高考数学解几试题解题思维的“繁简”层次及其启示

篇析 ： 图 ２ ・ ａ 如 ， ． ＝９ ｂ ・ ， ：２ ． ｃ：
÷（ ｍ）且 ｋ — ＋ — ｍ＝ ， — ， ｘ Ｙ ｎ ｋ ０ 口
￣ ａ 一ｂ ： ／２
：
．ＦＦ Ｉ ， Ｉ ， ：２
一 十 十１ ０ 一十 ｍ ． ｛ 一 凡 了 ：‘ Ｙ ｍ
直线距 离公 式 ， 得
√ ｋ‘＋ ｌ
思维 方法 的选 取 ， 接影 响到 解 题 的 速 度 与 直
繁简 性 ．
：ｌ 化简 ，
得 ２ｋ ４ ＋７ ｋ＝０ 故 ｋ：０ 或 ， 一 ／ 故 所 ， ， ｋ＝
．
思维 层次 １ 简 而繁—— 弦长 法 弦长 法—— 已知一条 直线 与一 条 曲线相 交 于 Ａ， 两点 ， ｌ ＢＩ 一般 办法 ： 已知 求 Ａ 的 设 求 直线 ｚ 的方 程为 ｙ＝０或 Ｙ＝ 一 （ 一４ ， ） 即 Ｙ＝０或 ７ ＋２ 一２ ４ ８＝０ 用 此 法再 求 第 ，
Байду номын сангаас
化 简得 （ ２一ｍ —ｎ ｋ＝ｍ —ｎ一３ 或 （ 一ｎ ） ， ， ＋８ ｋ＝ｍ ＋ 一５ 关 于 ｋ的方 程 有无 穷 多 ） ，
√（１ ｘ （ｌ Ｘ ＝√（ ｋ （ｌ ｘ 一２ ＋ —２ ） ） １ ２ — ２ ． ＋） ）
请看 ２０ ０９年 高考试 卷 （ 江苏 卷 ） ｌ 第 ８小
题：
在 平 面直 角 坐 标 系 ｘ ｖ中 ， Ｏ 已知
圆 Ｃ ： ＋３ ＋ １（ ）
＼
●
同理可得 Ｉ Ｊ √（ｌ ） （１ ｙ）： ＝ — ２ ＋）一２ Ａ ，
弦长 与直 线 Ｚ 圆 ｃ 截 得 的 弦 长相 等 ， ２被 ２ 试 求 所有 满足 条件 的点 Ｐ 的坐 标 ．
这 是一道 难 度 中等 偏 上 的 综 合 题 ， 题 解
Ｙ一４ ｋ＝０ 由垂径 定 理 ， ， 圆心 Ｃ 到 直 线 Ｚ ｌ
的 心离 ＝４（ ） １合 到 弦 距 ｄ ２ ， 点 √ 一 ＝结
．
。
Ｉ３一 ＋ — ｍｌ ｌ 一ｋ １ ｎ ｋ —
ｆ ４
＋ ｍｌ ＋
１ ｆ
启示 ２ 利 用韦达 定理
“
解
．
√＋ ’ 去－
， 或｛ ，
某些 涉及线 段长 度关 系 的解 几 问题可 以 利用 一元 二次 方 程 ， 相关 的点 的 同名 坐标 使 为方 程 的根 ， 由韦达 定 理求 出两 根 间 的关 系
・
２ － ３
２０ ０ ９年 第 ４期
河北理科 教 学研 究
Ｉ ＰＦ２『＝
— —
教 法探讨
（ ） 题 ： 点 Ｐ 坐标 为 （ ｎ ， ２小 设 ｍ， ） 直线 ｆ， ２ 】ｆ 的方程 分别 为 Ｙ—ｎ＝ｋ —ｍ） Ｙ—ｎ＝ （ ，
一
； ＦＰ ２ ｌ Ｆ 的大小 为
．
一
又 Ｉ Ｆ１ ＝４， ＰＦｌ ＋ Ｉ Ｐ ｌ Ｉ ＝２ａ＝６ ． ｌ ＰＦ２ Ｉ
