临河区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

临河区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（
）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
2． 记集合和集合表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，{
}
2
2
(,)1A x y x y =+£{}
(,)1,0,0B x y x y x y =+£³³ 若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1
2p
1
p
2p
13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．3． 在下面程序框图中，输入，则输出的的值是（ ）
44N S A ．
B ．
C ．
D ．251253255260
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.4． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4
C.-2 D ．3
6． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（
）A ．2B ．
C ．
D ．13
7． 已知一元二次不等式f （x ）＜0的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞}，则f （10x ）＞0的解集为（ ）
A ．{x|x ＜﹣1或x ＞﹣lg2}
B ．{x|﹣1＜x ＜﹣lg2}
C ．{x|x ＞﹣lg2}
D ．{x|x ＜﹣lg2}
8． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=，则下列结论中
错误的是（
）
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
9． 已知命题p ：∀x ∈（0，+∞），log 2x ＜log 3x ．命题q ：∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2．则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p ∧q
B ．￢p ∧q
C ．p ∧￢q
D ．￢p ∧￢q
10．下列命题正确的是（
）
A ．很小的实数可以构成集合.
B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.
C ．自然数集 N 中最小的数是.
D ．空集是任何集合的子集.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 21F F 、2F Q P ,，若，，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.
1PF PQ ⊥||||1PF PQ λ=3
4
125≤≤λe A. B. C. D. ]210,1(]537,1(210,537[),2
10[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
12．不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（
）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
二、填空题
13．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .
14．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
15．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．16．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则
的值为 ．
17．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ．
18．若实数x ，y 满足x 2+y 2﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；
{}n a n a n n S （2）设是等比数列，且，求数列的前n 项和．
(){}
1n
n n b a --257,71b b =={}n b n T 【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、n 运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
20．已知P （m ，n ）是函授f （x ）=e x ﹣1图象上任一于点
（Ⅰ）若点P 关于直线y=x ﹣1的对称点为Q （x ，y ），求Q 点坐标满足的函数关系式
（Ⅱ）已知点M （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离d=，当点M 在函数y=h
（x ）图象上时，公式变为
，请参考该公式求出函数ω（s ，t ）
=|s ﹣e x ﹣1﹣1|+|t ﹣ln （t ﹣1）|，（s ∈R ，t ＞0）的最小值．　
21．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点．（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；
（2）若四边形BCC 1B 1是正方形，且A 1D=
，求直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值．
22．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别是棱的中点，且ABCD S -ABCD Q P E 、、AB SC AD 、、⊥SE 平面.
ABCD
（1）求证：平面；//PQ SAD （2）求证：平面平面.
SAC SEQ 23．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，解关于的不等式
；
（3）当
时，如果函数
不存在极值点，求的取值范围.
24．（本小题满分12分）椭圆C ：＋＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B
x 2
a 2y 2
b 2
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k PA ·k PB ＝－.
12
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．
临河区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣
+…+
﹣1，
∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7），∴a=6，∴
展开式的通项为T r+1=
，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，∴
展开式中x ﹣3的系数为
=﹣4320，
故选：B ．.2． 【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示及其内部，OAB D
由几何概型得点M 落在区域Ω2内的概率为，故选A.
1
1
2P ==p 2p
3． 【答案】B
4． 【答案】A
【解析】解：直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y ﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是： =
．
故选：A ．　
5． 【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.6． 【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得
=||||cos ＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
=
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．　
7． 【答案】D
【解析】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，
而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，
由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2
故选：D
8．【答案】D
【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；
∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面
直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；
故选D．
9．【答案】B
【解析】解：命题p：取x∈[1，+∞），log2x≥log3x，因此p是假命题．
命题q：令f（x）=x3﹣（1﹣x2），则f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得f （x0）=0，即∃x∈R，x3=1﹣x2．因此q是真命题．
可得￢p∧q是真命题．
故选：B．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．　
10．【答案】D 【解析】
试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D 是正确，故选D.
考点：集合的概念；子集的概念.11．【答案】C
【解析】如图，由双曲线的定义知，，，两式相加得
a PF PF 2||||21=-a QF QF 2||||21=- ，又，， ， a PQ QF PF 4||||||11=-+||||1PF PQ λ=1PF PQ ⊥||1||12
1PF QF λ+=∴
，①，
a PF PQ QF PF 4||)11(||||||12
11=-++=-+∴λλλλ-++=
21114||a
PF
②，在
中，，将①②代入得
λ
λλλ-+++-+=
∴22211)11(2||a PF 12
PF F ∆2
212221||||||F F PF PF =+ ，化简得：+-++2
2
)114(
λ
λa
2
22
2411)11(2(
c a =-+++-+λ
λλλ+
-++2
2
)
11(4
λλ ，令，易知在上单调递减，故
2
2
2
2
2)
11()11(e =-+++-+λλλλt =-++λλ2
11λλ-++=211y ]34
,125[
，，，故答案 选35,34[∈t 2
22222
84)2(4t t t t t t e +-=-+=∴25,2537[21411(82∈+-=t 210,537[∈e C.
