2020高考预测数学(文)试题含答案

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷为选择题，共12小题，60分；第II 卷为填空题和解答题，共11小题，90分.全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在题后的括号内．
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么
P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )
如果事件A 、B 相互独立，那么
P (A ·B )＝P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
P n (k )＝k n
C P k (1－P )n k
正棱锥、圆锥的侧面积公式
S 锥侧＝2
1cl
其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长
球的体积公式
V 球＝3
4πR 3
其中R 表示球的半径
1．以下满足A ≠⊂B 的非空集合A 、B 的四个命题中正确的个数是
（ ）
①若任取x ∈A ，则x ∈B
②若x ∉A ，则x ∈B 是必然事件
③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件
④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件 A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
2．定义运算()()
{
,12112x a
a b a b b
a b ≤*=
*=*>例如：，则的取值范围是 （ ） A ．(0, 1)
B ．(-∞, 1)
C ．(0, 1)
D ．[1, +∞]
3．已知数列{}n a 满足134(1)n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等
式1
6125
n S n --<的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
4．△ABC 中，A>B ，则下列四个不等式中恒成立的个数是
（ ）
①sinA>sinB ②cosA<cosB ③sin2A>sin2B
④
cos2A<cos2B A ．4个 B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．函数()log 0,1,1a y x b
a a a
b =+>≠=的图象只可能是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知m 、l 是异面直线，有下面四个结论： ①必存在平面α过m 且与l 平行； ②必存在平面β过m
且与l 垂直；
③必存在平面γ与m 、l 都垂直；
④必存在平面π与
m 、l 距离都相等．
其中正确的结论是
（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①④
7．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为（a ，0），（0，a ），a 是正的常数，点P 在线
段AB 上，且）（1t 0AB t AP ≤≤=→
--→
--，则→
--→--⋅OP OA 的最大值是 （ ）
A ．a
B ．2a
C ．a 2
D ．3a
8．点()0,0
2
x M a b y x y ≥⎧⎪≥⎨+≤⎪⎩在由不等式组确定的平面区域内，则点()N a b a b +-，所在平
面区
域的面积是
（ ） A ． 1
B ． 2
C ． 4
D ．8
9．按照以下规律：
那么从2003到2005的顺序为 （ ）
A ．→ ↑
B ．↑ →
C ．↓ →
D ．→ ↓
10．设4821201212(1)(4)(3)(3)(3)x x a a x a x a x ++=+++++++L
，则2412a a a +++L ＝
（ ）
A ．256
B ．96
C ．128
D ．112
11．下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1、
F 2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则
（ ）
A ．e 1＞e 2＞e 3
B ． e 1＜e 2＜e 3
C ． e 1
＝e 3＜e 2 D ．e 1＝e 3＞e 2
12．设),(y x P 是曲线2
2
125
9
x y +
≤上的点C ，F 1（－4，0），F 2（4，0），则 （ ）
A ．10||||21≤+P F P F
B ．10||||21≥+P F P F
C ．10||||21<+P F P F
D ． 10||||21>+P F P F
第Ⅱ卷（填空题和解答题，10小题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.
13．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x 名（3≤x ≤9），现在从中选出
3人参加一次调查活动，若至少有1名女生去参加的概率为p ，则
p 的最大值为_______．
14．给出下面的3个命题：（1）函数|)3
x 2sin(|y π
+=的最小正周期是
2π；（2）函数)23x sin(y π-=在区间)23,[π
π上单调递增；（3）45x π=
是函数)2
5x 2sin(y π
+=的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．
15．已知凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，
则对于区间内的任意n 21x x x ，，
，⋯，有)n x x x (f )]x (f )x (f )x (f [n 1
n 21n 21+⋯++≤+⋯++，已知
y=sin x 在区间
（0，π）上是凸函数，那么在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为 ．
16．已知)0,1(A -, )1,2(B , )1 ,1(C - . 若将坐标平面沿x 轴折成直二面角, 则折后
BAC ∠的余弦值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为
c b a 、、，设
c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和
32
1
+=b c ，求A ∠和B tan 的值.
