【新教材】高中数学苏教版必修第一册同步课件：7.3.3 第1课时 函数y=Asin(ωxφ)的图象

点的纵坐标变为本来的A倍(横坐标不变)而得到的.
4.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ≠0)的图象,可以看作是将函数y=sin ωx的图象上
所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移
φ
ω
个单位长度而得到的.
名师点析 φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
(1)φ>0时,函数图象向左平移,φ<0时,函数图象向右平移,即“加左减右”.
B.向右平移12个单位长度
π
C.向左平移3个单位长度
π
D.向右平移3个单位长度
)
答案 B
π
π
π
解析 由 y=sin 4- =sin 4 得,只需将 y=sin 4x 的图象向右平移 个单
3
12
12
位长度即可,故选 B.
反思感悟平移变换的策略
(1)先确定平移方向和平移的量.
(2)当x的系数是1时,若φ>0,则左移φ个单位长度;若φ<0,则右移|φ|个单位长
度.

||
当 x 的系数是 ω(ω>0)时,若 φ>0,则左移 个单位长度;若 φ<0,则右移 个单位


长度.
变式训练 2
是(
π
π
将函数 y=sin 2- 向左平移 个单位长度,可得到函数图象
6
6
)
A.y=sin 2x
π
C.y=sin 2 +
6
π
B.y=sin 26
π
D.y=sin 23
答案 C
π
π
解析 将函数 y=sin 2- 6 向左平移6个单位长度,
π π
π
得 y=sin 2 + - =sin(2x+ ),故选 C.
6 6
6
探究三
函数图象的伸缩变换
1
π 5
例 3 已知函数 y= sin(2x+ )+ ,该函数的图象可由 y=sin x,x∈R 的图象经过
2
6 4
怎样的变换得到?
202X
第7章
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.会用“五点法”画出函数
y=Asin(ωx+φ)的图象.(直观想象)
2.能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,
了解参数的变化对函数图象的影
响.(数学抽象)
3.掌握函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)
2
1
π
2
π
y= sin 2- ,
2
2
π
1
即 f(x)= sin 2- 2 .
2
π
1
y= sin 2
2
π
π 5π
5.用“五点法”画函数 y=3sin 2 + ,x∈ - ,
的图象.
3
6 6
解 ①先用“五点法”作出一个周期的图象,列表:

2x+
0
3
-
x
y=3sin 2x +

2

3

6
0

12
1
π
变,得到函数 y=2sin 2 + 6 的图象;
1
π
5
④把得到的 y=2sin 2 + 6 的图象向上平移4个单位长度,就能得到
1
π
5
y= sin 2 + + 的图象.
2
6
4
(方法 2)步骤:
1
①将函数 y=sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的2,而纵坐标不变,得到
函数 y=sin 2x 的图象;
合.(
)
(3)把函数 y=sin 2x
图象.(

的图象向左平移4 个单位长度,得到函数
y=sin 2x

+4
的
)
(4)要得到函数 y=sin -x +

3
的图象,可把函数
单位长度得到.(
)
答案 (1)× (2)√
(3)× (4)×

y=sin(-x)的图象向左平移3 个
微练习 1
为了得到y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线上所有点的(
π
π
②将 y=sin 2x 的图象向左平移12个单位长度,得到函数 y=sin 2 + 6 的图象;
π
1
③将 y=sin 2 + 6 的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的2,横坐标不变,得
1
π
到函数 y=2sin 2 + 6 的图象;
1
π
5
④再把得到的 y=2sin 2 + 6 的图象向上平移4个单位长度,就得到函数
π
解 (方法 1)步骤:①将函数 y=sin x 的图象向左平移 个单位长度,得到函数
6
π
y=sin + 6 的图象;
π
1
②把 y=sin + 6 的图象上各点的横坐标缩短到原来的2,而纵坐标不变,得
π
到函数 y=sin 2 + 的图象;
6
π
1
③将函数 y=sin 2 + 6 的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的2,横坐标不
π
C.y=sin 2 + 3 ,x∈R
2π
D.y=sin 2 +
,x∈R
3
答案 C
π
解析 把函数 y=sin x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度后得到函数
π
1
y=sin + 3 的图象,再把所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍,得到
π
函数 y=sin(2x+ )的图象.
3
素养形成
1
π
5
y= sin 2 + + 的图象.
2
6
4
变式训练 3
π
把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移3个单位长度,
1
再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到的图象所
2
表示的函数是(
)
π
A.y=sin 2- 3 ,x∈R
π
B.y=sin 2 + 6 ,x∈R
)
A.横坐标变为本来的4倍,纵坐标不变
B.横坐标变为本来的
1
4
倍,纵坐标不变
C.纵坐标变为本来的4倍,横坐标不变
D.纵坐标变为本来的 14 倍,横坐标不变
答案 B
解析 ω=4>1,因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标变为本来的
坐标不Hale Waihona Puke .1倍,纵4
微练习 2
把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为本来的2倍,纵坐标变为本
函数图象变换中的一题多解
π
典例1由函数y=sin x的图象经过怎样的变换,可以得到函数y=-2sin(2x- 6)+1
的图象.
思路点拨本题考查三角函数的图象变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸
缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.
解 (方法 1)y=sin x 的图象
x 的图象
y=-2sin 2x 的图象
(2)|ω|越大,函数图象的周期越小,|ω|越小,周期越大,周期与|ω|为反比例关
系.
(3)A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系.
微判断
(1)把函数y=sin x的图象向右平移2个单位长度得到函数y=sin(x+2)的图
象.(
)
(2)把函数y=sin x的图象向左平移2π个单位长度后得到的图象与原图象重
2.ω(ω>0且ω≠1)对函数y=sin ωx的图象的影响
函数y=sin ωx(ω>0且ω≠1)的图象,可以看作是将函数y=sin x的图象上所有
点的横坐标变为本来的
1
倍(纵坐标不变)而得到的.
ω
3.A(A>0且A≠1)对函数y=Asin x的图象的影响
函数y=Asin x(A>0且A≠1)的图象,可以看作是将函数y=sin x的图象上所有
π 3π
(1)列表.令 ωx+φ=0, ,π, ,2π,依次得出相应的(x,y)值.
2 2
(2)描点.
(3)连线得函数在一个周期内的图象.
(4)左右平移得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象.
变式训练 1
1
1
π
作出函数 y= cos + 在一个周期内的图象.
2
2
3
解 列表如下:
1
2

