磁场调制型磁性齿轮的研究

硕士学位论文
磁场调制型磁性齿轮的研究RESEARCH ON A NOVEL FIELD MODULATED MAGNETIC GEAR
林佳
哈尔滨工业大学
2012年7月
国内图书分类号：TM359.4 学校代码：10213 国际图书分类号：621.3 密级：公开
工学硕士学位论文
磁场调制型磁性齿轮的研究
硕士研究生：林佳
导师：刘勇副教授
副导师郑萍教授
申请学位：工学硕士
学科：电气工程
所在单位：电气工程及自动化学院
答辩日期：2012年7月
授予学位单位：哈尔滨工业大学
Classified Index: TM359.4
U.D.C: 621.3
Dissertation for the Master Degree in Engineering
RESEARCH ON A NOVEL FIELD
MODULATED MAGNETIC GEAR
Candidate：Jia Lin
Supervisor：Associate Prof. Liu Yong
Vice supervisor Prof. Zheng Ping
Academic Degree Applied for：Master of Engineering Speciality：Electrical Machine and Apparatus Affiliation：School of Electrical Engineering and
Automation
Date of Defence：July, 2012
Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology
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摘要
相比于机械齿轮，基于磁场耦合原理的磁性齿轮具有许多显著的优点，比如减少维护、可靠性高、自具备过载保护、输入输出间存在物理隔离、噪音低、振动小等，但传统的磁性齿轮所能传递的转矩密度较低。

新型磁场调制型磁性齿轮因为其永磁体利用率高，所能传递的转矩密度可以和机械齿轮相媲美，甚至更好。

本文主要围绕这种磁场调制式磁性齿轮（Field Modulated Magnetic Gear, FMMG）展开研究。

首先，针对FMMG工作原理和结构的特殊性，先采用解析法对其工作原理进行详细的推导和分析，推导了内转子永磁体极对数、调磁环铁心数、外转子永磁体极对数之间所必须满足的数学关系式，并建立了内转子、外转子、调磁环三者之间转矩和转速的数学模型，随后通过二维有限元仿真对其进行验证并做进一步的分析。

其次，研究了四种工作模式下FMMG的静态转矩特性和稳态转矩特性，分析了转矩波动的成因并提出了相应的解决方法，之后研究并分析了磁性齿轮加阶跃负载和过载时的动态特性。

再次，分析了如何根据不同的工作场合的要求来进行最佳方案的选择，并进行了一系列相关的优化。

最后，铁损是FMMG的主要损耗，针对铁损产生的机理，研究了内外转子轭部、永磁体内部、调磁铁心中磁场的分布规律，分析了铁损的分布规律，为效率和温升计算提供理论依据，同时提出了减小永磁体涡流损耗的有效方法。

