2020年鼎城一中高二假期高考数学模拟试卷(二)数学试题答案

绝密★启用前
鼎城一中高二质量检测（二)数学试题
第I 卷（选择题)
一、单选题
1．（5分）设43z i =+，则在复平面内1
z
对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数z ，对1
z
进行化简计算，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案. 【详解】 因为43z i =+，
所以
1143434343(43)(43)252525
i i i z i i i --====-++-， 因此
1z 在复平面内对应的点4
3,2525⎛⎫-
⎪⎝⎭
，位于第四象限， 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的运算和复平面对应的点，属于简单题. 2．（5分）已知集合{
}
2
|450A x x x =-+>，203x B x x +⎧⎫
=≤⎨⎬-⎩⎭
，则A B =I （ ） A ．(2,3)- B ．[2,3]- C ．[2,3)-
D ．∅
【答案】C 【解析】 【分析】
对集合A ，B 进行化简，再通过集合的交集运算，得到A B I . 【详解】
因为集合A 中的不等式2
2
45(2)10x x x -+=-+>， 解集为x ∈R ， 所以集合A =R .
试卷第2页，总24页
因为集合B 中的不等式2
03
x x +≤-， 解得23x -≤<
所以集合{|23}B x x =-≤<， 所以[2,3)A B ⋂=-， 故选：C. 【点睛】
本题考查二次不等式和分式不等式，集合的交集运算，属于简单题. 3．（5分）已知函数1
2
()log 1f x =，则()f x （ ）
A ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减
B ．是非奇非偶函数，在区间(0,)+∞上单
调递减
C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增
D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减
【答案】C 【解析】 【分析】
通过()f x 解析式，得到()()f x f x -=，得到()f x 为偶函数，研究0x >时，()f x 单调性，根据对称性，得到0x <时，()f x 的单调性，从而得到答案. 【详解】 因为1
12
2
()log 1log 1f x x ==+，
定义域为()(),00,-∞⋃+∞
()112
2
log 1log 1f x x x -=-+=+
所以()()f x f x =- 所以()f x 为偶函数，
当0x >时，()12
log 1f x x =+，单调递减，
故()f x 在(,0)-∞上单调递增， 故选：C. 【点睛】
本题考查判断函数的奇偶性，根据解析式得到函数的单调性，属于简单题.
4．（5分）设0.1
0.353,log 0.5,log 0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性，求出,,a b c 与特殊值0和1之间的大小关系，从而做出判断. 【详解】
因为3x y =是单调递增函数， 所以0.10331a =>=，即1a >； 因为0.3log y x =是单调递减函数，
所以0.30.30.3log 1log 0.5log 0.31b <=<=，即01b <<； 而55log 0.3log 10c =<=，即0c <， 所以a b c >>， 故选：B. 【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的性质，比较指数式、对数式的大小，属于简单题. 5．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两
8钱
C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱
D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，设五人所得的钱数等差数列{}n a ，设公差为d ，根据110.4a =，5 5.6a =，得到d ，从而得到234,,a a a ，得到答案.
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【详解】
由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{}n a ， 则110.4a =，5 5.6a =，
设公差为d ，所以514 5.6a a d =+=， 即10.44 5.6d +=，解得 1.2d =-， 可得2110.4 1.29.2a a d =+=-=；
31210.4 1.228a a d =+=-⨯=； 41310.4 1.23 6.8a a d =+=-⨯=，
所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱， 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列的通项中基本量的计算，求等差数列中的某一项，属于简单题.. 6．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n 名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n 的值为（ ） A ．20 B ．22
C ．23
D ．26
【答案】D 【解析】 【分析】
根据分层抽样的特点，先得到武术小组占总人数的比值，然后根据比例，得到所抽取的人数，得到答案. 【详解】
因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300， 所以得到武术小组占总人数的比值为
3003
60040030013
=++
因为武术小组中抽取了6名学生，根据分层抽样的特点可得
63
13
n =，解得26n =， 故选：D. 【点睛】
本题考查根据分层抽样的特点求抽取的人数，属于简单题.
7．（5分）“(1)(1)0b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不
必要 【答案】B 【解析】 【分析】
通过1a -和1b -同号可得前者等价于11a b >⎧⎨
>⎩或1
1a b <⎧⎨<⎩
，通过对数的性质可得后者等价于11a b >⎧⎨>⎩或01
01a b <<⎧⎨<<⎩
，结合充分条件，必要条件的概念可得结果.
