龙岩市初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练及解析答案

龙岩市初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练及解析答案
一、选择题
1．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩
【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.
【详解】
22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②
, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），
∴x-y+2=0或x+y=0，
原方程组转化为以下两个方程组：
（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩
或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，
33
22x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩, 所以，原方程组的解是:
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.
2．解方程组：
⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612
x y z x y z x y z -=+-=++=
【答案】（1）
2
{
1
x
y
=
=-
；（2）
3
{4
5
x
y
z
=
=
=
【解析】（1）先用代入消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．
（2）先利用加减消元法去z得到关于x、y的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x、y，然后利用代入法求z，从而得到原方程组的解.
（1）
2
{
1
x
y
=
=-
； (2)
3
{4
5
x
y
z
=
=
=
“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.
3．解方程组：
（1）
4
{
526
y x
x y
=-
+=
；（2）
358
{
32
x y
x y
+=
-=
【答案】（1）
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
；（2）
【解析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
解：(1) ①代入②得x=2
把x=2代入①得y=-2
∴
(2) ①-②得y=1
把y=1代入①得x=1
∴
“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.
4．解方程组：
22
20 23
x xy y
x y
⎧--=
⎨
+=
⎩
．
【答案】原方程组的解为1
23 3
x y =
⎧
⎨
=-⎩，
2
2
6
5
3
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
【解析】
分析：由①得出（x+y ）（x-2y ）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
详解：222023x xy y x y ⎧--⎨+⎩＝①＝②
由①得：（x+y ）（x-2y ）=0，
x+y=0，x-2y=0，
即原方程组化为023x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，2023x y x y -⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 即原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．
5．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩
【答案】1143x y =-⎧⎨
=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
【详解】解：221? 444y x x xy y ①②
=+⎧⎨-+=⎩ 由②得，()224x y -= ③，
把①代入③，得
()2
214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，
即：()224x +=，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x 1=-4,x 2=0,
把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.
所以，方程组的解是
1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
6．解方程组：226021
x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩ 【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
原方程组变形为
(3)(2)021
x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021
x y x y -=⎧⎨+=⎩ ∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
7．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩
. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
【解析】
【分析】
由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．
【详解】
解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①②
,
由①得：2x y =………… ③
将③代入②，化简整理，得：
2340y y +-=，
解得：13y y ==-或，
将13y y ==-或代入①，得：
21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
8．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩
【答案】121
2215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．
【详解】
解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩
①②， 由①，得x=17+y③，
把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，
解之，得y 1=-15，y 2=-2．
把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，
把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．
故原方程组的解为1212215152
x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】
本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．
9．解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩
【答案】1184x y =⎧⎨=⎩或22
93x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
利用因式分解法求22
560x xy y -+=，得到20x y -=或30x y -=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.
【详解】
解：由（1）得20x y -=或30x y -=， 2012x y x y -=⎧⎨+=⎩或3012
x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：1184x y =⎧⎨=⎩，22
93x y =⎧⎨=⎩ ， 则原方程组的解为 1184x y =⎧⎨=⎩和 22
93x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.
10．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩
【答案】123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．
【详解】
∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y)2 =9，
解得：y 1=
32 ,y 2 =−32
； ②当x≠0，x+y=0时，
∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33
x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】
此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
11．解方程组：222449{0
x xy y x xy ++=+=. 【答案】0{ 1.5x y ==，3{3x y =-=，0{ 1.5x y ==-，3{3
x y ==-. 【解析】
【分析】
先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．
【详解】
2224490x xy y x xy ⎧++=⎨+=⎩①②
由①得：（x+2y ）2＝9，
x +2y ＝±3，
由②得：x （x+y ）＝0，
x ＝0，x +y ＝0，
即原方程组化为：230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y x y +=⎧⎨+=⎩，230x y x +=-⎧⎨=⎩，230
x y x y +=-⎧⎨+=⎩， 解得：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33
x y =⎧⎨=-⎩， 所以原方程组的解为：01.5x y =⎧⎨
=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
12．解方程组：222232()
x y x y x y ⎧-=⎨-=+⎩. 【答案】111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；331252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 【解析】
分析：
把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.
详解：
由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；
则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.
x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩
， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩
， ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.
13．解方程组： 222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩
． 【答案】11
24x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.
【详解】
222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩
①② 由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，
原方程组化为：①2203260x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，②2203260x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩
， 解方程组①得： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236
x y =-⎧⎨=-⎩，方程组②无解，
所以原方程组的解为： 11
24x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.
14．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩
． 【答案】121
2117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨
⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】 根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可
【详解】
2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩
①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，
2x ﹣3y ＝±4，
即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩
， 解得： 121
2117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩
． 【点睛】
本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组
15．解方程组222221690x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩
． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
【详解】
解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩
①② 由①，得(x ﹣y )2＝16，
所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．
由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，
即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0
所以原方程组可化为：
430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430
x y x y -=-⎧⎨-=⎩ 解这些方程组，得
1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨
=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462
x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.
16．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?
【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元
【解析】
【分析】
根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．
【详解】
解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.
根据题意 ，可列方程组
()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩
解得：1212
800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是
否符合题意，舍去不合题意的解．
17．温州三垟湿地的瓯柑名气很大，但今年经济不景气，某经销商为了打开销路，对1220斤瓯柑进行包装优惠出售．包装方式及售价如下图．假设用这两种包装方式恰好装完全部瓯柑．
（1）若销售2箱纸盒装和3筐萝筐装瓯柑的收入共 元(请直接写出答案).
（2）假如预计这批瓯柑全部售完，总销售额为3210元时．请问纸盒装包装了多少箱，箩筐装包装了多少筐？
（3）但由于天气原因，瓯柑腐烂了a 斤（不能出售），在售价不变的情况下，为了保证总．销售额为．．．．3210元，剩余瓯柑必须用以上两种方式重新包装，且恰好装完,那么纸盒装 箱, 箩筐装 箱.(请直接写出答案)
【答案】（1）495；（2）纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐；（3）41，6
【解析】
（1）根据题意可得出方程解出即可；
（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据等量关系列出方程组，解出即可； （3）根据（3）问的条件直接写出答案即可.
解：（1）495元
（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据题意得：
20501220601253210x y x y +=⎧⎨+=⎩
1618x y =⎧⎨=⎩
解得 答：纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐.
（3）41箱，6箱.
“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是仔细审题，理解题目所给条件，转化为方程思想求解.
18．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.
【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%
【解析】
【分析】
设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.
【详解】
解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.
根据题意 ，可列方程组
()()()()2251232513254
y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩ 解得：x=12,y=0.2
答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%.
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.
19．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm ，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm ，故杆顶着地处比前次远10dm ，求此杆的高度．
【答案】此竿高度为50dm
【解析】
【分析】
由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB 的高为x dm ，余下部分BC 长为y dm ，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．
【详解】
解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm ，余下部分为BC 为ydm ．
由题意得22222220;(5)(5)30.
y x y x ⎧=+⎨+=-+⎩ 解得 2129x y =⎧⎨=⎩
此杆的高度为x+y=21+19=50 dm
答：此竿高度为50dm
【点睛】
本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．
20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 22
11x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．
【详解】
解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=
原方程组化为： 302x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或02x y x y +=⎧⎨-=⎩
解得：1131x y =⎧⎨=⎩ 或 22
11x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 原方程组的解为1131x y =⎧⎨=⎩ 或 22
11x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。