同时对调磁环的应力分布和形变进行了仿真研究。

关键词：磁场调制型磁性齿轮；转矩特性；铁心损耗；优化
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Abstract
Magnetic gears offer significant potential advantages compared with mechanical gears, such as reduced maintenance and improved reliability, inherent overload protection, and physical isolation between the input and output shafts, low noise and vibration. But the torque transmission capability of them is relatively poor. A new field modulated magnetic gear(Field Modulated Magnetics Gear, FMMG) , because of the full use of permanent magnet, can supply the same competitive torque transmission as mechanical gears, even better. In this thesis, the FMMG is deeply researched and the main corresponding work is as follows.
Firstly, because of its special structure, the basic operating principle of FMMG is elaborated by the analytical method. The corresponding mathematical expression of the pole pairs of permanent magnet in the inner rotor and outer rotor and the numbers of the magnetic blocks of the modulator ring is derivated. Besides, the mathematical model of speed and torque of the inner rotor , the outer rotor and modulator ring is established, and then validated and further elaborated by two-dimensional finite element .
Secondly, Secondly, the static torque characteristics and the stable torque characteristics, under four different operating modes, are researched, the causes of torque ripple is analysed and the corresponding solution is also put up. Then the dynamic performance of FMMG under step response and excess load torque are studied.
Thirdly, how to choose the best programs according to the different requirements of the workplace is analyzed. And then series of related optimization work are carried on.
Lastly, iron loss is the main loss of FMMG, so based on the generating mechanism of the core loss, the basic distribution law of the magnetic field and
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the corresponding core loss in the inner rotor, outer rotor, PMs, modulator ring is researched, providing a theoretical basis for the efficiency and temperature rise calculations. Besides, the effective method to reduce the permanent magnet eddy current loss is put forward. Then, the stress calibration of modulator ring is carried on.
Keywords: Field modulated magnetic gear; Torque characteristics; Iron loss; Optimization
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目录
摘要......................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................. II 第1章绪论 .. (1)
1.1 课题背景及研究的目的和意义 (1)
1.2 磁性齿轮国外研究现状 (2)
1.3 磁性齿轮国内研究现状 (7)
1.4 本文的研究工作 (10)
第2章磁场调制型磁性齿轮的工作原理 (11)
2.1 引言 (11)
2.2 磁性齿轮工作原理的解析分析 (11)
2.3 磁性齿轮工作原理的有限元分析 (17)
2.3.1 内转子永磁体单独激磁时的气隙磁场 (18)
2.3.2 外转子永磁体单独激磁时的气隙磁场 (20)
2.3.3 合成气隙磁场分析 (22)
2.4 本章小结 (23)
第3章磁性齿轮转矩特性及动态响应的研究 (24)
3.1 引言 (24)
3.2 磁性齿轮的静态转矩特性研究 (24)
3.3 磁性齿轮的稳态转矩特性研究 (26)
3.4 磁性齿轮的动态特性研究 (29)
3.4.1 磁性齿轮启动特性的研究 (29)
3.4.2 磁性齿轮过载时的动态特性 (32)
3.5 本章小结 (34)
第4章磁性齿轮的方案选择和优化 (35)
4.1 引言 (35)
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4.2 磁性齿轮方案的选择 (35)
4.3 磁性齿轮的优化 (40)
4.3.1 内转子永磁体的优化 (41)
4.3.2 调磁环的优化 (43)
4.3.3 外转子永磁体的优化 (46)
4.3.4 本章小结 (47)
第5章磁性齿轮铁损和应力的研究 (48)
5.1 引言 (48)
5.2 磁场分布规律对铁损的影响 (48)
5.2.1 磁性齿轮各部件中磁场分布情况 (49)
5.2.2 不同材料对铁损的影响 (51)
5.2.3 转速对铁损的影响 (53)
5.2.4 负载对铁损的影响 (54)
5.2.5 永磁体分块对铁损的影响 (55)
5.3 磁性齿轮的应力分析 (56)
5.4 本章小结 (59)
结论 (60)
参考文献 (61)
攻读学位期间发表的学术论文 (65)
哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 (66)
致谢 (67)
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第1章绪论
1.1课题背景及研究的目的和意义
当前在传统传动领域中，应用最广泛的传动机构依然是机械齿轮。

然而，机械齿轮存在一些不可消除的缺点：震动、噪音、损耗、周期性的润滑等，往往限制了传动系统性能的进一步提高。

在这样的环境下，磁性齿轮作为一种可以替代机械齿轮的新型传动机构吸引了研究人员的注意力[1]。

基于磁场耦合原理，以一种非接触式方式实现转矩、转速的传递与调制，在某些场合替代齿轮的磁耦合器被称之为磁性齿轮[2]。

早在20世纪初，磁性齿轮的概念就已经出现了，并且在1913年已经有研究者申请了相关的专利，相比于传统的机械齿轮，磁性齿轮在特定场合具有以下优点[3][4]：（1）无摩擦、噪音低、震动小，尤其适用于一些特定的应用场合，如潜艇推进系统。