【详解】
()()11101a b a b >⎧-⋅->⇔⎨>⎩或11a b <⎧⎨<⎩，1log 01a a b b >⎧>⇔⎨>⎩或01
01a b <<⎧⎨<<⎩
， 即“(1)(1)0b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的必要不充分条件， 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质以及充分条件，必要条件的判定，属于中档题.
8．（5分）已知抛物线2
4y x =-的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，
直线4x =与MO ，NO 的延长线交于P ，Q 两点，则:MON POQ S S ∆∆=（ ）
A ．
1
8
B ．
19
C ．
112
D ．
116
【答案】D 【解析】 【分析】
当直线l 垂直于x 轴，根据相似，得到1
16
MON POQ S S ∆∆=，当直线l 不垂直于x 轴，联立2(1),
4y k x y x
=+⎧⎨=-⎩，得到12
1=x x ，利用三角形面积公式，得到1214416POQ MON x x S S ∆∆=⋅=，从而得到答案. 【详解】
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当直线l 垂直于x 轴时，
MON ∆与POQ ∆相似， 所以2
||1416
MON POQ S OF S ∆∆⎛⎫
== ⎪
⎝⎭； 当直线l 不垂直于x 轴时， 设直线l 的方程为(1)y k x =+，
设()()()()
1122,,,,4,,4,P Q M x y N x y P y Q y .
联立2(1),4y k x y x
=+⎧⎨=-⎩得()2222
240k x k x k +++=，
()2
242440k k ∆=+->，所以121=x x ，
所以
1
||||sin 21
||||sin 2
MO P N OQ
MO NO MON S S PO QO POQ ∆∆⋅⋅∠=⋅⋅∠ 12||||1
||||4416
x x MO NO PO QO =
⋅=⋅=. 综上，1
16
MON POQ S S ∆∆=， 故选：D. 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的交点，抛物线中三角形面积问题，属于中档题.
9．（5分）将函数sin 2y x =的图象向左平移512
π
个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数()y f x '=的图象关于直线6
x π
=-对称；
②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增.
A ．①④
B ．②③
C ．①③
D ．②（④
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的平移，得到()f x 的解析式，从而得到其对称轴，对称中心，单调增区间，单调减区间，再进行判断，得到答案. 【详解】
由题意将函数sin 2y x =的图象向左平移512
π
个单位长度， 得55()sin 2sin 2126f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
sin 2cos 2323x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
令23
x k π
π+
=，k ∈Z
得到,26
k x k ππ
=
-∈Z 所以对称轴为直线,26
k x k ππ
=-∈Z ； 令232x k π
π
π+
=+
，k ∈Z
得到212k x ππ
=
+，k ∈Z 所以对称中心为点,0212k ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭，k ∈Z ； 2223
k x k π
πππ≤+
≤+，k ∈Z
得6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，k ∈Z
所以函数()f x 在,()63k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z 上单调递减；
22223
k k x π
ππππ≤≤++
+，k ∈Z
得236
k x k ππ
-
+π≤≤-+π，k ∈Z
试卷第8页，总24页
…………○…………订…………○…※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………订…………○…所以函数()f x 在2,()36k k k ππππ⎡⎤
-+-+∈⎢⎥⎣⎦
Z 上单调递增，
所以①③正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的平移变换、正弦型函数图象的性质，属于简单题. 10．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为10
3
，则棱长为a 的正方体的外接球的表面积为（ ）
A ．12π
B ．14π
C ．
D ．16π
【答案】A 【解析】 【分析】
根据三视图还原几何体，则该几何体的体积等于一个三棱锥和一个四棱锥的体积和，从而得到a 的值，然后得到棱长为a 的正方体的外接球的半径，从而得到答案. 【详解】
由题意可知该几何体的直观图如图所示， 则该几何体的体积11113510123
B AB
C B ACC A V V V a --=+==， 解得2a =，
则正方体的棱长为2，
…………○…………线…考号：___________
…………○…………线…则其外接球的直径2r ==， 所以棱长为2的正方体外接球的表面积
224412S r πππ==⨯=，
故选：A.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，正方体外接球表面积的计算，属于中档题. 11．（5分）已知函数32
13()132
f x x x bx =
-++在1x =处有极值，设函数23()()2F x f x a x ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭，且()F x 在区间(2,3)内不单调，则a 的取值范围为（ ）
