基于产出增长型生产函数及DEA模型的生产系统技术进步评价

模型[3 ]对第 i 个单元 DMUi ,在第 k 期的有效性进行评价 。解线性规划 ( P1)
max Zik
n
S. t 6 Kjkλj ≤Kik j=1 n 6 Ljkλj ≤Lik j=1 n 6 Yjkλj ≥Zik Yik j=1 n 6λj = 1 j=1 λj ≥0 j = 1 ,2 …n
( Lt Lo
) h和人均装备率的
提高三者共同作用所产生的. 人均装备率的提高通常意味着生产过程机械化或自动化程
度的提高 ,故一般可将此效果归入技术进步 ,这样 ,我们可定义 At’= Aζt ,并为方便起见 , 以下 At’仍用 At来表示 ,于是 (5) 式可写为
Yt Yo
=
At Ao
(Lt) Lo
本文关于技术进步评价的方法将产出增长型生产函数模型与 DEA 模型相结合 ,它不 拘泥于任何一种特定的生产函数形式 ,也无需进行参数估计 ,对技术进步前后的 投入量 及生产规模也不作任何假设 ,只需依据多个被评价单元 (系统) 在基期及 t 期的投入产出 有关数据 ,即可进行各单元的技术进步率测算 ,并能估计出每个单元相对于全有效单元的 技术进步时差 。
△t
-
△t 1
(20)
这就是被评价单元 DMUi 从第零期到 t 期的平均技术进步时差 ,当 △t > 0 时表明该单元
的技术进步速度是超前的 (快于有效平均技术进步率) ,当 △t < 0 时表明该单元的技术进
步速度是滞后的 (慢于有效平均技术进步率) 。
5 结束语
虽然本文的目的仅在于讨论有关生产系统的技术进步评价问题 ,但本文所介绍的方 法亦可用于生产系统规模经济性的评价 。对此 ,笔者将另文讨论 。
期 ( k = 0) 有效的最大产出 Zφio Yio和在 t 期 ( k = t) 有效的最大产出 Zφit Yio ,根据 (7) 式 ,按有
效的平均技术进步率增长有
Zφio
Yio
(1
+ a)
(Lit ) L io
h
=
Zφit Yit
(18)
同时 DMUi 在零期及 t 期均非有效 ,这说明若按有效的平均技术进步率增长 ,在同样的规
第1期
陈国宏 :基于产出增长型生产函数及 DEA 模型的生产系统技术进步评价 ·15 ·
可通过对被评价单元的有关投入产出历史数据的统计分析作出估计 。在一般情况下 ,亦
要取 h = 1 ,即设规模收益不变 ,而把规模收益的效应归入广义的技术进步[5 ] 。
3. 2 有效的平均技术进步率估计
设在 n 个被评价单元中有 m 个单元在零期与 t 期均有效 (本文称为全有效单元) ,令
K jo ,Ljo , Yio) 和 ( Kjt ,Ljt , Yjt) (j = 1 ,2 …n) ,现来测算被评价单元 DMUi 在技术进步前后的 平均技术进步率 ai 。
实际上由 (7) 式我们即可求得
ai = t
Yt Yio
( LL iiot
)
h
-
1
(8)
这就是被评价单元 DMUi 从第零期到第 t 期的平均技术进步率 。关于 (8) 式中 h 的取值
这些单元的集合为 D 。本文定义有效的平均技术进步率为
6 ai
a
=
i
∈D m
对所有的被评价单元均可通过运用线性规划 ( P1) 求解在 k = 0 和 k = t 时其是否有效来鉴
别其是否属于 D. 通过将任意一个被评价单元 DMUj 的平均技术进步率与有效的平均技
术进步率 a 进步比较 ,可评价 DMUj 从零期到 t 期是否具有有效的技术进步 。
模扩大条件下该单元存在着技术进步时差 △t ,使得
Yit
=
Yio (1
+
a) t +
△t ( Lit ) h L io
(19)
将 (19) 式代入 (18) 式整理得
Zφio = Zφit (1 + a) △t
则 △t
=
1
1 n Zφio n (1 + a)
-
1 n Zφit 1n (1 + a)
=
(1 + a) △t1 = Zφit
(12)
则
△t 1
=
In Zφit In (1 + a)
(13)
这就是被评价单元 DMUi 从零期到 t 期的平均技术进步滞后期 。
4. 2 被评价单元 DMUi 在零期非有效 ,在 t 期有效情况下的技术进步时差估计
由于 DMUi 在零期非有效 ,而在 t 期有效 ,那么通过解线性性规划 ( P1) 可求得使 DMUi 在零期 (k = 0) 有效的最大产出为 Zφio , Yio ,同时根据 (7) 式 ,按照有效的平均技术进
第 19 卷 第 1 期 1998 年 1 月
科 研 管 理 Science Research Management
Vol . Jan.
