课件9：§4.3简单的三角恒等变换

1−cos 2α 1−cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β
原式＝
·
+
·



－ cos 2α·cos 2β



考点探
究




＝ （1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β）＋ （1＋cos


2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β）－ ·cos 2α·cos 2β＝

2
2
2
2
2
sin α·sin β＋cos α·sin β＋cos β－


考点探
究



2
2
＝sin β＋cos β－ ＝1－ = .



方法二（从“名”入手，异名化同名）
原式

2
2
2
2
＝sin α·sin β＋（1－sin α）·cos β－ cos 2α·cos 2β


2
2
2
2
＝cos β－sin α（cos β－sin β）－ cos

.

方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式＝（sin α·sin β－cos α·cos β）2＋2sin α·sin β·cos
α·cos β－f(1,2)cos 2α·cos 2β
考点探
究

2
＝cos （α＋β）＋
sin 2α·sin 2β－ cos 2α·cos 2β

2
＝cos （α＋β）－
2
2，
a ＋b
a ＋b
b
即 tanφ＝ .
a
课前自
修
基 础 自 测




π
3
π
1．已知 cos x－ 6＝－ ，则 cosx＋cos(x－ )＝( C )
3
3

2 3
A．－
3
2 3
B．±
3
C．－1
D．±1
课前自
修
【解析】




π
3
3
1
3
∵cos x－6 ＝－ ，∴ cos x＋ sin x＝－ ，
差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公
式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而
确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们
找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
2．三角函数式化简的方法．
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
1－cos α
α
，cos ＝±
2
2
1－cos α 1－cos α
sin α
＝
＝
.
sin α
1＋cos α
1＋cos α
α
注意：等号后的正、负号由 所在的象限决定．
2
1＋cos α
，
2
课前自修
二、辅助角公式

x＋φ
asin x＋bcosx＝ a ＋b ·sin
，
2
2


b
a
其中 sinφ＝ 2
2，cosφ＝

1
sin 2α 等于________．
2
课前自
修





π

－α
【解析】由 cos 2α＝cos 4
得(cos α－sin α)(cos

2
α＋sin α)＝ (cos α＋sin α)，
2
由 α 为锐角知 cos α＋sin α≠0.∴cos α－sin α＝
2
1
1
，平方得 1－sin 2α＝ .∴sin 2α＝ .
·cos（2α＋2β）

2
＝cos （α＋β）－

2
·[2cos （α＋β）－1]＝






考点探
究
特别提醒：在三角函数式的化简中“次降角升”和
“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式
时，一般需要升次．
点评：1.三角函数式的化简遵循的三个原则：
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的
π
1
所以 sin x＝ ，x＝ .
6
2

π
x∈0，2 ，


栏
目
链
接
考点探
究
②因为

3π π
3π
f(x)在区间0， 8 上是增函数，在区间 8 ，2 上




π
3π
是减函数，又 f(0)＝－2，f( )＝2 2，f2 ＝2，故函数 f(x)
8


π
在区间0，2上的最大值为
2
2
2
课前自修

π
4. 已知 sin3π－θ＝－2sin 2＋θ，则 tan 2θ＝

4
__________．





π
【解析】由sin（3π－θ）＝－2sin ( ＋θ)得

2tan θ
4
tan θ＝－2，所以tan 2θ＝
＝ .
2
1－tan θ
考点探究
考点1 三角函数的化简求值


2 2，最小值为－2.
考点探
究
②函数 f(x)＝a·b＝( 3sin x，sin x)·(cos x，sin x)
2
＝ 3sin x·cos x＋sin x
1－cos 2x
3
＝ ×2sin xcos x＋
2
2
栏
目
链
接
考点探
究 3
1
1
＝ sin 2x－ cos 2x＋
2
2
2
π
π
1
＝cos sin 2x－sin cos 2x＋
6
6
2

π 1
＝sin2x－6 ＋ .