A ．311,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．311,26⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．311,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．38,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据()f x 在1x =处有极值，得到()10f '=，从而得到b 的值，从而得到()F x ，求导得到()F x '，根据()F x 在区间(2,3)内不单调，按2a ≤，23a <<，3a ≥分类讨论，得到关于a 的不等式组，解得a 范围 【详解】
∵2()3f x x x b '=-+，且在1x =处()f x 有极值， ∴()01f '=，即130b -+=，解得2b =， ∴32
13()2132
f x x x x =
-++，
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23231()()2123=F x f x a x x ax x ⎛
⎫=---++ ⎪⎝
⎭，
∴2()22F x x ax '=-+. ∵()F x 在(2,3)内不单调，
所以①2(2)0(3)0a F F ≤⎧'<>'⎪⎨⎪⎩，即2
44209620
a a a ≤⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩
，所以31126a <<，
②3(2)0(3)0a F F ≥⎧'><'⎪⎨⎪⎩，即344209620a a a >⎧⎪
-+>⎨⎪-+<⎩
，所以无解集，
③230(2)
0(3)0a F F <<⎧⎪∆>⎨⎪>>''⎩或，即22348044209620a a a a <<⎧⎪->⎨⎪-+>-+>⎩
或，所以无解集， ∴a 的取值范围为311,26⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故选：B. 【点睛】
本题考查根据函数的极值点求参数的值，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
第II 卷（非选择题)
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二、填空题
12．（5分）已知(3,1)a =v ，()
24,23b t =-+v ，若9a b ⋅=-v v ，则
cos ,a b =v v _________. 【答案】 【解析】 【分析】
根据向量数量积的坐标运算，得到关于t 的方程，解出t 的值，在根据向量夹角的余弦公式，得到答案. 【详解】
因为(3,1)a =r ，()
2
4,23b t =-+r ，且9a b ⋅=-r r
所以212239t -++=-， 解得0t =，
所
5a b ====r r ，
所以cos ,a b a b a b ⋅==
=⋅r r
r r r r .
故答案为：50
-. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示，向量的夹角公式，属于简单题. 13．（5分）函数()f x x a =
+的图象在1x =处的切线被圆
22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.
【答案】6-或2 【解析】 【分析】
根据导数的几何意义，求出()f x 在1x =处的切线，根据圆的弦长，得到圆心距，根据圆心到切线的距离公式，得到关于a 的方程，从而得到a 的值. 【详解】 因为()f x x a =+ 所以()f x x '=
代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率(1)1k f '==. 又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ， 所以函数()f x x a =
+的图象
在1x =处的切线方程为1y x a =+-. 又因为圆2
2
:2440C x y x y +-+-= 圆心坐标为(1,2)-，半径为3，
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所以圆心到切线的距离d =
. 因为切线被圆2
2
:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，
则2
2213+=， 解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2 【点睛】
本题考查导数的几何意义求在一点的切线方程，根据圆的弦长求参数，属于中档题.
14．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上存在两点A ，B 关于直线8
y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】
联立8y x =-和2140x y --=，得到线段AB 的中点C 的坐标为()2,6-，
由点差法得到2
21212
2121y y y y b x x x x a -+⋅=-+，根据AB 斜率和C 的坐标为()2,6-，得到,a b 之
间的关系，从而得到离心率. 【详解】
点A ，B 关于直线8y x =-对称， 线段AB 的中点在直线2140x y --=上
所以8
2140
y x x y =-⎧⎨
--=⎩得()2,6C -，
设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212
4
12x x y y +=⎧⎨
+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，则有22
1122
2
2
222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2
212121212a x x x x y y y y b
-+=-+.
∵210x x -≠，∴
2
212122121y y y y b x x x x a
-+⋅=-+， ∴2
2124AB k a
b -⨯=.
∵点A ，B 关于直线8y x =-对称 ∴1AB k =-，
所以()2213b a
-⨯-=，即2
23b a =.
∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：2 【点睛】
本题考查点关于直线对称，双曲线的方程与几何性质，双曲线弦中点问题，求双曲线的离心率，属于中档题.