x+
x
列表如下:
x
1
3
3
2
x-

3
sin
1
3
x-

3
π
5
2
0

2
0
3
2
4π
11
2
7π
π
3
2
2π
0
-
3
2
0
描点连线,如图所示:
利用该函数的周期性,把它在一个周期上的图象分别向左、右扩大,
3
1 π
从而得到函数 y= sin - 的简图(图略).
2
3 3
反思感悟“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的图象的步骤
)
π
2.要得到 y=tan x 的图象,只需把 y=tan + 6 的图象(
)
π
A.向左平移6个单位长度
π
B.向左平移12个单位长度
π
C.向右平移 个单位长度
12
π
D.向右平移 个单位长度
6
答案 D
π
3.将函数y=sin - 3 图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为本来的5倍,可得
到函数
答案
6
π
π
π
象的函数解析式为 y=sin 2(x-6),即 y=sin(2x-3),所以 ω=2,φ=-3.
(方法 2)正向变换
π
π
将 y=sin(ωx+φ)的图象向左平移6个单位长度后,得到 y=sin(ωx+ 6 +φ)的图象,
1
π
再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,即得 y=sin(2ωx+ 6 +φ)的图象,
y=Asin(ωx+φ)与函数y=sin x有什么关系呢?
知识点拨
参数φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
1.φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响
一般地,函数y=sin(x+φ)的图象可以看作是将函数y=sin x的图象上所有的
点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到的.
名师点析 在方法1中,先伸缩,后平移;在方法2中,先平移,后伸缩.两种变换
π π
方法中平移的单位长度是不同的(分别为
),但得到的结果都是一
和
12 6
致的.
π
典例 2 把函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移 个单位长度,再将图
6
象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式
1
π
1
π
π
又 sin(2ωx+ 6 +φ)=sin x,ω>0,|φ|<π,从而2ω=1, 6 +φ=0,解得 ω=2,φ=-3.
答案 B
当堂检测
π
1.函数 y=2sin + 3 的图象与 x 轴的交点中,两个相邻点距离为(
π
π
A.π
B.2π
C.2
D.4
答案 A
解析 两个相邻点的距离为半个周期π.
的图象.
1 π
y=sin 5 3
π
解析 y=sin - 3 的图象
y=sin
1 π
- 的图象.
5 3
4.已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为本来的2倍,
然后把所得的图象沿x轴向左平移
1
y= 2 sin
个单位长度,这样得到的图象与
x的图象相同,求f(x)的解析式.
1
解 y= sin x
π
y=-2sin(2x-6)+1 的图象.
y=2sin x 的图象
y=-2sin
π
y=-2sin(2x-6)的图象
(方法 2)y=sin x 的图象
π
y=sin(2x-6)的图象
π
y=-2sin(2x-6)的图象
π
y=sin(x-6)的图象
π
y=-sin(2x-6)的图象
π
y=-2sin(2x-6)+1 的图象.
为 y=sin x,则(
)
π
A.ω=2,φ=
6
π
B.ω=2,φ=3
1
π
C.ω=2,φ=6
1
π
D.ω=2,φ=12
解析 (方法 1)逆向变换
1
将函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2(纵坐标不变),所得图
π
象的函数解析式为 y=sin 2x,再将此函数图象向右平移 个单位长度,所得图
3
π

3
0
3
2
7
12
-3
2π
5
6
0
②描点:在坐标系中描出下列各点:
π
π
π
7π
5π
- 6 ,0 , 12 ,3 , 3 ,0 , 12 ,-3 , 6 ,0 .
③连线:用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来,
π
π 5π
得函数 y=3sin 2 + 3 ,x∈ - 6 , 6 的简图,如图所示.
来的3倍,得到
答案
3
y=6sin x
2
的图象.
课堂篇 探究学习
探究一
用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
3
1 π
例 1 用“五点法”作出函数 y= sin - 的简图.
2
3 3
3
1 π
2π
解 函数 y= sin - 的周期 T= 1 =6π,
2
3 3
3
先用“五点法”作在长度为一个周期上的图象.
图象间的变换关系,能正确地指出
其变换步骤.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
情境导入
在物理上,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的
电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数.如图(1)所示是某次
实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
将测得的图象放大如图(2)所示,可以看出它和正弦曲线很类似,那么函数
y
3

2
0
-
2
3
1
2
π

3
0
4
3
-
1
2