2020-2021学年人教版七年级下学期数学练习题及答案 (399)

2020-2021学年人教版七年级下学期数学练习题及答案
24．已知△ABC中，∠B＝60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．
（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；
（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小；
（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB ＝9，求BG
的长．
【分析】（1）利用平行线的性质得出∠ADE＝60°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE ＝∠EDF＝60°，进而得出∠BDF＝60°，即可得出结论；
（2）由折叠的性质得出∠ADE＝∠FDE＝60°，∠A＝∠DFE，得出∠ADC＝120°，由等腰三角形的性质得出∠FEC＝∠FCE，设∠FEC＝∠FCE＝x，由三角形的外角性质得出∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；
（3）同（1）得出△BDG是等边三角形，∠ADE＝∠B＝60°，得出BG＝BD，由折叠的性质得出AD＝FD，由直角三角形的性质得出FD＝2BD，得出AD＝2BD，由已知得出2BD+BD＝9，求出BD＝3，即可得出BG＝BD＝3．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠B＝60°，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，
∴∠ADE＝∠FDE＝60°，
∴∠BDF＝60°，
∴∠DFB＝60°＝∠B＝∠BDF，
∴△BDF是等边三角形；
（2）解：∵∠B＝60°，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，
∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∠A＝∠DFE，
∴∠ADC＝120°，
∵CF＝EF，
∴∠FEC＝∠FCE，
设∠FEC＝∠FCE＝x，则∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，
在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即2x+x+120°＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠A＝2x＝40°；
（3）解：同（1）得：∠BDF＝60°，△BDG是等边三角形，∠ADE＝∠B＝60°，
∴BG＝BD，
由折叠的性质得：AD＝FD，
∵BF⊥AB，
∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，
∴FD＝2BD，
∴AD＝2BD，
∵AD+BD＝AB，
∴2BD+BD＝9，
∴BD＝3，
∴BG＝BD＝3．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键．。