2016届江苏省盐城中学高三下学期3月模拟考试数学试题

2016届江苏省盐城中学高三下学期3月模拟考试数学试题
一、填空题：
1．已知集合{}1,2A =，集合{}1,,3B a =, 且A B ⊆，则实数a 的值为 2 ． 2．已知复数(1)(1)i bi +⋅+为纯虚数，则实数b 的值为 1 ． 3．一个算法的流程图如下图所示，则输出Y 的
结果为 11 ．
4．上图是一次考试结果的频率分布直方图，若
规定60分以上(含60)为考试合格，则这次考试的合格率为 0.72 ．
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只白球，2只黄球，从中一次随机摸取2只球，则这2只球颜色不同的概率为 2/3
6．设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 ④ .（请写出所有正确命题的序号）
①若n m n m //,//,//则αα ②若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂ ③若βαβα⊥⊂⊥m m 则,, ④若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥
7．设函数21, 1
()4(1)(2), 1
x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩，则()f x 的最小值为 -1 ．
8．把函数()cos 2sin 22f x x x =-+的图象沿x 轴向左平移m 个单位（0m >），所得函数的图象关于直线8
x π
=
对称，则m 的最小值是
4
．
9．若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 4 ． 10．已知函数2
()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++
++=L -100 .
分数/分
(第4题图）
11．过圆x 2＋y 2＝1上一点P 作圆的切线与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点， 则|2|OB OA +的最小值是 3
12．已知△ABC 中，3(→CA ＋→CB )·→AB ＝4→
AB 2，则tan A tan B ＝ -7 .
13．已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，若存在非零实数，使得()12f t f t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
，则
224a b +的最小值为 16
5 ．
14.已知等比数列{}n a 的首项为
43，公比为1
3
-，其前n 项和记为S ，又设135
21,,,,248
2n n n B -⎧⎫=⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭(,2)n N n *∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，
则22014S T +≥2016的最小正整数n 为 45 ．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3
cos 24
C =-. （1）求sin C ；（2）当2c a =，且37b =时，求a . 解：（1）由已知可得2312sin 4C -=-
.所以27
sin 8
C =. 因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以14
sin C =
.
（2）因为2c a =
，所以1sin sin 2A C =
=
. 因为ABC ∆
是锐角三角形，所以cos C =
，cos A =. 所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =
+=
+
=
sin a
A
=
，所以a =. 说明:用余弦定理也同样给分. 16．（本题满分14分）
如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=.
(1)求证：AC ⊥平面BDE ； （2）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，
使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.
16.(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，
所以AC DE ⊥. 因为ABCD 是正方形，
所以BD AC ⊥，因为DE BD D ⋂= 从而AC ⊥平面BDE .
（2）当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，
AM ∥平面BEF ．
取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连结MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ， 因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ， 故四边形AMNF 是平行四边形． 所以AM ∥FN ，
因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ， 所以AM ∥平面BEF ． 17．（本题满分14分）
甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与
年产量（吨）满足函数关系x =若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下s 为赔付价格）.
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2
0.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
解：（1）因为赔付价格为s 元/
吨，所以乙方的实际年利润为：()0w st t =≥
A B C
D
F E
因为2
210001000w st s s s ⎫==--+
⎪⎭，（也可利用导数） 所以，当2
1000t s ⎛⎫
= ⎪⎝⎭时，w 取得最大值 .
所以乙方获得最大利润的年产量2
1000t s ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（吨）.
（2）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-.将2
1000t s ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
代人上式，得到甲方净收入
v 与赔付价格s 之间的函数关系式：2
34
100021000
v s s s ⨯⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 又()23
2325510008000100081000s v s s s