15．（5分）已知数列{}n a 满足11,log (2)n n b n a a c n ==…
，当2n ≥时，n b n =，且点(),n n b c 是直线1y x =+上的点，则数列{}n a 的通项公式为_________；令
123k y a a a a =⋅⋅L ，则当k 在区间[1,2019]内时，使y 的值为正整数的所有k 值之和
为__________. 【答案】1,
1,log (1),2n n
n a n n =⎧=⎨+⎩ (2036)
【解析】 【分析】
当2n ≥时，得到n c 的通项，从而得到n a ，结合11a =，得到n a 的通项公式，表示出y ，利用对数的换底公式，得到y 的解析式，2log (1)k n +=，得到21n k =-，根据
[1,2019]k ∈，得到n 的范围，从而得到满足要求的k 值之和，得到答案.
【详解】
因为当2n ≥时，n b n =，且点(),n n b c 是直线1y x =+上的点，
所以当2n ≥时，有log (1)(2)n n a n n =+…
，
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………外…………○※………内…………○所以1,
1,log (1),2,n n n a n n =⎧=⎨
+⎩…
所以231log 3log 4log (1)k y k =⨯⨯⨯⨯+L
2lg 3lg 4log(1)lg(1)
1log (1)lg 2lg 3lg lg 2
k k k k ++=⨯
⨯⨯⨯==+L ， 令2log (1)k n +=得12n k +=， 所以21n k =-，
所以当k 在[1,2019]内时，即2201911n ≤≤-，得*10,1n n ≤≤∈N 所以使y 的值为正整数的所有k 值之和为
()()()1
2
10212
1 21-+-++-L
()121022210=+++-L
()1021210203612
-=
-=-.
故答案为: 1,
1,log (1),2n n
n a n n =⎧=⎨+⎩…;2036
【点睛】
本题考查求数列的通项，分组求和，求等比数列前n 项和，属于中档题
三、解答题
16．（15分）如图，在ABC ∆中，sin 14
BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，
D 在BC 边上，连接AD .
（1）求角B 的大小； （2）求ACD ∆的面积.
【答案】（1）3
B π
=（2）【解析】 【分析】
（1）由ABD ADC BAD ∠=∠-∠及两角差的正弦公式，结合正余弦值求得ABD ∠的正弦值，即可得角B 的大小；（2）先在ACD ∆中，由余弦定理求出CD 的长度，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】
解：（1）在ABC ∆中，1
cos 7
ADC ∠=
， 所以0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2BAD π⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
∵sin BAD ∠=
，1cos 7ADC ∠=，
∴13
cos 14
BAD ∠==， sin 7ADC ∠==
∴sin sin()ABD ADC BAD ∠=∠-∠
sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠⨯∠-∠⨯∠ 1317147142
=
⨯-⨯=
. 因为0,
2ADC π⎛
⎫
∠∈ ⎪⎝
⎭
，所以0,
2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴3
B π
=
.
（2）在ACD ∆中，由余弦定理得
2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯∠，
∴2
16449277
CD CD =+-⨯⨯⨯， 解得5CD =， ∴1
sin 2
ACD S AD CD ADC ∆=
⨯⨯⨯∠ 17527
=
⨯⨯⨯
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……订…………○………※※内※※答※※题※※
……订…………○………=【点睛】
本题考查两角差的正弦公式以及利用余弦定理解三角形，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，属于简单题.
17．（15分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，ADC ∠为直角，AP ⊥平面ABCD ，::5:4:2BC AD CD =，且1CD =.
（1）求证：BP AC ⊥；
（2）若AP CD =，求二面角D PC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）5
- 【解析】 【分析】
（1）根据AP ⊥平面ABCD ，得到AP AC ⊥，根据勾股定理得到AC AB ⊥，从而得到AC ⊥平面ABP ，再得到BP AC ⊥；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，
得到平面BPC 的法向量1n u r ，平面DPC 的法向量2n u u r
，根据向量夹角公式，从而得到求
二面角D PC B --的余弦值. 【详解】
解：（1）证明：∵AP ⊥平面ABCD ，
AC ⊂平面ABCD ，∴AP AC ⊥.
∵::5:4:2BC AD CD =，且1CD =， ∴5
2,2
AD BC ==
， ∴2
AC AB ==
，
∴222BC AC AB =+，即AC AB ⊥. 又AP AB A =I ，,AP AB ⊂平面ABP ∴AC ⊥平面ABP . 又BP ⊂平面ABP ， ∴BP AC ⊥.