（2）无需润滑，减小维护，可靠性高，尤其适用于航空航天、海底设备等需要高可靠性且维护更新设备困难的场合。

（3）输入输出之间存在物理隔离。

非接触式传动使其可以对密封区域传递转矩、转速，特别适用于高密封性、高毒性、高污染、高腐蚀等场合。

（4）可以很精确的确定所能传递的最大转矩，并且具备过载保护能力。

尽管磁性齿轮具有如此独特的优点，但在80年代之前，因为永磁材料磁性能极差，磁性齿轮的性能差强人意，因此并未引起过多关注，也未得到广泛应用。

自从1983年第三代高性能稀土永磁材料（(铷铁硼永磁体）问世以来，使用铷铁硼永磁体的磁性齿轮性能上有了质的飞跃，重新吸引了人们的目光。

但虽然使用了高性能永磁材料，磁性齿轮的性能上依然不能满足人们的要求。

因此，虽然更多的人研究磁性齿轮，但磁性齿轮依然未得到广泛的应用[5][6]。

直到2004年以D.Howe教授为首的英国谢菲尔德大学研究小组提出了一种新型的基于磁场调制原理的磁性齿轮结构[6]。

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该结构完全不同于以往的传统磁性齿轮拓扑结构，永磁体利用效率较高，理论分析指出当采取了高性能铷铁硼永磁材料之后，转矩密度可达72KN.m/m3。

研究分析表明，这种新型磁性齿轮非常适合应用于电动车、船舶潜艇推进、鱼雷推进、风电以及飞轮储能-磁轴承系统等需要庞大的机械齿轮箱和变速器的领域中[7,8]。

新型磁性齿轮不仅可以从功能上完全可以取代庞大笨重的齿轮箱和变速器实现转矩、转速的传递和调制，并且不需润滑、噪音小、无摩擦、损耗低、效率高、可靠性高，本课题的研究不仅有重要的学术价值，也有实际应用的价值。

1.2磁性齿轮国外研究现状
2004年之前，磁性齿轮的研究虽然有很多创新点，但基本的思想和结构局限于传统机械齿轮的思想和结构中，拓扑结构多为仿照机械齿轮的结构。

1987，日本学者S.Kikuchi和K.Tsurumoto首次使用高性能稀土永磁材料设计并制造了一台渐开线式，传动比为33:1的磁性齿轮样机，该样机最大转矩为5.3N.m，该样机结构如图1-1。

图1-1 渐开线式磁性齿轮结构示意图
1991年，日本学者Ikuta提出了一种外啮合式的结构。

如图1-2所示。

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图1-2 外啮合式磁性齿轮结构示意图 之后人们仿照机械齿轮结构，设计并作出了一系列磁性齿轮，比如图1-3(a)所示的齿轮条式传动[9,10]，图1-3(b)所示的空间交错轴式传动[11,12]。

a) 齿轮条式结构示 b) 空间交错轴式结构
图1-3齿轮条式和空间交错轴式磁性齿轮结构示意图
尽管使用了高性能的永磁材料，尽管进行了各种优化和设计，但传统磁性齿轮的性能依然不够出众，归根结底在于思想上习惯于从机械齿轮入手，仿照机械齿轮的结构设计磁性齿轮，在这种拓扑结构下，永磁体利用率极低，转矩低，转矩密度低[13~15]。

2004年，英国谢菲尔德大学以D.Howe 教授为首的研究小组提出了一种新型的基于磁场调制原理的磁性齿轮。

这种结构彻底跳出了机械齿轮的拓扑结构，充分利用到每一块永磁体，极大地提高了最大转矩以及转矩密度，该结构如图1-4所示。

该新型磁性齿轮主要由三个部件组成：高速旋转的内转子、低速旋转的外转子以及静止不动的调磁环[6]。

其中，高速内转子与原动
机的输出轴相连接，内转子外表面贴有高性能永磁材料；中间静止不动的调
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磁环由非导磁材料和高导磁材料依次交替组成；低速外转子与所驱动的负载连接，外转子内表面贴有高性能永磁材料。