-⨯'=-+= 令0v '=，得20s =.当20s <时，0v '>；当20s >时，0v '<，
所以，20s =时，v 取得最大值.
因此甲方向乙方要求赔付价格20s =（元/吨）时，获最大净收入. 18．（本题满分16分）
如图，椭圆C 的中心在原点，左焦点为1(1, 0)F -，右准线方程为：4x =； （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 上点N 到定点(, 0)M m (02)m <<的距离的最小值为1，求m 的值及点N 的坐标；
（3）分别过椭圆C 的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A B 、是所围成的矩形在x 轴上方的两个顶点；若P Q 、是椭圆C 上两个动点，直线OP OQ 、与椭圆的另一个交点分别为11P Q 、；且有直线OP OQ 、的斜率之积等于直线OA OB 、的斜率之积，试探求四边形11PQPQ 的面积是否为定值，并说明理由．
解析：（1）设椭圆的方程为：22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>，为半焦距；
由题意可得：1c =，2
4a c =；解得：2a =，从而有2223b a c =-=； ∴椭圆C 的方程为：22
143
x y +
=． （2）设(, )N x y ，由定点(,0)M m ，考虑距离的平方；
则2
2
2
()MN x m y =-+2
2
()3(1)4
x x m =-+-221234x mx m =-++；
二次函数的图象对称轴为4x m =； 由椭圆方程知：22x -≤≤； 由题设知：048m <<；分类讨论： ①当042m <≤即102
m <≤时，在4x m =时有2
2min 331MN m =-+=； 解得：221
34
m =>，不符合题意，舍去； ②当42m >即
122
m <<时，由单调性知：在2x =时有22min 41MN m m =-+=； 解得：1m =或3m =（舍）；
综上可得：m 的值为2，点N 的坐标为(2, 0)．
（3）由椭圆方程可知：四条垂线的方程分别为：2x =±
、y =；
则(2,A
、(2,B -；
∴3
4
OA OB k k ⋅=-
；设11(, )P x y 、22(, )Q x y ，则有1212OP OQ y y k k x x ⋅=；
∴由题意可得：121234y y x x =-（*），而点P Q 、均在椭圆上，有22
113(1)4
x y =-、2
22
2
3(1)4x y =-；
∴将（*）式平方并代入可得：2222221212129169(4)(4)x x y y x x ==--，即22
124x x +=；
()a 若12x x =，则11P P Q Q 、、、分别是直线OA
OB 、与椭圆的交点；
∴四个点的坐标分别为：
、
、(
、( ； ∴四边形11PQPQ
的面积为．
()b 若12x x ≠，则可设直线PQ 的方程为：21
1121
()y y y y x x x x --=
--； 化简可得：21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=； ∴原点O 到直线PQ 的距离
为d =
，
而
PQ =；
∴12211122OPQ S PQ d x y x y ∆=
⋅=-=
====； 根据椭圆的对称性，该四边形11PQPQ 也是关于O 成中心对称；
∴四边形11PQPQ 的面积为4OPQ S ∆，即为定值；
综上所述：四边形11PQPQ 的面积为定值，该定值为．
19（本题满分14分）
已知函数22,0
()ln ,0
x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函
数图象上的两点,且12x x <.
(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值; (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.
解:()I 函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-,单调递增区间为[)1,0-,()0,+∞
()II 由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',
故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时,有()()121f x f x ''=-. 当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+. 因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, 所以()()12220,220x x +<+>.
因此()()21121
222212x x x x -=
-+++≥=⎡⎤⎣
⎦ 当且仅当()122x -+=()222x +=1,即1231
22
x x =-=且时等号成立.
所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时,21x x -的最小值为1
()III 当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<.
当10x <时,函数()f x 的图象在点()()
11,x f x 处的切线方程为
()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+
当20x >时,函数()f x 的图象在点()()
22,x f x 处的切线方程为
()2221ln y x x x x -=
-,即22
1
ln 1y x x x =•+-. 两切线重合的充要条件是12221
1
2 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①
②
由①及120x x <<知,110x -<<. 由①②得,()2211111
ln
1ln 22122
a x x x x =+-=-+-+.
设()()2
1111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, 则()1111
201
h x x x '=-
<+. 所以()()1110h x x -<<是减函数. 则()()10ln 21h x h >=--, 所以ln 21a >--.
又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大, 所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞.
故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是()ln 21,--+∞ 20．（本小题满分16分）
定义数列{}n a ：11a =，当2n ≥ 时，11,2,,
2,21,.
n n n a r n k k N a a n k k N *
-*
-⎧+=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩其中0r ≥。

