沪科版九年级下册专题 圆周角的概念、定理及应用

专题：圆周角的概念、定
理及应用
※知识要点
1．圆周角定义
顶点在，两边为
的角叫作圆周角；
2．圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的；
3．圆周角定理的推论
(1)推论1：在中，同弧或等弧所对的圆周角
，相等的圆周角所对的
弧；
(2)推论2：或所对的圆周角是；
反之，90°的圆周角所对的弦
是；
4．圆内接多边形
(1)定义：一个多边形的都在
同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接
多边形，这个圆叫做这个多边形
的；
(2)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角，且圆内接四边形
的任何一个外角等于它的．
※题型讲练
【例1】(1)如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是AB
︵
中点，弦CD交OB于点E，若⊙AOB＝100°，⊙OBC＝55°，则⊙OEC＝．
(2)如图，在⊙O中，弦AC＝23，B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝________．
变式训练1：1．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC 垂直于AB，D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB的两侧，连接AD，CD，OB，若∠BOC＝70°，则∠ADC＝_______.
2．如图，⊙ABC内接于⊙O，BC=12cm，⊙A=60°，则⊙O的直径为．
【例2】(1)如图，AB为直径，⊙BED＝40°，则⊙ACD＝______．
(2)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5 2，则BC的长为________．
变式训练2：
1．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD的度数为________．2．如图，半径为5的⊙A经过原点O和点C(0，4)，B是⊙A上一点，则tan∠OBC为________．
【例3】(1)如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数为________．(2)已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C、与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E、与⊙O2交于点F，连接CE，DF.
求证：CE⊥DF．
变式训练3：
1．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边
的延长线分别相交于点E，F，若∠A＝55°，
∠E＝30°，则∠F＝_______.
2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AD，BC的延长线相交于点P，∠APB的平分线交CD于点E，交AB于点F.
求证：∠CEF＝∠BFE.
【例4】如图，AB是⊙O的直径，D，E 为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD 并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC 交⊙O于点F，连接AE，DE，DF. (1)求证：∠E＝∠C；
(2)若∠E ＝55°，求∠BDF 的度数； (3)设DE 交AB 于点G ，若DF ＝4，
cos B ＝ ，E 是AB ︵
的中点，求EG ·ED 的值．
变式训练4：
1．如图，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，G 是AC ︵
上任意一点，AG 、DC 的延长线交
于F ．
(1)求证：∠FGC ＝∠AGD ； (2)求证：DG ·CG =AG ·FG ． ※课后练习
1．小宏用三角板检查某些工件的弧形凹面是不是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )
2．如图1，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为( )
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．65°
图1 图2
图3 3．如图2所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的度数是( )
A ．80°
B ．120°
C ．100
D ．90° 4．如图3，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵
的中点，M 是半径OD 上任意一点．若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( )
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．85°
5．如图4，在圆内接四边形ABCD 中，AD 与BC 的延长线相交于点P ，BD 与AC 相交于点E .则图中的相似三角形有( )
A ．5对
B ．4对
C ．3对
D ．2对
6．如图5，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在劣弧BC 上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________.
7．如图6，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是________．
图4 图5
图6
8．如图7，四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝
2∠A ，则BD ＝________．
图7 图8
图9
9．如图8，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE ＝3，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则BC 的长为________.
10．如图9，在⊙O 上有定点C 和动点P ，且位于直径AB 的两侧，过点C 作CP
的垂线与PB 的延长线交于点Q .已知⊙O 的
直径为10，tan ∠ABC ＝ ，则CQ 长的
最大值为________．
11．如图，⊙O 的直径AB ＝10，C 为直径AB 下方半圆上一点，
∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD ，BD .
(1)判断△ABD 的形状，并说明理由；
(2)若弦AC ＝6，求BC 的长． 12．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知⊙O 的半径为2 3.
(1)求证：△CDE ∽△CBA ； (2)求DE 的长．
13．如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°.
(1)判断△ABC 的形状；
(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P 位于AB ︵
的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
G
E
C A O
D F 34。