18．(本小题满分12分)一位学生每天骑自行车上学, 从他家到学校有5个交通岗, 假设他在
交通岗遇到红灯是相互独立的, 且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p , 其余3个交通
岗遇到红灯的概率均为2
1.
(I) 若3
2p , 求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率; (II) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过18
5
, 求p 的取值范围.
19．(本小题满分12分)如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面△ABC 是等
腰直角三角形，且∠ACB =90°，AC =2，D 是A A 1的中点． （Ⅰ）求异面直线AB 和C 1D 所成的角（用反三角函数表示）； （Ⅱ）若E 为AB 上一点，试确定点E 在AB 上的位置，使得
A 1E ⊥C 1D ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D 到平面B 1C 1E 的距离．
A
B
A 1
C 1
C
B 1
E
20．(本小题满分12分)已知函数3()3f x x x =-， （I ）求函数()f x 在3[3,]2
-上的最大值和最小值；
（II ）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.
21． (本小题满分12分)已知函数.x
12)x (f +=数列}a {n 中,
)a (f a ,a a n 1n 1==+ )N n (*∈. 当a 取不同的值时,得到不同的数列}a {n ,
如当1a =时, 得到无穷数列;,717,37,3,1Λ 当2
1a -=时, 得到有穷数列. 0,2
1-
(I) 求a 的值, 使得0a 3=;
(II) 设数列}b {n 满足),N n )(b (f b ,2
1b 1n n 1*+∈=-=
求证: 不论a 取}b {n 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列}a {n ; (III) 求a 的取值范围, 使得当2n ≥时, 都有3a 3
7n <<.
22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点
F T M P 、、、满足
(1,0),(1,)OF OT t ==-u u u r u u u r ，,,//FM MT PM FT PT OF =⊥u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r
（I ）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；
（II ）若过点F 的直线交曲线C 于A B 、两点，求证：直线
TA TF TB 、、的斜率依次成
等差数列.
文科数学参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．解：B ．根据A ≠⊂B 的意义，以及必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可知①③ ④正确,选B ．
2．解：C ． (]002112201021121x x x x x x ≤<≤*=∈>>*=时，，从而，；时，
，从而， 故12x *的取值范围是(]01，
．选C ．
评：正确理解函数的定义，结合常见的函数图象来得到值域是解
决本题的关键．本题实际上就是求函数min{1,2}x 的值域.
3．解：C ． 设13()()n n a a λλ++=-+，则1,λ=-∴13(1)(1)n n a a +-=--，
{}1n a ∴-是以8为首项，1
3
-为公比的等比数列，
1118()1,61()33n n n n a S n -⎡
⎤∴=-+=--+⎢⎥⎣
⎦，不等式可化为3750n >，
最小整数n 是7. 选C ．
4．解：B ．①成立，B A B R A R b a B A sin sin sin 2sin 2>⇒>⇒>⇒>．
②成立，因为x y cos =在),0(π上是减函数，∴B A cos cos <． ③不成立，可举反例，︒=70A ，︒=30B ，
B A 2sin 140sin 2sin <︒=．
∴③不对．
④成立，∵0)sin()sin(22cos 2cos <-+-=-B A B A B A ，∴正确． 或者0)sin (sin 2sin 21sin 212cos 2cos 2222<-=+--=-A B B A B A 故选B ．
5．解：B ． 0,10,log a
a a
b b y x b x b >=>=+=-Q 由知又的图象关于对称，由图象
可知
1b >．故1,01b a ><<且．由函数单调性知选
B ．
6．解：D ． 对于②若m 、l 不垂直，则满足条件的平面不存在．对
于③m 、l 应为平行线． ①④可推出，故选D ．
7．解：C ． _______________||||cos ||cos OA OP OA OP POA a OP POA →→
→
→
→
⋅=⋅⋅∠=⋅⋅∠
由图可知，当P 与A 重合，2max ______)(a OP OA =⋅→
→
，选C ．
8．解：C ．设(),N x y ，则
{
,,x a b y a b =+=- 即,
2.2
x y a x y
b +⎧=⎪⎨-⎪=⎩ 据题意，有0,
20,22.
