2021-2022年高二下学期第三次段考数学理试题

2021-2022年高二下学期第三次段考数学理试题
注意事项：
1. 答卷考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡
和答卷密封线内相应的位置上．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答
卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4. 考生必须保持答题卡的整洁和平整．
参考公式：1.
正态分布密度函数22
()2()()x f x x R μσ--=∈.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数(∈R ,是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为( ) A .-2 B .4 C .-6
D .2
2.命题P ：“x =1”是命题Q ：“”的( )条件
A .必要不充分
B .充分不必要
C .充要条件
D .非充分非必要
3.某市组织一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
)(10
21)(200
)80(2R x e
x f x ∈⋅=
--
π，则下列命题不正确的是( )
A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；
B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；
C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；
D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10.
4.从4名男生、3名女生中各选出2名组成研究性学习小组，并从选出的4人中再选定1人当组长，则不同选法的种数是( ) A . B . C .
D .
5.在等比数列中，，则=( )
A .
B .
C .
D .
6.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知f(x)为偶函数且，则等于( )
A.0B.4C.8D.16
8.在⊿ABC中，满足，且，则角C的值为( )
A. B. C. D.
15、填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分.
9.在展开式中含x15的项的系数为 (结果用数值表示).
10.若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为 .
11.有一电路如图，共有4个开关，若每个开关闭合的概率都是，且互相独立，
则电路被接通的概率是 .
12.在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，，，，则的面积S= ______.
13.在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值
为 .
14.不等式的解集为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.(本小题满分12分)
在中，角A 、B 、C 所对应的边分别为，，，且. (1)求角B 的大小； (2)若,求角A 的大小.
16.(本小题满分12分)
今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
(2)择是相互独立的)，记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
17.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面
ABCD 是直角梯形，， 且AB =BC =2AD =2，侧面PAB ⊥底面ABCD ，是等边三角形. （1）求证：BD ⊥PC ;
（2）求二面角B-PC-D 的大小.
18.(本小题满分14分)
已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *
满足关系式2S n ＝3a n －3. 数列是公差不为0的等差数列，且，成等比数列. (1)求数列及的通项公式； (2)求数列的前n 项和.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线经过左焦点. (1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上的点，求的范围.
20.(本小题满分14分) 已知函数021
2)1ln()(=-+++-+=y x b x x
x a x f 的图象与直线相切于点(0，c ). 求：(1)实数a 的值；
(2)函数的单调区间和极小值.
砺儒中学xx 第二学期高二级段考3
数学(理科)参考答案xx.5.31
1-8：CBBC BDDB 9.17 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：(1)因为，
由正弦定理，得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-.
∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=. ∵ , ∴， ∴ , 又∵, ∴.
(2)
由正弦定理，得sin sin 2a B
A b
===，
∵, ∴.
16.解：(1)设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则
∴若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为.………………………3分
(2)的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为，且，………………………5分
∴()8116323104
04=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，()8132323113
114
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()2788124323122
2
24==
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，()818323131
3
34=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()811323140
4
44=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ. ………………………10分
∴随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
11分 ∴3
481148183812428132181160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 或…………………………………………………………12分 17.(1)证明：取AB 的中点O ，连结PO ， ∵△PAB 是等边三角形， ∴PO ⊥AB ,
∵侧面PAB ⊥平面ABCD ，且侧面PAB ∩平面ABCD =AB , ∴PO ⊥平面ABCD .
如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3),(1,2,0)B D P C -, ∴(2,1,0),(1,2,3)BD PC =-=-, ∴， ∴BD ⊥PC .
(2)设平面BPC 的一个法向量为，又,
∴20
230
m BC y m PC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令，则. 同理可得平面PCD 的一个法向量为， ∴cos ,0||||128
m n m n m n ⋅<>=
==⨯，
∴二面角B -PC -D 的平面角的大小为. 18.解：(1)当时，有，① 又，②
②-①得，2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1， 即a n ＝3a n －1(n ≥2)． 又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3， ∴a 1＝3.
故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. ∴a n ＝3n . ∵成等比数列， ∴，即 解得，或(舍去) ∴. (2)设，
∴123
123
23(1)3(4)3(35)3n n n
T c c c c n =++++=⨯+-⨯+-⨯++-+⨯，①∴2341
323(1)3(4)3(35)3n
n
T n+
=⨯+-⨯+-⨯++-+⨯，②
○2-○1得，231
26333333(35)3
n n
n
T n+
=-+⨯+⨯++⨯+-+⨯
3411
6333(35)3
n n
n
++
=-+++++-+⨯
31
1
333
6(35)3
13
n
n
n
+
+
-⨯
=-++-+⨯
-
∴1
39133
()3
442
n
n
T n+
=-+-⨯.
19.解：(1)直线与的交点的坐标为，则的坐标为.………2分
设焦距为2，则.
, . ……5分
则椭圆的方程为. ………6分
2222
2
1212121212 12
1212
()2
cos
22
PF PF F F PF PF PF PF F F
F PF
PF PF PF PF
+-+-⨯-∠==
⨯⨯
12
1212
48224241
11
2162
PF PF
PF PF PF PF
-⨯
==-≥-=
⨯⨯
, ……………13分
则；
由上述可得的取值范围为. ……………14分
20.解：(1)
2
()ln(1),
1
x
f x a x b
x
=+-+
+
∴…………2分
∵f(x)在x=0处的切线方程为y=-x+2，
∴，即a=1
(2)∵点(0,c)在直线x+y-2=0上，
∴c-2=0，即c=2，
∵点(0,2)在2()ln(1)1
x
f x a x b x =+-++的图像上， ∴f (0)=b =2，
∴2()ln(1)2(1)1x
f x x x x =+-
+>-+ 由(1)得：22
121()(1)1(1)(1)
x f x x x x x -'=-=>-+++ 当时，得x >1；当时，得-1<x <1，
∴f (x )在上单调递增，在(-1,1)上单调递减，
∴当x =1时，f (x )有极小值f (1)=1+ln 2. 38713 9739 霹33440 82A0 芠%<30314 766A 癪0T37905 9411 鐑21915 559B 喛29868 74AC 璬27635 6BF3
毳28444 6F1C 漜34417 8671 虱V。