图1-4 基于磁场调制原理磁性齿轮结构示意图
假设高速内转子外表面磁极对数为p 1，调磁环高导磁材料数为N 3，低速内转子内表面磁极对数为p 2。

在文献[6]中D.Howe 教授设计出的样机内转子极对数p 1=4，p 2=27，p 3=31，传动比为5.75:1，外转子输出转矩为内转子转矩的5.75倍，样机试验测得转矩密度为72KN.m/m3，远远超过传统磁性齿轮的转矩密度[6]。

样机以及试验平台如图1-5所示。

图1-5 D.Howe 教授设计的样机以及实验平台
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随后在文献[15]、[16]中D.Howe 教授提出了直线式和轴向式磁场调制式磁性齿轮的概念，并介绍了结构和工作原理。

文献指出，理论上经过有限元仿真运算，直线式磁性齿轮力密度高达1.7 MN /m 3，轴向式磁性齿轮转矩密度可达70 KN.m/m 3以上[15,16]。

自D.Howe 教授开“磁场调制”之先河之后，众多学者纷纷把注意力集中到这种新型磁性齿轮上，并对其进行了一系列详细的分析和研究，在磁场调制的思想上做出了很多创新和研究。

在文献[17]中丹麦奥尔堡大学能源技术研究所的O.Nielsen 教授和P.O.Rasmussen 教授提出一种永磁体内嵌式结构的新型磁性齿轮，结构示意图与样机如图1-6所示。

文献中把这种新型结构的磁性齿轮与常见的机械齿轮进行性能对比，指出这种结构的磁性齿轮的许多性能已经接近机械齿轮，甚至要超越机械齿轮，但同时也指出采取这种结构虽然可以解决一些机械问题，可以进一步减小体积，但相比于表贴式磁性齿轮，转矩密度略有降低[17]。

图1-6永磁体内嵌式结构示意图及其样机
水轮发电机系统中，水轮机具有典型的低速大转矩特性，水轮机通过庞大的机械齿轮箱和变速器增速与发电机相连接。

2007年，斯特莱斯克莱德大学电子与电气工程学院Laxman Shah 教授、A. Cruden 教授和Barry W. Williams 教授将此新型磁性齿轮应用在水轮机系统上，并做出了样机，如图1-7所示[17,18]。

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图1-7 样机以及实验平台 文献[6]中指出调磁环、内外转子三者之中可以任意旋转其中两个或三者一起旋转，但为了简化分析，仅仅对内外转子一起旋转调磁环静止的方案进行理论分析并做出了样机。

文献[18]中首先通过仿真验证了D. Howe 教授提出的内外转子、调磁环可以任意旋转其中两个的思想，如图1-8(a)(b)所示。

以此为理论依据，作者提出了一种新颖的使用磁性齿轮的方案，即将两个水轮机分别连接在磁性齿轮的外转子和调磁环上并使其相对旋转，内转子作为转矩输出，是一种双输入单输出系统。

a)旋转调磁环与内转子 b)旋转内外转子
图1-8 不同工作模式下各部件的运动情况
文献[18]所做的样机，内转子磁极对数p 1为4，外转子磁极对数p 2为22，调磁环极对数n s 为26。

其中外转子和调磁环相对旋转，为功率输入部分，内转子为功率输出部分，此时磁性齿轮相当于一个增速器，变比为1:12。

样机外转子外径为120mm ，轴向长度为15mm ，最大传递转矩为12.51N.m
，转矩
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密度为74 KN.m/m3，转矩波动为1.73%。

谢菲尔德大学Kais Atallah, Jan Rens, Smail Mezani, and David Howe 教授在文献[19]中提出了一种将永磁同步电机与磁性齿轮结合以提高转矩密度的磁性齿轮结构，如图1-9所示。

