28压杆稳定的概念压杆稳定的临界力和临界应力

【教学内容】
第九章 压杆稳定
9.1 压杆稳定的概念
9.1.1 压杆的概念
工程工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。

从强度观点看，杆件只要满足压缩强度条件，就能保证压杆的正常工作。

实践证明，这个结论仅适用于短粗压杆。

9.1. 2 失稳
由于压杆轴线不能维持原有的直线形状平衡，丧失了稳定性的现象简称为失稳。

压杆失稳是不同于强度破坏的又一种失效形式，对于细长压杆必须给予足够的重视。

为确保细长压杆能正常工作，不仅要进行强度和刚度计算，还要进行稳定性计算。

压杆的失稳是突然发生的，其后果十分严重。

在机械工程中，有许多较细长的受压杆，如内燃机中的连杆、液压缸的活塞杆、起重机的吊臂等，都需要考虑稳定性问题。

9.1.3 压杆的稳定性
杆件在其原有几何形状下保持平衡的能力称为杆件的稳定性。

以图9-1所示的细长压杆为例，说明压杆的失稳过程。

在杆端施加轴向压力F ，当F 较小时，杆件处于直线平衡形式（图9-1a ），若施加一横向干扰力，杆件将发生微小的弯曲变形（图9-1b ），撤掉干扰力，杆件仍能恢复到原来的直线平衡状态(图9-1c)，此时杆件处于稳定性平衡状态。

当压力F 逐渐增大到某一值时，杆件在横向干扰力作用下发生弯曲，撤去横向干扰力后，杆件不能恢复到原来的直线平衡状态，而处于微弯的平衡状态（图9-1d ）。

若压力继续增加，杆件因弯曲变形显著增加而丧失工作能力。

在轴向压力逐渐增大的过程中，压杆经历了从稳定性平衡到不稳定性平衡两个阶段。

压杆能否保持稳定，与其所承受的轴向压F 力大小有关。

压杆由稳定性平衡过渡到非稳定性平衡的极限状态称为临界状态，与临界状态对应的轴向压力F 称为临界压力或临界载荷，用c r F 表示。

临界力c r F 大，压杆不宜失稳，临界力c r F 小，压杆宜失稳。

解决压杆稳定性的关键是确定临界力c r F 的大小。

9.2 压杆稳定的临界力和临界应力
9.2.1 压杆的临界力
临界力c r F 是判断压杆是否稳定的依据。

细长杆的临界力c r F 是压杆发生弯曲而失稳的最小压力值。

当杆内应力不超过材料的比例极限p σ时，临界力的大小与压杆的抗弯刚度成正比，与压杆长度的平方成反比，并与压杆两端的支承情况有关。

各种不同约束情况下的临界力公式，可用统一形式表示，称为计算临界力的欧拉公式：
()
2c r 2EI F l πμ= （9-1） 式中E ——材料的弹性模量；
I ——压杆横截面对中性轴的惯性矩（4mm ）；
μ——与杆件横截面两端支承情况有关的长度系数，其值见表9-1；
l ——杆件的长度；
l μ——与杆件支承情况有关的长度系数，称为计算长度。

9.2.2 压杆的临界应力
压杆在临界力作用下横截面上的压应力，称为临界应力，以cr σ表示，
()()
22cr 2cr 22/F E E i A l l i ππσμμ==⨯= （9-2） 令l i
μλ=，则得到临界应力的欧拉公式： 2c r 2E πσλ=
（9-3）
式中λ——压杆的柔度或长细比，是一个无量纲的量。

上式表明：σ与2λ成反比，λ愈大，压杆愈细长，临界应
图9-1
力c r σ愈小，压杆愈容易失稳。

反之，λ愈小，压杆愈粗短，临界应力c r σ愈大，压杆愈不易失稳。

λ综合反映了杆件的长度、截面形状和尺寸以及杆两端支承情况等因素对临界应力的影响。

例9-1 如图9-2所示一端固定，一端自由的细长压杆，用22a 工字钢制成,压杆长度4m l =，弹性模量210GPa E =,试用欧拉公式求此压杆的临界力。

解 压杆一端固定，一端自由，2μ=。

由型钢表可查得22a 工字钢：43400cm z I =，4225cm y I =，故压杆的临界力为
()()()
2229-843min cr 222π×21010Pa 22510m 72.910N=72.9kN 24m y EI EI F l l ππμμ⨯⨯⨯====⨯⨯ 讨论 当压杆在各弯曲平面内具有相同的杆端约束时，用工字钢作压杆是否合理？
9.2.3 欧拉公式的适用范围
由于欧拉公式是在材料服从于胡克定律的条件下推导得出的，所以，只有当杆内临界应力不超过材料的比例极限P σ时，欧拉公式才能适用，即
2cr 2E πσλ
=≤p σ 由此可导出对应于比例极限时的柔度p λ为
p λ= （9-4） 则有欧拉公式的适用范围是
λ≥p λ
把λ≥p λ的压杆称为细长杆或大柔度杆。