x y x y x +⎧≥⎪⎪-⎨≥⎪⎪≤⎩ 即0,
0,2.x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩ 如图，故
选C ．
9．解：C ． 观察↓→处可见均为4的倍数，从而2004也在此位置，所以2003到2005的顺
序为↓→，所以选C ．
10．解：D ． 与二项式定理有关的问题，常常需进行合理的赋值，
在本题中，分别令2,3,4x =---，可求出结果，选D ．
11． 解：D ． 由图知显然①与③是同一曲线，不妨令｜F 1F 2｜＝1，则①中｜MF 1｜＝2
1，
c 1＝21，｜MF 2｜＝
23
，a 1＝4
13- e 1＝
31
32=-+1，而
②c ＝2
1
，
｜MF 2｜＝4
2， ∴e 2＝
2
2
10+＜e 1, ∴e 1＝e 3＞e 2.答案：D. 12．解：A ．
1≤可化简为||||153x y +≤，它表示椭圆19
252
2=+y x 内的一个菱形及其内部，故曲线上点满足|PF 1|+||PF 2|≤10，选A.
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13. 解：120119．提示：由题意，310
3
1C C p x
-=，要使p 最大，只要3x C 最
小，则x 要最小，即x =3．∴此时p =120
119
．
14. 解：①②．提示：③中π4
5=x 是)2
52sin(π+=x y 的对称中心．
15.解：2
33．提示：2
3
33
sin 3sin sin sin =
≤++π
C B A ． 16.
三、解答题：本大题考查分析问题和解决问题的能力．共6小题，满分共74分．
17．本小题主要考查余弦定理、正弦定理，三角函数的恒等变形等基本解题方法．
满分12分．
解：由余弦定理2
1
2cos 222=-+=
bc a c b A ，因此ο60=∠A ．……………4分
在ABC ∆中，B B A C ∠-=∠-∠-=∠οο120180． ……………6分 由已知条件，应用正弦定理
2
1
cot 23sin sin 120cos cos 120sin sin )120sin(sin sin 321+=-=-===+B B B B B B B C b c οοο， ……………10分
解得2cot =B ，从而2
1tan =B ． (12)
分
18．本小题主要考查概率的基础知识，以及运用概率知识解答实际问题的能力.满分12分．
解: (I) 记该学生在第i 个交通岗遇到红灯i A )5,,2,1i (Λ=,
.12
121)211()321()A A A (P 321=⨯-⨯-=⋅⋅
答：该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为
.12
1
……………6分 (II) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯(记为A)或恰好遇到一次红灯（记为B ）
,)p 1(81)211(C )p 1(C )A (P 230
3
202-=--= ……………7分 =-⋅-+⋅-⋅-=30
312213202)2
11()1(21)211()1()(C P P C C P C B P
).p 1(p 41
)p 1(832-+- …………………9分 +-2)p 1(81.3
8p 31185)p 1(p 41)p 1(832≤≤⇒≤-+-……………11分 又,1p 0≤≤ 所以p 的取值范围是].1,3
1
[ ……………12分
19．本小题主要考查直三棱锥、异面直线的角、线线垂直、点面距离等基础知识，同时考
查空间想像能力和推理、运算能力．满分12分．
解（Ⅰ）法一：取CC 1的中点F ，连接AF ，BF ，则AF ∥C 1D ． ∴∠BAF 为异面直线AB 与C 1D 所成的角或其补角．…1＇
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC
=2，∴AB =22． 又∵CC 1=2，∴AF =BF =5． ∵cos∠BAF =510
5
2=，…………3＇
∴∠BAF =5
10arccos
，
即异面直线AB 与C 1D 所成的角为 5
10
arccos
法二：以C 为坐标原点，CB ，CA y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则A （0，2，0），B （2，0，0C 1（0，0，2），D （0，2，1），
A
B
A 1
C 1
C
B 1
∴AB =（2，－2，0），D C 1=（0，2，－1）． 由于异面直线AB 与C 1D 所成的角
为向量AB 与D C 1的夹角或其补角．…………1＇ 设AB 与D C 1的夹角为θ， 则cos θ
=5-，…………3＇
∴θ
=arccos
5
π-， 即异面直线AB 与C 1D 所成的角为
5
10
arccos
．………………4＇ （Ⅱ）法一：过C 1作C 1M ⊥A 1B 1，垂足为M ， 则M 为A 1B 1的中点，且C 1M ⊥平面AA 1B 1B ．连接DM .
