(1)2
a f g -=-+=
，解得2a =，此时()()2x f x g x +=，又()()2x f x g x --+-=，即()()2x f x g x --+=，
于是得2222(),()22
x x x x
f x
g x ---+==， 所以2a =，2222(),(),22
x x x x
f x
g x x R ---+=
=∈； (2)由(1)知()()222222[2]3||()322
x x x x
f x
g x λλ---+⋅+=⇔⋅+=，
依题意方程222222||()322
x x x x
λ---+⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，显然0x ≠，
令22||2
x x
t --=(0||1)x <<，它为偶函数，且在(0,1)内单调递增，则304t <<，
222
222222()24x x x x t ---+-==，于是得22222212
x x
t -+=+，
原方程化为：22
3(21)321t t t t
λλ++=⇔=--，
所以方程()()[2]3f x g x λ⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，等价于方程
23
21t t λ=--在3(0,)4
t ∈时有唯一实根，
因函数2
3()21h t t t =--在3(0,)4单调递减，则3(0,)4t ∀∈，234315()()32()14348
h t h >=⋅--=，
从而有15
8λ>
，且λ在15(,)8+∞内每一个值，有唯一3(0,)4
t ∈与之对应， 所以常数λ的取值范围是15
(,)8
+∞. 21．（1）1
4
m =；（2）()0,1. 【分析】
（1）先研究0m ≤时，利用单调性判断不符合题意，
再根据对勾函数性质得到最小值1，即解得参数；
（2）先作出函数()f x 的图象，判断方程的根即()f x k =或()1f x k =+的根，再根据题意，
结合直线y k =和1y k =+，进行数形结合得到11
1k k +>⎧⎨<⎩，即解得结果.
【详解】
解：（1）当0x >时，()2x m m
f x x x x
+==+， 若0m ≤，则()f x 在()0,+∞上单调递增，无最小值，所以0m >，
故由对勾函数性质可知，当x ()f x
取到最小值1， 所以1
4
m =
； （2）依题意，()()214,0log ,0
x x f x x x x ⎧⎪⎪+>=⎨⎪-<⎪⎩，作出函数()f x 的大致图象如下：
方程()()()2
2
210f x k f x k k ⎡⎤-+++=⎣⎦，即()()10f x k f x k ⎡
⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦， 故()f x k =或()1f x k =+，恰好有4个不相等的实数根
.
作直线y k =和1y k =+，则两直线与函数有4个交点，结合图象可知11
1k k +>⎧⎨<⎩，解得01k <<，
故实数k 的取值范围为()0,1.
22．（1）()g x x =，1
2
k =-；（2）0a >或10a =--
【分析】
(1)根据偶函数的定义依次分析判断四个选项，得到()g x 的表达式及k 的值； （2）将不等式化简得到()
2
1
(1)102
2
2x x a a ⋅-+⋅-=，利用换元法得到方程21
(1)102
a t a t ⋅-+⋅-=只有一个解，接着对a 的取值进行分类讨论求解即可；
【详解】
（1）因为函数()2()log 21()x
f x k
g x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.
若选择①2
1()g x x =，
则()2
2()log 21x f x k x =++⋅，x ∈R
因为()()22
22()log 21()log 21()x x f x k x k x x f x --=++⋅-=++⋅-≠，
故()f x 不是偶函数； 若选择②22()log g x x =，
则()22()log 21log x
f x k x =++⋅，(0,)x ∈+∞，
故()f x 不是偶函数； 若选择③3()g x x =，
则()2()log 21x
f x k x =++⋅，x ∈R
因为()()()22()log 21()log 211x
x f x k x k x --=++⋅-=+-+⋅，
当12k =-时，()21()log 21()2
x
f x x f x -=+-⋅=，故()f x 是偶函数；
若选择④4()2x
g x =，
则()2()log 212x x
f x k =++⋅，x ∈R
因为()()221
()log 212log 21()2x x x
x
f x k k x f x ---=++⋅=++⋅
-≠，
故()f x 不是偶函数； 综上：()g x x =，1
2
k =-；
（2）若方程)(()f x h x =只有一个解，
即()21log 212x
x +-
=211log 222x a a x ⎛
⎫⋅-+ ⎪⎝⎭只有一个解，
整理得：()
2
1
(1)102
2
2x x a a ⋅-+⋅-=， 令2x t =得2
1(1)102a t a t ⋅-+⋅-=，
因为1(2)02x
a ⨯->，所以a 与122
x -同号，
当0a >时，1202
x
-
>，则122x t =>，
所以方程2
1(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(,)2+∞上只有一个解，
因为方程对应的二次函数2
1()(1)12m t a t a t =⋅-+⋅-图像是开口向上的，
且(0)10m =-<，13()022m =-<，136
()02m a a
+=>，
所以当0a >时方程2
1(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(,)2
+∞上只有一个解；
当0a <时，2102x
-
<，则1(0,)2
2x t =∈， 所以方程2
1(1)102
a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(0,)2上只有一个解，
因为方程对应的二次函数2
1()(1)12m t a t a t =⋅-+⋅-图像是开口向下的，
且(0)10m =-<，13
()022
m =-<，
则2
1=140
21112022a a a a ⎧⎛⎫
∆++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<
⎩
解得102a a ⎧=-±⎪⎨<-⎪⎩
所以当10a =--2
1(1)102
a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(0,)2上只有一个解；
综上：当0a >
或10a =--)(()f x h x =只有一个实根.
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。