（2）如图，过点A 作AF 垂直BC 于点F ，由（1）知，AP AD ⊥. 又,AP AF AF AD ⊥⊥， ∴,,AP AD AF 两两垂直，
∴以A 为坐标原点，,,AF AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，
则1(0,0,1),(0,0,0),1,,0,(1,2,0),(0,2,0)2
P A B C D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，
∴50,,0,(1,2,1),(1,0,0)2BC CP DC ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r
.
设平面BPC 的法向量1(,,)n x y z =u r
，
由110,0BC n CP
n ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v 得50,220,
y x y z ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩ ∴取1(1,0,1)n =u r
.
设平面DPC 的法向量()
2111,,n x y z =u u r
，
由220,0DC n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u v u u v u u u v u u v 得11110,20,x x y z =⎧⎨
--+=⎩ ∴取2(0,1,2)n =u u r
.
设二面角D PC B --的平面角为θ，
则1212
cos 5n n n n θ⋅===u r u u r u r u u r ，
由图可知二面角D PC B --为钝角， ∴二面角D PC B --的余弦值为5
-
.
试卷第18页，总24页
外…………………线…………○……内…………………线…………○……
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，线面垂直的性质，利用空间想象求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，属于中档题.
18．（15分）甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液300ml ，从甲容器中取出
100ml 溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出100ml 溶液，将其倒入甲容
器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：
120%a =，12%b =，第n 次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：n a 、n b .
（1）请用n a 、n b 分别表示1n a +和1n b +；
（2）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于0.1%. 【答案】（1）11344n n n b a b +=+，131
44
n n n a a b +=+；（2）9. 【解析】 【详解】
（1）由题意可设在第一次调和后的浓度为120%a =，12%b =，
()110030013
1003004
4n n n n n a b b a b ++=
=++；
（2）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列{}n n a b -． 由（1）可得：
()()
1111112221
3133334
42n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a a b a b +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
…线………线……所以，数列{}n n a b -是以1118%a b -=为首项，以
1
2
为公比的等比数列． 所以，1
118%2n n n a b -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭
，
由题，令
，得1
112180
n -⎛⎫<
⎪⎝⎭
．所以，2lg1801log 180lg 2n ->=， 由7821802<<得27log 1808<<，所以，8n >. 即第9次调和后两溶液的浓度之差小于0.1%. 19．（15分）已知函数()ln f x x =，211
()22
g x x =-. （1）证明：当1x >时，()()f x g x <；
（2）存在01x >，使得当()01,x x ∈时恒有()()(1)(1)f x g x k x ->--成立，试确定k 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）(,1)-∞ 【解析】 【分析】
（1）构造函数211
()()()ln (0)22
F x f x g x x x x =-=-
+>，求导得到()F x '，从而得到()F x 的单调递减，所以有()(1)0F x F <=，从而得到当1x >时，()()f x g x <；（2）当1k ³时，不存在01x >满足题意，当1k <时，令
()()()(1)(1)x f x g x k x ϕ=----，利用导数得到()x ϕ单调性，得到()(1)0x ϕϕ>=，从而得到k 的取值范围.
【详解】
解：（1）证明：由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞，()g x 的定义域为(,)-∞+∞，
令211
()()()ln (0)22
F x f x g x x x x =-=-
+>， 所以2
11()x F x x x x
-'=-=，
当(1,)x ∈+∞时，()0F x '<，
试卷第20页，总24页
所以()F x 在(1,)+∞上单调递减， 故当1x >时，()(1)0F x F <=， 即当1x >时，()()f x g x <成立.
（2）由（1）知，当1x >时，()()0f x g x -<， 所以当1k ³时，不存在01x >满足题意； 当1k <时，
令()()()(1)(1)x f x g x k x ϕ=----
211ln 22
x x x kx k =-
+-+-， 所以211()1x x kx
x x k x x ϕ-+-'=-+-=
2(1)1
x k x x
-+-+=
， 令()0x ϕ'
=得2
(1)10x k x -+-+=，
所以1
0=<x （舍去）， 2x =
因为1k <，所以21>x ， 所以当()21,x x ∈时，()0x ϕ'
>，
所以()x ϕ在()21,x 上单调递增， 所以当()21,x x ∈时，()(1)0x ϕϕ>=， 即()()(1)(1)f x g x k x ->--成立. 综上，k 的取值范围为(,1)-∞. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，利用导数证明不等式，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、分类讨论思想，属于中档题.