因为 直线 ｆ 圆 ｃ 截 得 的弦长 与直线 被 １
Ｚ 被 圆 Ｃ 截得 的弦 长相 等 ， 圆半径 相 等 ． ２ ２ 两 由垂 径 定 理 ， 圆心 Ｃ 到 直线 ｚ 与 Ｃ 到 直 １ １ ２ 线 Ｚ 的距 离 相等 ． ２ 故有
ｏ √（ｙ（，√＋（， 去。），， （ ） ， ）ｚ －） １ ｙｚ ， 一－ 去 。） 一＋ ｚ 一．
● ＿ ～
／ Ｄ １
Ａ
这个 公式 一般 称为 直线 与 曲线相 交所 得
（ Ｙ一１ ＝４和 圆 ） Ｃ ： 一４ ＋（ ２（ ） Ｙ
一
线段长 公式 ， 显然 这个 公 式 只与 已知 直 线 的
难．
直线为 ＺＹ＝ｋ ： ｘ＋ｂ与已知曲线 Ｃ的交 为 ，
Ａ（ ｌｙ ）Ｂ ｘ ，２， ｘ ，１， （ ２））则有 ｙ ＝ｋ ｌ ，２ ｘ ， ｌ ｘ ＋６ ｙ ：ｋ ２
＋ｂ 且 Ｙ 一Ｙ ＝ｋ １ ２，Ａ ＝ ，口 １ ２ （ 一 ） Ｉ ＢＩ
√（ｌ ）＋ ）一 ２ ＝ — ２ （１ ｙ ， ）
２０ ０ ９年 第 ４期
河北理 科教 学研 究
教 法探 讨
高 考 数 学解 几试 题 解 题 思 维 的 “ 简 ’ 次 及 其 启 示 繁 ’ 层
江 苏省 灌 南县 教 育 中心 周 如俊 ２ ２０ ２５ ０
最 近几 年 高 考 数学 解 几 试 题 总 体 不 难 ，
人 手容 易 ， 所 用 方 法 不 当 时 ， 算 量 较 大 ， 但 计 学 生普遍 感 觉 费 时较 多 ， 题 深 入 有 一 定 困 解
设直 线 Ｚ 的方 程为 ： ｙ＝ｋ 一４ ， （ ） 即
—
得 的弦长 为 ２ ５， 直线 ｌ的方 程 ；２ 设 Ｐ ４ 求 （） 为平 面上 的点 ， 足 ： 在 过 点 Ｐ＿ 穷 多 满 存 的无
对互 相 垂 直 的直 线 Ｚ 和 Ｚ， 们 分 别 与 圆 ：它 Ｃ 和 圆 Ｃ 相交 ， 直 线 Ｚ 被 圆 Ｃ 截得 的 ｌ ２ 且 ｌ ｌ
ＩＦ Ｉ ， Ｐ ２ ＝２ 这样 ， 用 椭 圆的 定 义 简 化 了运 利 算， 避免 了设 点坐标 ， 通过 联立 方程求 解 的繁
锁 ． 由 余 弦 定 理 ，得 ＣＳ Ｆ Ｐ ， ＝ 又 Ｏ Ｆ
２ × ２ × ４
：
一
一
１ ２ ’ ’‘Ｌ １ ２ － Ｆ ＰＦ２＝ ２
斜率 ｋ及 两交 点 的坐标 有关 ．
图 １
一
５２ ） ＝４．
般考 生都 是 从 这 个 公 式 人 手 的 ． 算 计
（ ） 直线 Ｚ １若 过点 Ａ（ ， ）且 被 圆 Ｃ ４０ ， 截
太繁 ， 据统计 ， （） 第 ２ 问不 少考 生仿 此法 ， 无法 求解 下 去 ． 见 考生用 “ 长法 ” 可 弦 解题 时 ， 陷人 命题 人 “ 简而 繁 ” 陷阱 ． 的 思 维层次 ２ 算 而快 —— 弦心 距 法