图1-9新型结构示意图
该结构实际上由两大块组成：普通的内转子永磁同步电机和磁性齿轮，磁性齿轮与永磁电机共用内转子。

在这种结构中，内转子连接原动机作为功率输入，调磁环连接负载作为功率输出，原来的外转子固定不动和永磁电机绕组共用一个轭部。

假设磁性齿轮变比为Gr，连接内转子的原动机转矩为T1，永磁同步电机输出转矩为T0，对于传统磁性齿轮而言，输出转矩T2=Gr* T1，新型结构中输出转矩T2´= Gr* (T1+ T0)，这样就大大提高了输出转矩和转矩密度。

1.3磁性齿轮国内研究现状
国内磁性齿轮的研究起步较晚，国内最早研究磁性齿轮的是合肥工业大学，20世纪末开始研究，对磁耦合器及磁性齿轮提出了几种计算转矩的算法，并做出了产品，之后年国内纷纷研究磁性齿轮。

中科院电工所对平行轴式永磁齿轮进行了研究并将其应用于人工心脏，哈尔滨工业大学微特电机研究所对基于永磁的无接触式变速机构进行了深入的研究，贵州大学、洛阳大学、
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香港大学、上海大学、山东大学、东北大学等对此也作了深入的研究[20~24]。

国内磁性齿轮研究的发展历程与国外相似，在2004年D. Howe 提出磁场调制的概念以后，国内方对此新型磁性齿轮进行研究和应用。

与水轮发电机类似，风电系统中低速风机与高速发电机之间需要机械齿轮箱和变速器进行转速的调制。

如果采取直驱式永磁同步电机，虽然省去了机械齿轮箱，但电机为了能够直接与低速风机叶片相连接，一方面电机极对数增加很多；另一方面同等功率下，低转速电机的大转矩会导致电机尺寸很大，导致整个系统的体积增加。

因此在实际应用中，虽然齿轮箱和变速器的使用会带来一系列问题，但很多时候却不得不使用。

文献[25]中，香港大学Linni Jian, K. T. Chau, J. Z. Jiang 提出了一种将磁性齿轮集成在风电系统中的方案，使用新型磁性齿轮代替机械齿轮箱和变速器，并通过采取同轴同心结构将发电机与磁性齿轮集成在一起，如图1-10所示，转矩密度约为87 KN.m/m 3，低速风机叶片可以直接驱动发电机，极大地减小了整个系统的体积[25,26]。

图1-10 发电机与磁性齿轮集成结构示意图
随后，香港大学的Linni Jian, K. T. Chau, J. Z. Jiang 提出了一种将磁性齿轮应用于电动车领域的方案。

与风电领域相似，电动车中原动机往往是高速低转矩的，必须通过机械齿轮箱（通常使用行星齿轮）调制转速转矩并通过变速器才可以与负载(轮胎)相连接，这种连接方式所占的体积很大。

永磁体齿轮内转子定子齿轮外转子调磁环发电机外转子风机叶片滚珠轴承
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因此可以仿照磁性齿轮在风电领域的应用方案，使用磁性齿轮代替行星齿轮箱和变速器，并将磁性齿轮与电机集成在一起，进一步的减小体积，提高转矩密度，结构如图1-11所示 [27]。

实际运行中，最里面的外转子式永磁电机旋转，通过机械连接带动原磁性齿轮的内转子转动，内转子磁场经由调磁环调制后与外转子永磁体作用，带动磁性齿轮外转子转动，外转子与轮胎相连接，直接驱动轮胎。

作者做出了一台500W 的样机，变比为7.8:1 [28-31]。

图1-11 应用于电动车的磁性齿轮结构示意图
东南大学的Ying Fan, Hehe Jiang, Ming cheng, Yubin Wang 和浙江大学的L. L. Wang, J. X. Shen, 对这种将磁性齿轮应用于电动车中的结构作了进一步的改进和简化。

