2017年中考数学《“四边形”问题的解题策略》复习教学案

“四边形”问题的解题策略
纵观近几年各地的中考试题，考查四边形的解答题在逐渐发生着变化，一方面考查平行四边形以及特殊平行四边形的判定，另一方面更注重考查角平分线的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形的中位线以及勾股定理的综合运用.
为帮助学生总结一些解题模型，达到事半功倍的效果，笔者现将四边形解答题的模型分类归纳如下，与大家一起分享.
一、求证线段相等——“角平分线十平行线出等腰三角形”模型以及逆用
例1 (2016年北京中考题)如图1，四边形ABCD 是平行四边形，AF 平分，交DC 的延长线于点F ，求证:DA DF =.
分析 本题考查的知识点是平行四边形的性质，两直线平行的性质，等角对等边;而已知条件恰恰有平行线(//AB CD )和角平分线(AF 平分)，恰好可以得到等腰三角形
(DA DF =).
例2如图2，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线交BC 于点E , 连结EF .
(1)求证:四边形ABEF 为菱形;
(2)AE ，BF 相交于点O ，若6BF =，5AB =，求AE 的长.
分析 (1)本题的题干以作图的形式给出，十分新颖.已知条件恰恰有角平分线(AE 为
BAD ∠的平分线)+平行线(//AD BC )的条件，
则可以得到AB BE =.而此题的难点在于从已知中找出隐含条件:AF AB =，从而得到AF BE =，又//AF BE ，因此得到四边形ABEF 为平行四边形，再利用菱形的定义得证.
(2)利用勾股定理即可求出AO 的长，而2AE AO =，即得解.
例3 (2015年北京中考题)如图3，在A B C D Y 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点F 在边CD 上，DF BE =，连结AF ，BF
(1)求证:四边形BFDE 是矩形;
(2)若3CF =，4BF =，5DF =，求证:AF 平分DAB ∠.
分析 本题考查的知识点有:平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，矩形的判定.
(1)根据平行四边形的性质，可得//AB CD .又由已知DF BE =，根据平行四边形的判定，可得四边形BFDE 是平行四边形，再由DE AB ⊥，根据矩形的定义，可得证.
(2)根据题意，利用勾股定理求得5BC =，则5AD =.又已知5DF =，因此AD DF =(等腰三角形)，又有//AB CD (平行线)，可得DFA FAB ∠=∠，根据等腰三角形的判定与性质，可得DAF DFA ∠=∠，根据角平分线的判定，即可得证(等腰三角形+平行线得到角平分线，逆用此模型).
二、求线段长、求面积——利用“面积相等求高”模型
例4 如图4，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且ADE BAD ∠=∠，AE AC ⊥.
(1)求证:四边形ABDE 是平行四边形;
(2)如果DA 平分BDE ∠，5AB =，6AD =，求AC 的长.
分析 (1)利用两组对边分别平行即可得证.
(2)首先利用“角平分线+平行线”模型，证明ABCD Y 为菱形，连结BE ，则B E A D ⊥ ，如图 4.利用菱形AEDB 的面积12
ABDE S BE AD BD AF ==g g 菱形，求出AF 的长，而2AC AF =，得解.
注 也可以利用ABD V 的面积1122ABD S BO AD BD AF =
=V g g ，求得AF 的长. 例5 如图5，在A B C D Y 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E , ABC ∠的平分线交AD 于点F ，AE 与BF 相交于点O ，连结EF .
(1)求证:四边形ABEF 是菱形;
(2)若6AE =，8BF =，3CE =，求ABCD 的面积.
分析 (1)利用菱形的定义即可得证.
(2)求ABCD Y 的面积，关键是求ABCD Y 的高.如图6，过点A 作ABCD Y 的高AH ，本题的巧妙之处在于，高AH 既是ABCD Y 的高，又是菱形ABEF 的高，而己知菱形ABEF 的两条对角线的长，因此可以利用菱形的面积12
ABEF S AE BF BE AH =
=g g 菱形, 求得AH 的长，从而求出ABCD Y 的面积.
三、已知条件中有比值出现——利用方程思想求解
例6 如图7 , ABC V 中，90BCA ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，分别过点C 、D 作BA 、BC 的平行线交于点E ，DE 交AC 于点O ，连结AE .
(1)求证:四边形ADCE 是菱形;
(2)若2AC DE =，求sin CDB ∠的值.
分析 (1)先利用两组对边分别平行证明四边形DBCE 是平行四边形，从而得到CE BD =，而由已知AD BD =，AD CE =，又//AD EC ，可得四边形ADCE 是平行四边形;又利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得CD AD =，从而得证.
(2)要求sin CDB ∠的值，需先构造直角三角形，如图8，过点C 作于CF AB ⊥点F .而已知2AC DE =，由(1)可知，BC DE =.设BC x =，则2AC x =，在Rt ABC V 中，根
据勾股定理，可求得AB =，利用面积相等求得高CF =，而12CD AB x ==，
从而可解.
例7 如图9，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的中线，过点D 作DE BC ⊥于点E ，过点C 作AB 的平行线与DE 的延长线交于点F ，连结BF , AE . (l)求证:四边形BDCF 为菱形;
(2)若四边形BDCF 的面积为24,2tan 3
EAC ∠=，求CF 的长.
分析 (1)先利用平行四边形的定义证明四边形ACFD 为平行四边形，从而得到AD CF =，再利用一组对边平行且相等，证明四边形BDCF 为平行四边形，又已知DE BC ⊥，所以，四边形BDCF 为菱形.
(2)由已知2tan 3EAC ∠=，即可得比值23
EC AC =，因此设2CE x =，3AC DF x ==.又已知菱形BDCF 的面积为24，因此可列方程143242
x x =g g ，解方程即可求得x 的值.进而求得CE ，EF 的长，再利勾股定理求得CF 即可.
四、有特殊角出现时，求线段长、面积、三角函数——利用解直角三角形模型 例8 如图10，在ABC V 中，D 为AB 边上一点，F 为AC 的中点，
过点C 作//CE AB 交DF 的延长线于点E ，连结AE .
(1)求证:四边形ADCE 为平行四边形;
(2)若EF =30FCD ∠=︒，45AED ∠=︒，求平行四边形ADCE 的面积.
分析 (1)利用一组对边平行且相等或两条对角线互相平分即可得证.
(2)由己知30FCD ∠=︒，可得到30FAE ∠=︒.而又已知EF =45AED ∠=︒，则在AEF V 中，过点F 作FM AE ⊥于M (如图11)，先在Rt MEF V 中解直角三角形求得2FM EM ==;再在Rt AMF V 中解直角三角形求得AM ，从而求得ADCE 的底和高，进而求得它的面积.。