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20．（15分）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，O 为坐标原点，A 为椭团的
上顶点，B 为其右焦点，D 是线段AB 的中点，且⊥OD AB . （1）求椭圆C 的方程；
（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，分别作PE x ⊥轴，
QF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，连接QE ，PF 并延长交椭圆C 于点M ，N 两点. （ⅰ）判断PQM ∆的形状；
（ⅱ）求四边形PMQN 面积的最大值.
【答案】（1）22
1
42
x y +=（2）（ⅰ）PQM ∆为直角三角形（ⅱ）329 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到b c ==
在求出a ，得到椭圆标准方程；
（2）（ⅰ）先设直线PQ 和EQ 的方程，分别与椭圆方程联立，得到点M 的坐标，从而表示出直线PM 的斜率，得到1PM PQ k k ⋅=-，从而做出判断；（ⅱ）先得到四边形PMQN 面积是PQM ∆面积的2倍，利用弦长公式得到||PQ ，||PM ，从而表示出PQM ∆的面积，再利用基本不等式得到其最大值，从而得到四边形PMQN 面积的最大值. 【详解】
解：（1）设椭圆的半焦距为c .
由题意可得⊥OD AB ，D 为AB 的中点， ∴,b c c ==
∴222b c ==，∴2224a b c =+=，
∴椭圆的方程为22
142
x y +=.
（2）（1）设直线PQ 的方程为(0)y kx k =>，且点P 在第一象限，
联立2224,,
x y y kx ⎧+=⎨=⎩消去y 得()22
214k x +=，
试卷第22页，总24页
显然>0
∆，
∴
P，Q
⎛
⎝
.
又∵PE x
⊥轴，∴E
⎫
⎪⎪
⎭
，
∴
2
EQ
k
k==，
∴直线EQ的方程为
22
k k
y x x
⎛
==
⎝
，
联立
22
2
24,
k
y x
x y
⎧
⎪=
⎨
⎪+=
⎩
消去y
得
222
2
2
2
140
221
k k
x x
k
⎛⎫
++-=
⎪
+
⎝⎭
，
2
222
2
2
414
221
k k
k
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∆=-⨯+⨯->
⎪ ⎪
+
⎝⎭⎝⎭
⎝
，
∴()
2
2
2
64
211
2
O M
k
x x
k
k
--
=
⎛⎫
++
⎪
⎝⎭
.
∵Q x=，
∴
2
2
32
1
2
M
k
x
k
+
=
⎫
+⎪
⎭
，
2
2
32
2
1
2
M
k k
y
k
+
=⋅-
⎫
+⎪
⎭
，
∴
22
261
62
M P
PM
M P
y y k k
k
x x k k k
--
===-
--，
∴
1
1
PM PQ
k k k
k
⎛⎫
⋅=⋅-=-
⎪
⎝⎭
，
即PQM
∆为直角三角形.
（ⅱ）根据图形的对称性可知，四边形PMQN面积是PQM
∆面积的2倍，
试卷第23页，总24页
由（ⅰ）知PQM ∆为直角三角形，且PQ PM ⊥，
∴1
||||2
PQM S PQ PM ∆=. 又||P Q PQ x =
-
==
|||P M PM x =-
2
2212k k =
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
， ∴
()()22
2
2412112POM k k S k k k ∆+=
⎛⎫++ ⎪⎝⎭
()()()
2
22
18212k
k
k k +=⨯++ 34
28252k k k k +=⨯++21
8121
k k k k +
=⨯⎛⎫++ ⎪⎝
⎭. 令1
k t k
+
=，∵0k >，∴2t ≥， ∴
1
812PQM S t t
∆=⋅
+，而1
2y t t
=+在[)2,+∞上单调递增， 所以min 9=2
y ，所以
8116
992
PQM S ∆≤⨯=
即当2t =时，PQM S ∆最大，此时PNQM S 四边形的面积也达到最大， 由对称性可知PQN PQM S S ∆∆=， 故当1k =时，PNQM S 四边形最大，
()
max
1632299
PQN P PN QM QM
S S
S ∆∆=+=⨯
=四边形. 【点睛】
本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中面积的范围问题，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属于难题.
试卷第24页，总24页。