奥数五六年级知识点总结

第六讲平方数及其计算
问题引入
一、问题引入
一、
平方数是指可以写成某个整数的平方的数。

例如，最小的平方数为0，它可以写成0的平方，1=12,4=22,9=32,16=42......所以1、4、9、16这些数也都是平方数。

在小升初及各种杯赛中，考察学生计算能力的题目是必不可少的，这部分题目难度不大，但是方法很巧妙，其中很多题目都是运用了平方数的性质和计算技巧。

题目中出现平方数，我们经常可以化整为零，化零为整、两两配对、或者数形结合，下面我们就一起来学习一下平方数吧。

二、
知识总结
二、知识总结
1、从数列的角度认识平方数
在第一讲中我们已经介绍了数列的基本知识，其实数列不仅是一列数，也是一种看待问题的角度。

平方数和数列之间有着密切的关系，让我们来观察下面一个数列：
1、3、5、7、9、11......（2n-1）
同学们应该已经看出来，这是一个首项为1，末项为2n-1，公差为2的等差数列，更进一步说是一个奇数数列。

从1到2n-1，共有（2n-1-1）÷2＋1=n 项。

根据等差数列前n项求和公式，这个数列的前n项之和为（2n-1+1）×n ÷2=n2,，所以，除了0以外，每个完全平方数n2都是首项为1的奇数数列的前n项的和。

在必要的时候，可以将完全平方数拆成数列，这样就可以化整为零。

另一方面，完全平方数也可以构成一个数列，如
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100
这个数列不是等差数列，因此求其前n项和时不能用（首项＋末项）×项数÷2的公式。

下面我们来推导一下完全平方数列的前n项求和公式：12+22+32+42+...+n2
=1×（2-1）＋2×（3-1）＋3×（4-1）＋......＋n×（n＋1－1）
=[1×2＋2×3＋3×4＋......＋n×（n＋1）]－（1＋2+3+4+5+...+n）
上式的前半部分可以运用整数的裂项技巧（下一讲将为大家介绍）计算，结果为n×(n+1)×（n+2）÷3，后半部分是个等差数列前n项和，为n×（n＋1）÷2，两式合并得到n×（n+1）×（2n+1）÷6，即
12+22+32+42+...+n2=n×（n+1）×（2n+1）÷6
有了这个平方数数列求和公式，就可以将一列平方数化零位整。

应当注意的是，该公式的首项必须为1，且为连续的平方数，若不是，则需要转化。

例如：
32+42+...+n2=（12+22+32+42+...+n2）-（12+22）
2、平方差公式：
前面我们学习了平方数的求和，下面我们来学习一下两个平方数的求差公式
平方差公式：a2-b2=（a+b）×（a-b）
特别的，当a比b大1时，a2-b2=（a＋b）×1=a+b
在遇到平方数的计算题中，若有减法，则经常凑出两两平方数相减。

例如：
（22+42+62+82+102）-（12+32+52+72+92）
=（22-12）+（42-32）+（62-52）+（82-72）+（102-92）
=（2+1）×（2-1）+（4+3）（4-3）+......+(10+9)×（10-9）
=1+2+3+4+5+......+10=55
3、数形结合：
平方数是某个整数的平方，在几何中也有一个量等于某个数的平方，那就是正方形的面积，因此，在某些题目中，直接计算比较繁琐或者不好说明问题时，可以构造正方形来表示平方数，然后通过计算面积来求出结果。

数形结合的题目技巧性很高，以后会有一讲为大家系统的介绍，这里就不详细讲解了。

例题讲解
三、例题讲解
三、
例1：平方数求和公式
计算22+42+62+82......+1002
【分析】
前面给出的平方和求和公式只适用于以1为首项的连续平方数，本题中求的是偶数的平方数的前n项和，必须进行转化。

22+42+62+82......+1002
=（1×2）2+（2×2）2+（3×2）2＋......+(50×2）2
=22×（12+22+32+42+ (502)
=4×50×51×101÷6
=171700
例2：平方差公式，平方数求和公式综合运用
11×19+12×18＋13×17+14×16
【分析】
仔细观察可以发现，11和19与15的差都为4,12和18、13和17、14和16也是这样。

11×19+12×18＋13×17+14×16
=（15-4）×（15+4）+（15-3）×（15+3）+（15-2）×（15+2）+（15-1）×（15+1）
=152-42+152-32+152-22+152-12
=152×4-（12+22+32+42）
=870。