原结构如图1-12所示，简化之后的结构如图1-13所示[32]。

图1-12原结构示意图 图1-13简化之后的示意图
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1.4本文的研究工作
就目前检索到的国内外资料来看，国外所做的研究工作主要集中在工作原理的简要阐述、有限元静态磁场的分析、样机的制作及其机械分析。

国内所做的研究工作主要集中在磁性齿轮的应用上，比如将磁性齿轮集成到风电系统、电动车领域中；至于磁性齿轮转矩特性、损耗特性、动态特性、整体设计方法和优化等并未进行充分说明，工作原理也未进行详细的解析分析。

本文主要围绕这些问题展开工作，下文所提到的磁性齿轮均指的是磁场调制型磁性齿轮。

(1)磁场调制型磁性齿轮是一种新型拓扑结构的磁性齿轮，从表面上看，内转子永磁体极对数和外转子永磁体极对数并不相等，无法实现机械能量的转换。

因此有必要对该磁性齿轮的运行原理进行详细的阐述。

首先采用解析法推导了永磁内转子、调制环和永磁外转子三者之间磁场极对数、转速和转矩的数学关系，在解析上说明了磁性齿轮工作的原理。

其次通过有限元仿真进行验证和进一步的分析。

(2)磁性齿轮的目的是为了更好的实现传递转矩、转速的调制，因此需要对磁性齿轮的转矩特性进行详细的分析，包括静态转矩特性、稳态转矩特性和动态转矩特性。

另外，因为磁性齿轮具有四种工作模式，因此对每一种模式下的转矩特性也进行了相应分析。

(3) 在相同的传动比下，磁性齿轮内外转子永磁体极对数可以有多种配比选择，具体如何选择需要根据工作场合的要求来确定。

本文根据追求最大转矩密度的要求选择了一种配比方案并进行了相应的一系列的优化，包括内外转子永磁体厚度和极弧系数的优化、调磁铁块厚度和跨距的优化。

(4) 磁性齿轮，作为磁耦合器的一种，也是进行输入输出机械能量传递和转换的，因此本文对磁性齿轮也进行损耗分析和应力校验。

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第2章磁场调制型磁性齿轮的工作原理
2.1引言
本文所研究的磁性齿轮从表面上看，内外转子上的永磁体极对数不相等，无法实现机械能和磁场能量的相互转换，因此本章主要对磁性齿轮的工作原理进行阐述。

磁性齿轮，作为磁耦合器的一种，其工作原理从本质上来说也是磁场之间的相互作用，因此磁场分析是阐述其工作原理的基础。

解析法易于理解，而且概念清晰，但是很难得到精确的解析结果，比较适合做定性的分析和阐述；有限元磁场分析法，相对来说概念较为模糊，但直观易懂，操作简单而且分析结果较为精确。

因此，本章首先通过磁场解析的方法分析调磁环对磁场的调制作用，定性的阐述磁性齿轮的基本工作原理；接着使用有限元法进行验证并作进一步的说明。

2.2磁性齿轮工作原理的解析分析
磁性齿轮的基本结构如图2-1所示，主要由三个组成部件，由内而外分别是：高速内转子及其永磁体，由导磁材料（铁块）和非导磁材料（空气）交替排列组成的调磁环，低速外转子及其永磁体。

图2-1 磁性齿轮结构示意图
需要说明的是，这三个部件可以选择任意其中两个旋转，也可以选择三
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按照旋转部件的不同可以分为四种工作模式：
（1）内转子与外转子保持旋转，调磁环静止。