12．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，∴a ＜0，且△=b 2﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．故选A ．　
二、填空题
13．【答案】12
【解析】
考点：分层抽样
14．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=
=1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点
（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，
故本命题不正确．
故答案为：BC．
15．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
16．【答案】 ．
【解析】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10．
数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），
∴b2=3，则=，
故答案为．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
17．【答案】　20　．
【解析】解：（1+x）（x2+）6的展开式中，
x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；
又（x2+）6的展开式中，
通项公式为T r+1=•x12﹣3r，
令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；
令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；
所以展开式中x3的系数是=20．
故答案为：20．
18．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x ﹣2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=x ﹣2y 过图形上的点A 的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x 2+y 2﹣2x+4y=0可化为（x ﹣1）2+（y+2）2=5，即圆心为（1，﹣2），半径为
的圆，（如图）
设z=x ﹣2y ，将z 看做斜率为的直线z=x ﹣2y 在y 轴上的截距，经平移直线知：当直线z=x ﹣2y 经过点A （2，﹣4）时，z 最大，最大值为：10．故答案为：10．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，{}n a 1a d 则由，，得，解得，……………3分
990S =15240S =11
93690
15105240a d a d +=⎧⎨
+=⎩12a d ==所以，即，
2(n 1)22n a n =+-⨯=2n a n =，即．……………5分(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+1n S n n =+（）
20．【答案】
【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以．
解得．又n=e m﹣1，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．
（2）ω（s，t）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|
=
，
令u（s）=
．
则u（s），v（t）分别表示函数y=e x﹣1，y=ln（t﹣1）图象上点到直线x﹣y﹣1=0的距离．
由（1）知，u min（s）=v min（t）．
而f′（x）=e x﹣1，令f′（s）=1得s=1，所以u min（s）=．
故．
【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．
21．【答案】
【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．
解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，
四边形BCC1B1是正方形，且A1D=，
∴CD⊥AB，CD==，AD=1，
∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，
∵，∴，
∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），
=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），
设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，
则sinθ===．
∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．
22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取中SD 点，连结，可证明，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先F PF AF ,AF PQ //证明线面垂直，根据所给的条件证明平面，即平面平面.⊥AC SEQ ⊥SAC SEQ 试题解析：证明：（1）取中点，连结.SD F PF AF ,∵分别是棱的中点，∴，且.F P 、SD SC 、CD FP //CD FP 2
1=∵在菱形中，是的中点，
ABCD Q AB ∴，且，即且.CD AQ //CD AQ 2
1
=
AQ FP //AQ FP =∴为平行四边形，则.
AQPF AF PQ //∵平面，平面，∴平面.
⊄PQ SAD ⊂AF SAD //PQ SAD
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直，需熟练掌握判定定理以及性质定理.
23．【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为．（2）（3）
【解析】试题分析：把代入由于对数的真数为正数，函数定义域为，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，，分和两种情
况解不等式；当时，，求导，函数不存在极值点，只需恒成立，根据这个要求得出的范围.
试题解析：
（2）时，．
当时，原不等式可化为．
记，则，
当时，，
所以在单调递增，又，故不等式解为；当时，原不等式可化为，显然不成立，
综上，原不等式的解集为．
24．【答案】【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ），
则＋＝1，c 2a 2m 2b 2
∴m ＝±，
b 2
a
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），
由k PA ·k PB ＝－得12·＝－，即b 2＝a 2，②b 2a c ＋a b 2a c －a 1212由①②解得a ＝2，b ＝，
2∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 22
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （，1），此时S △PMN ＝×2×＝212222.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得＋＝1，即x ＝±，x 24k 2x 2221＋2k 2
∴y ＝±，2k 1＋2k 2即M （，），N （，），21＋2k 22k 1＋2k 2－21＋2k 2－2k 1＋2k 2∴|MN |＝ (41＋2k 2)2
＋(4k 1＋2k 2)
2 ＝4，1＋k 21＋2k 2点P （，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝，∴S △PMN ＝|MN |d ＝·2|2k －1|k 2＋112124·1＋k 21
＋2k 2|2k －1|k 2＋1＝2·＝2 |2k －1|1＋2k 2
2k 2＋1－22k 1＋2k 2＝2 ，1－22k 1＋2k 2
当k ＞0时，≤＝1，22k 1＋2k 222k 22k 此时S ≥0显然成立，当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，≤＝1，－22k 1＋2k 21＋2k 21＋2k 2
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－时，取等号．22此时S ≤2，综上所述0≤S ≤2.
22
2 22
2
2
即当k＝－时，△PMN的面积的最大值为2，此时l的方程为y＝－x.。