∴DM 即为C 1D 在平面AA 1B 1B 上的射影．…6＇ 要使得
A 1E ⊥C 1D ， 由三垂线定理知，只要A 1E ⊥DM ． ………7＇
∵AA 1=2，AB =22，
由计算知，E 为AB 的中点． ……………8＇ 法二：过E 作EN ⊥AC ，垂足为N ，则EN ⊥平面AA 1C 1C . 连接A 1N .
∴A 1N 即为A 1E 在平面AA 1C 1C 上的射影．………6＇ 要使得A 1E ⊥C 1D ，
由三垂线定理知，只要A 1N ⊥C 1D ．……………7＇ ∵四边形AA 1C 1C 为正方形， ∴N 为AC 的中点，
∴E 点为AB 法三：以C 为坐标原点，CB ，CA ，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
A
B
A 1
C 1
C
B 1
E
D
M A
B A 1
C 1C
B 1
E D N
则A 1（0，2，2），B （2，0，0），
C 1（0，0，2），
D （0，2，1），
设E 点的坐标为（x ，y ，0）, 要使得A 1E ⊥C 1D ，
只要E A 1·D C 1=0，………………………6＇ ∵E A 1=（x ，y －2，－2），
C 1=（0，2，－1），
∴y =1．……………………………………7＇
又∵点E 在AB 上，∴AE ∥AB ．∴x =1．
∴E 点为AB 的中点．……………………8＇
（Ⅲ）法一：取AC 中点N ，连接
EN ，C 1N ，
则EN ∥B 1C 1．
∵B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ， ∴面B 1C 1NE ⊥平面AA 1C 1C ． 过点D 作DH ⊥C 1N ，垂足为H ，
则DH ⊥平面B 1C 1NE ， ∴DH 的长度即为点D 到
平面B 1C 1E 的距离．…………………10＇ 在正方形AA 1C 1C 中，由计算知DH =55
3， 即点D 到平面B 1C 1E 的距离为
5
5
3．………12＇ 法二：连接DE ，DB 1.