（2）内转子与调磁环旋转，外转子静止。

（3）外转子与调磁环旋转，内转子静止。

（4）内外转子与调磁环都旋转。

这里为了分析方便，先选择调磁环静止，内外永磁体旋转，内转子输入外转子输出的情况进行原理分析。

在磁性齿轮做减速使用时，高速内转子与输入轴相连接，低速外转子与输出轴相连接；在做增速使用时，低速外转子与输入轴相连接，高速内转子与输出轴相连接。

磁性齿轮中的磁场是由内、外永磁体共同建立起来的，为了分析方便，假设磁路是线性、不饱和的。

首先分析只有内转子永磁体存在时的磁场情况。

设Ω1、Ω2为内、外转子转速，p 1、p 2 、p 3分别为内、外转子永磁体极对数和调磁环中铁块数。

设空间某点距离圆心r ，则此点单独由内转子永磁体激发出来的空间磁势如 (2-1)所示。

其中，()1n f r 为永磁转子产生的磁动势经过傅立叶分解之后的系数，θ为空间机械角度，10θ为初始相角。

()()()11111101,3,5...,,cos n n F r t f r np t np θθθ==
-Ω+⎡⎤⎣⎦∑ (2-1)
因为没有调磁环和外转子永磁体，所以气隙中磁密的径向分量()
1,,B r t θ如(2-2)所示。

其中，b 1n (r )为磁密径向分量经过傅里叶分解之后系数。

()()()11111101,3,5,...,,cos n n B r t b r np t np θθθ==
-Ω+⎡⎤⎣⎦∑ (2-2)
调磁环是由p 3块导磁块(铁块)和p 3块非导磁块(空气)构成，调磁环的存在使得气隙磁导发生了变化。

存在调磁环之后，气隙中单位磁导(),,r t λθ如式(2-3)所示。

其中，()k r λ为气隙磁导经过傅里叶分解之后的系数，0λ为气隙磁导的平均值，0θ为初式相角[1]。

()()[]0301,2,3,...,,cos k k r t r kp k λθλλθθ==+
+∑ (2-3)
当存在调磁环时，气隙中磁密的径向分量B 2( r , θ, t )可表示为
()()()21,,,,,,B r t F r t r t θθλθ=⨯
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()()1111101,3,5,...cos n n f r np t np θθ=⎧⎫=-Ω+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭
∑ ()[]03301,2,3,...cos k k r kp kp λλθθ=⎧⎫⨯++⎨⎬⎩⎭
∑
()()011
11101,3,5,...cos n n f r np t np λθθ=⎧⎫
=-Ω+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭
∑ ()()11,3,5,...1,2,3,...
1
2k n n k r f r λ==+
∑∑ ()1113110301cos np np kp t np kp np kq θθθ⎡⎤⎛⎫Ω⨯+-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦
()()11,3,5,...1,2,3,...
1
2k n n k r f r λ==+
∑∑ ()11131103013cos np np kp t np kp np kp θθθ⎡⎤⎛⎫
Ω⨯--+-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦
(2-4)
气隙磁场中存在着无数的谐波磁场，这些谐波磁场的极对数可以统一表示，如(2-5)所示[33][34]。

,13,1,2,3...0,1, 2...n j p np jp n j =+==±± (2-5)
气隙磁场中诸多谐波磁场的旋转速度同样可以统一表示，如(2-6)所示。

11
,13
1,2,3...0,1, 2...n j np n j np jp ΩΩ=
==±±+ (2-6)
由以上的分析和推导，可以看出,根据气隙谐波磁场转速的不同，可以将其分为两类。

一类是当调磁环不存在的时候，也就是式(2-5) 、(2-6)中j =0，所对应的谐波磁场。

其特点是这些谐波的旋转速递,01n Ω=Ω，这里将这些谐波磁场称之为基本谐波磁场。

第二类是存在调磁环时，即式(2-5) 、(2-6)中j ≠0时所对应的气隙谐波磁场，其特点是旋转速度与永磁内转子的旋转速度Ω1不相同，这里将这些气隙谐波称之为调制谐波磁场[35]。

在所有的气隙谐波磁场中， n =1, j =-1时对应的组合，即p 1,-1次气隙谐波磁场幅值最大，而p 1,-1次气隙谐波磁场所对应的旋转速度和次数如(2-7) 、(2-8)所示[1]。