2
因为


π
π
π
π 5π
1
x∈0，2，所以－ ≤2x－ ≤ ，故－ ≤sin2x－6 ≤1，
6
6 6
2




π 1 3
3
0≤sin(2x－ )＋ ≤ ，即 f(x)的最大值为 .
6 2 2
2

，cos
2
1
1＋cos 2α
sin 2α
_________，sin
αcos α＝_________．
2
2
2α
2cos
2．升幂公式：1＋cos α＝____________，
1－cos α＝
2
α
2
2sin
____________．
2
课前自修
基 础 回 顾
α
3 半角公式：sin ＝±
2
α
tan ＝±
2
3
2
2
3





π 3
3
3
∴cos x＋cos x－3 ＝ cos x＋ sin x＝ 3( cos
2
2
2


1
3
x＋ sin x)＝ 3×－ ＝－1.故选 C.
2
3
课前自
修
sin 2αcos α－sin α
2．化简
等于( C )
cos 2α
A．－sin α B．－cos α
§4.3 简单的三角恒等变换
考纲要求
能运用和与差的三角函数公式、二倍角
的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变
换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，
但对这三组公式不要求记忆)．
课前自修
基 础 回 顾
一、将二倍角公式变形可得到的公式
1－cos 2α
2α＝
1．降幂公式：sin2α＝ __________
＝
cos 40°
2cos 10°－ sin 10°－cos 10°
＝
cos 40°
考点探
究

cos
10°－
sin 10°


＝
cos 40°

＝
( cos
= .
10°－sin 10°)
cos40°
=
cos 40°
cos 40°
（2）方法一（从“角”入手，复角→单角）原式＝
sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－f(1,2)·（2cos2α－
1）·（2cos2β－1）
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－f(1,2)（4cos2α·cos2β－
2cos2α－2cos2β＋1）

2
2
2
2
2
2
＝sin α·sin β－cos α·cos β＋cos α＋cos β－ ＝
C．sin α
D．cos α
课前自
修
sin 2αcos α－sin α
【解析】
cos 2α
2sin αcos2α－sin α
＝
cos 2α
sin α（2cos2α－1）
＝
cos 2α
sin αcos 2α
＝
＝sin α.
cos 2α
课前自
修 Nhomakorabea
π
3．已知锐角 α 满足 cos 2α＝cos 4－α，则
cos α＝

或


，

所以tan α＝－


，
sin α＝



或tan

α＝3，
，

，

当tan α＝－

时，


2tan α
tan 2α＝
＝
2
1－tan α 1－ (－ )
−



＝－ ；
当tan α＝3时，
2tan α


tan 2α＝
=
＝－ .故选C.
1－tan2α 1－
3．三次函数式化简的要求：
(1)能求出值的应求出值．
(2)尽量使函数种数最少．
(3)尽量使项数最少．
(4)尽量使分母不含三角函数．
(5)尽量使被开方数不含三角函数．
4．解决给角求值问题的基本思路．
对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决
这类问题的基本思路有：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正、负相消的项，消去求值；
例1
A. 2
(1) 4cos 50°－tan 40°＝( C )
2＋ 3
B.
C. 3
2
D．2 2－1
1
(2)化简：sin α·sin β＋cos α·cos β－ cos 2α·cos 2β＝
2
2

________．

2
2
2
2sin 80°－sin 40°
【解析】原式＝
cos 40°
2cos 10°－sin（10°＋30°）


2β－ cos 2α·cos


2
2β·(sin α＋ cos 2α)

＝cos2β－sin2α·cos
＝cos2β－cos
2β
2α·cos 2β
考点探
究 1＋cos 2β

2
＝
－cos 2β·(sin α＋ （1－2sin2α）

＝

1＋cos 2β


－ cos


2β＝ .

方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）


2π
所以 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.
2
考点探
究
（2）解：①由 a＝( 3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，
得|a|2＝( 3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|＝(cos x)2＋(sin x)2
＝1.
2
又因为|a|＝|b|，所以 4sin x＝1.又
(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．
考点探究
考点2 三角函数的条件求值
例 2
10
已知 α∈R，sin α＋2cos α＝
，则 tan 2α＝
2
( C )
4
3
3
4
A. B. C．－
D．－
3
4
4
3
【解析】由 (sin α＋2cos α＝
sin2α＋cos2α＝1
解得 sin α＝－
cos α＝

π

x∈0，2 .


①若|a|＝|b|，求 x 的值；
②设函数 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值．
考点探
究
π
π
解：①f(x)＝－ 2sin 2x·cos － 2cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x
4
4
＝2sin 2x－2cos 2x＝2

π
2sin2x－4.

考点探究
考点3 三角变换的综合应用
例 3
(1)已知函数 f(x)＝－

π

2sin2x＋4 ＋6sin


2cos2x＋1，x∈R.
①求 f(x)的最小正周期；
②求

π

f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值．


xcos x－
考点探究
考点3 三角变换的综合应用
(2)设向量 a＝( 3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，