欧拉公式只适用于细长杆。

p λ的数值取决于材料的弹性模量及比例极限P σ。

各种材料的E 和P σ不同，其p λ值也是不同的。

对于Q235钢制成的压杆，当实际柔度λ≥100时，才能用欧拉公式计算其临界压力。

9.2.4 临界应力的经验公式
工程中的压杆柔度往往小于p λ，此时仍会发生失稳现象，但欧拉公式已不适用。

对于这类压杆的临界应力计算，工程中一般采用以实验结果为依据的经验公式，即
cr a b σλ=- （9-5）
式中 a 、b 与材料性质有关的常数（见表9-2），单位为MPa 。

对于塑性材料制成的压杆，其临界应力不得超过材料的屈服极限s σ，即
cr a b σλ=-＜s σ
或 λ＞s s a b
σλ-=
式中s λ——对应于屈服极限的柔度值，称为屈服极限柔度。

当柔度λ在60～100之间时，才能使用经验公式。

公式（9-5）的适用范围为
s λ＜λ＜p λ
柔度在s λ和p λ之间的压杆，称为中长杆或中柔度杆。

对于柔度λ≤s λ的杆，称为小柔度杆和粗短杆。

此类杆失效的原因属于强度不足，并非失稳。

各类杆的临界应力计算公式归纳如下：
1）当λ≥p λ时，压杆是细长杆，采用欧拉公式
2cr 2E πσλ
= 2）当s λ＜λ＜p λ时，压杆是中长杆，采用经验公式
cr a b σλ=-
3）当λ≤s λ时，压杆是粗短杆，采用压缩强度公式
cr s σσ= （塑性材料）
c r b σσ= （脆性材料）
图9-3所示为临界应力总图，该图表示了临界应力随柔度λ的变化规律。

例9-2 用Q235钢制成三根压杆，两端均为铰接，横截面直径为50mm d =，长度分别为12m l =、21m l =、30.5m l =。

试求三根压杆的临界压力。

解 （1）计算柔度，确定压杆的临界应力公式。

图9-3
三根压杆的截面直径相同，4
64z d I π=，2
4d A π=，则其横截面的惯性半径均为
4
d i ==，代入柔度计算公式得 11112000mm 4160450mm
l l i d μμλ⨯⨯==== 1λ≥p 100λ=，杆1为细长杆，用欧拉公式计算临界应力。

22211000mm 480450mm
l l i d μμλ⨯⨯===
= s 60λ=＜2λ＜p 100λ=，杆2为中长杆，用经验公式计算临界应力。

3331500mm 440450mm
l l i d μμλ⨯⨯===
= 3λ＜s 60λ=，杆3为粗短杆，其屈服点为临界应力。

（2）计算各杆的临界压力
2221cr122114E d E F A A πππσλλ=⋅=⨯=⨯ ()2339325010m 20610Pa 15610N =156kN 4160
π-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯ ()()2
2224
d F A a b a b πλλ=-=- ()
()23635010m 304 1.128010Pa 42110N =421kN
4π-⨯⨯=⨯-⨯⨯=⨯()2
-363s π×5010m ×23510Pa 4
F A σ⨯=⋅=⨯
346110N =461kN =⨯
例9-3 一压杆长200mm l =，矩形截面宽2mm b =，高10m m h =，压杆两端为球铰支座，材料为Q235，200GPa E =，试计算压杆的临界应力。

解 （1）求惯性半径i 。

因压杆采用矩形截面且两端球铰，故失稳必在其刚度较小的平面内产生，应求出截面的最小惯性半径。

i ===（2）求柔度λ。

因两端可简化为铰支，1μ=，故
1200mm 346.42mm
l l i b μμλ⨯===
=＞p λ （3）用欧拉公式计算其临界应力 ()
2296c r 2220010Pa 16.410Pa 346.2E ππσλ⨯⨯===⨯。