（1） 当0r =时， 123n n S a a a a =++++L 。

①求：n S ；
②求证：数列{}2n S 中任意三项均不能够成等差数列。

（2） 是否存在正整数M 对一切n N *
∈及0r ≥，不等式M a a n
k k
k k
<∑=-12122恒成立，如果存在求出M 的最小值，如果不存在说明理由。

解：（1）当0r =时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8.从而猜出数列{}21k a -、
{}2()k a k N *∈均为等比数列。

∵22122212212,22k k k k k k a a a a a a --+-====，∴数列{}21k a -、{}2()k a k N *
∈均为等比
数列，∴12122k k k a a --==。

①∴2135212()k k S a a a a -=++++L 2(21)k
=-=1
2
2k +-，
11212221222322k k k k k k S S a -----=+=-+=⨯-，
∴12
1
222,
2,.322,21,n n n n k S k N n k +-⎧-=⎪=∈*⎨⎪⨯-=-⎩
②证明（反证法）：假设存在三项,,(,,,)m n p S S S m n p N m n p *
∈<<是等差数列，即
2n m p S S S =+成立。

因,,m n p 均为偶数，设12m m =，12n n =，12p p =，（111,,m n p N *∈）， ∴11
122(21)2(2
1)2(21),n
m p ⨯-=-+-即 1112222,n m p ⨯=+∴11111212n m p m -+-=+，而
此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。

（2）∵221222k k k a a r a r --=+=+，∴2222()k k a r a r -+=+，∴{}2k a r +是首项为
12r +，公比为2的等比数列，∴12(12)2k k a r r -+=+⋅。

又∵2122122()k k k a a a r +-==+，∴212122(2)k k a r a r +-+=+，∴{}212k a r -+是首项为
12r +，公比为2的等比数列，∴1212(12)2k k a r r --+=+⋅ 。

∴
11
21222(12)22(12)2k k
k k k k a a r r r r ---==⎡⎤⎡⎤+⋅-⋅+⋅-⎣⎦⎣⎦1
21
2(12)2(12)2k k k r r r r ---=⎡⎤⎡⎤+⋅-⋅+⋅-⎣⎦⎣⎦
21211
12(12)2(12)2k k r r r r r --⎡⎤⋅-⎢⎥++⋅-+⋅-⎣⎦
， ∴21
112122211
12(12)2(12)2k n
n k k k k k k
a a r r r r r --==-⎡⎤=-=⎢⎥++⋅-+⋅-⎣⎦∑∑
11
21112(12)2(12)2n r r r r r --⎡⎤-<⎢⎥++⋅-+⋅-⎣⎦224
1212212r r r r
⋅=++-+。

∵0r ≥，∴4
412r ≤+。

∴121224k n
k k k
a a =-<∑。

存在M=4，（这里要说明存在大于3的值，比如2,0==n r 值为
32
7
>） 21.【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． B ．选修4—2：矩阵与变换 (本小题满分10分)
已知矩阵3222-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
M ，求矩阵M 的特征值和特征向量． B ．矩阵M 的特征多项式为2)(2
--=λλλf ，
由2()20f λλλ=--=，解得11-=λ或22=λ， 当11-=λ时，对应的一个特征向量为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=211α，
当22=λ时，对应的一个特征向量为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=122α ，
C ．选修4－4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知曲线1C ：2ρ=与曲线2C
：sin()4
ρθπ-=
交于不同的两点
,A B ，求线段AB 的长度．
C ．曲线1C 化为直角坐标方程为224x y +=，
曲线2C 化为直角坐标方程为20x y +-=．
=， 所以AB =．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加
一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为34
,77
．
⑴按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？
⑵若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率发布列和数学期望．
22．⑴先安排参加单打的队员有2
3A 种方法，再安排参加双打的队员有12C 种方法，
所以，高一年级代表队出场共有21
32A C 12=种不同的阵容．
⑵ξ的取值可能是0,2,3,4,5,7． 649648
(0),(2),(3)343343343
P P P ξξξ==
====， 367227
(4),(5),(7)343343343
P P P ξξξ======．
ξ的概率发布列为
ξ
2 3 4 5 7
P 64
343
96343 48343 36343 72343 27
343
所以，649648367227()0234573343343343343343343
E ξ=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++++． 23.在数列{}n a 和{}n b 中，*,(1),n n n a a b a n b n N ==++∈，其中2a ≥且*a N ∈，
b R ∈．设{}{}123123,,,,,,,A a a a B b b b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，试问在区间[1,]a 上是否存在实数b 使得C A B =≠∅I ．若存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ，若不存在，请说明理
由．。