A B
A 1
C 1
C
B 1
E
D
N H A
B
A 1
C 1
C
B 1
D
在三棱锥D —B 1C 1E 中，点C 1到平面DB 1E 的距离 为2，B 1E =6，DE =3， 又B 1E ⊥DE ，∴△DB 1E 的面积为
2
2
3， ∴三棱锥C 1—DB 1E 的体积为1．……10＇
设点D 到平面B 1C 1E 的距离为d ，在△B 1C 1E 中，B 1C 1=2，
B 1E =
C 1E =6，
∴△B 1C 1E 的面积为5．由153
1=⨯⨯d ， 得d =
5
5
3，即点D 到平面B 1C 1E 的距离为5
5
3．………………………12＇ 20．本小题主要考查导数的基础知识及其应用，以及综合应用知识分析问题和解决问题的
能力．满分12分. 解：（I ）
'()3(1)(1)f x x x =+-， ……………………………………………2分
当[3,1)x ∈--或3
(1,]2
x ∈时，'()0f x >，
3
[3,1],[1,]2
∴--为函数()f x 的单调增区
间 …………………………………………3分 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，
[1,1]∴-为函数()f x 的单调减区
间 ………………………………………………4分
又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()2
8
f f f f -=--==-=-， 所以当3x =-时，min ()18f x =-
………………………………………………5分
当1x =-时，max ()2f x = ………………………………………………6分
（II ）设切点为3(,3)Q x x x -o o o ，则所求切线方程为
32
(3)3(1)()y x x x x x --=--o o o o ………………………………………………
8分
由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--o o o o ， 解得0x =o 或
3x =o ． ………………………………………………10分
所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或，即
30x y +=或24540x y --=． …………………………………………
12分
21．本小题主要考查数列和不等式等数学知识的综合运用，以及代数推理能力、分析问题
和解决问题的能力，考查数学的基本思想和综合解答问题的能力．满分12分．
解: (I) 因为,a a 1=,a 1
2a n
1n +=+ 所以,a
1a 2a 12a 12+=+
=.1a 22
a 5a 12a 23++=+
=……………2分 要,0a 3=即要52a -=. 所以, 5
2
a -=时, .0a 3=……………4分
(II)由题知,2
1
b 1-=.b b 12n 1n =++不妨设a 取n b , 所以,b b 12a 1n n 2-=+=,b b 1
2a 12a 2n 1
n 23--=+
=+=……………6分 ……,
,2
1
b b 12a 12a 121
n n -==+
=+
=-所以,0a 1n =+……………8分 所以不论a 取}b {n 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列
}a {n .……………9分
(III) .3a 13a 12373a 3
71n 1
n n <<⇔<+<⇔<<--……………11分 因为)
3,3
7( )3,1( , 所以只要有3a 3
7
2<<就有
).3n (3a 3
7
n ≥<< ………12分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+3a
1a 23
7
a 1a 2, 解得: ⎩⎨⎧><<<1a 0a 3a 0或, 即3a 1<<.
所以, a 的取值范围是)3,1( .……………14分
22．本小题主要考查向量、轨迹和等差数列等数学知识的综合运用，考查数学的推理能
力、分析问题和解决问题的能力以及基本数学思想和综合解答问题的能力.满分14分．
（I ）解：设点P 的坐标为(,)x y ，
由FM MT =u u u u r u u u r ，得点M 是线段FT 的中点，则(0,)2
t M ，
(,)2t
PM x y =--u u u u r ，…1分
又(2,),(1,)FT OT OF t PT x t y =-=-=---u u u r u u u r u u u r u u u r
， ……………………………
2分
由PM FT ⊥u u u u r u u u r ，得2()02
t
x t y +-=，
①…………………………………4分 由//PT OF u u u r u u u r
，得(1)0()10,x t y t y --⨯+-⨯=∴=
②…………………………5分
由①②消去t ，得24y x =即为所求点P 的轨迹C 的方程 …………………………6分
（II ）证明：设直线,,TA TF TB 的斜率依次为12,,k k k ，并记
11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则
2
t
k =- ……………………………………………………………………7分
设直线AB 方程为1x my =+
241
y x
x my ⎧=⎨
=+⎩，得2440y my --=， …………………………………………8分
1212
4,4y y m y y +=⎧∴⎨⋅=-⎩ …………………………………………………9分
2222121212()2168y y y y y y m ∴+=+-=+， …………………………………
…10分
1212121
y t y t
k k x t x --∴+=
+++ ……………………………………11分
22
21122212
22
121212122222
1212()(1)()(1)
44(1)(1)44
4()4()16()324()16
2y y y t y t y y y y y y t y y y y t
y y y y t k
-++-+=+++-+++-=+++=-= 12,,k k k ∴成等差数
列 ………………………………………………………………14分。