19 , No. 1 , 1998
基于产出增长型生产函数及 D EA 模型的生产系统技术进步评价
陈国宏
( 福州大学 ,福州 350002) 摘要 :本文将一般产出增长型生产函数模型与 D EA 模型相结合 , 讨论了被评价 单元的平均技术进步率的测算 ,有效的平均技术进步率估计 ,以及在各种情况下 被评价单元相对于全有效单元的技术进步时差 。
关键词 :生产函数 ;DEA 模型 ;技术进步评价
1 引 言
长期以来 ,对生产系统的技术进步评价人们一般采用各类生产函数( 或以生产函数为 基础的 Solow 增长速度方程) 为基本模型 ,这通常要遇到生产函数具体形式的选择和有关 参数的估计 ,而这些正是用生产函数进行技术进步评价的难点 。
DEA (数据包络分析) 方法是由美国运筹学家 Charnes 等人于 1978 年首先提出的[1 ] , 它主要用于评价相同类型的生产部门或公共部门 (称评价单元) 的相对有效性 。本文参考 文献[2 ]曾利用 DEA 方法讨论了技术进步测度的有关问题 ,该文的前提假设是被评价单元 在技术进步前后要素投入量不变. 也许这对数学推导而言是合理的 ,但在实践中却很难解 释得通 。因为 ,一般而言 ,技术进步总是伴随着要素投入的增加和生产规模的扩大 。
步率增长 ,必有
Zφio
Yio
(1
+ a)
(Lit ) L io
h
=
Yit
(14)
另外 ,DMUi 在零期非有效而在 t 期有效 ,这说明该单元在同样的规模扩大条件下存在着
技术进步超前期
△t 2
,使得
Yit
=
Yio (1
+ a) t +
△12 ( Lit ) h L io
(15)
将 (15) 式代入 (14) 式 ,经整理得
2 基本模型
2. 1 生产函数模型 生产系统的技术进步评价一般采用产出增长型生产函数
V = AF ( K ,L)
(1)
收稿日期 :1997 - 10 - 13
第1期
陈国宏 :基于产出增长型生产函数及 DEA 模型的生产系统技术进步评价 ·13 ·
基中 Y 表示产出量 ;A 表示技术水平 ;L 表示劳动投入量 ; K 表示资金投入量 。
一般情况下 (1) 式描述的生产函数具有正的 h 阶齐性质[4 ] ,即 F (λKλ, L) =λh F ( K ,L) λ> 0
当 h < 1 时为规模收益递减 ,当 h = 1 时为规模收益不变 ;当 h > 1 为时规模收益递增 。于 是 (1) 式可改写为
Y
=
AL
h
F
(
K L
·16 ·
科 研 管 理
1998 年
Zφio = (1 + a) △t2
则
△t 2
=
1 n Zφio 1n(1 + a)
(17)
这就是被评价单元 DMUi 从零期 t 期的平均技术进步超前期 。
4. 3 被评价单元 DMUi 在零期及 t 期均非有效情况下的技术进步时差估计
由于 DMUi 在零期与 t 期均非有效 ,运用线性规划 ( P1) ,可分别求得使 DMUi 在零
由 (3) 式可得
Yt Yo
=
At Ao
(Lt) Lo
hf f
(kt) ( ko)
(4)
其中At 表示 Yo
t
期比零期技术水平提高倍数
;
(L t ) Lo
h表示
t
期比零期生产规模的扩大对产出
增长的影响 。
一般地说 ,随技术 、经济水平的提高 ,总有 kt > ko成立 ,且 f 是关于 k 的单调增函数 , 故有
4 技术进步时差的估计
4. 1 被评价单元 DMUi 在零期有效 ,在 t 期非有效情况下的进步时差估计
由于 DMUi 在零期有效而在 t 期非有效 ,通过解线性规划 ( P1) 可求得使 DMUi 在 t 期 (k = t) 为有效的最大产出为 Zψit Yit 。又由于 a 代表了有效的平均技术进步率 ,因此根据 (7) 式 , Yio与 Yit的关系可由下式描述
当最优解 Zψik = 1 时表明在投入要素组合约束下 ,被评价单元产出无法再增大 ,故称 i 单元 在 k 期有效 ,当 Zψik > 1 时 ,表明在投入要素组合约束下被评价单元产出可能增大至原有 产出的 Zψik倍 ,故称 i 单元在 k 期非有效 。
3 平均技术进步率测算
3. 1 单元的平均技术进步率测算 设在技术进步前 (第零期) 后 (第 t 期) ,被评价单元 DUMj 的投入产出组合分别为
即
At Ao
=
(1
+
a)
t
则 (6) 式变为
Yt Yo
=
(1
+
a)
t
(Lt) Lo
h
2. 2 DEA 评价模型
设有 n 个待评价生产单元 ,第 j 个单元第 k 期的要素投入为劳动 Ljk与资金 Kjk (除劳 动以外其它具体的生产要素投入均可折算为资金投入) ,产出用 Yjk表示 ,用 DEA 的 BCC
,1)
= AL hf ( LK)
(2)
其中 K的经济含意为人均装备率 。令 L
K=
K L
,则 (2) 式可写成
Y = AL hf ( k)
(3)
现在来考察一个生产系统技术进步前后 (设从第零期到 t 期) 产出的变化及其产生的
原因 。设技术进步前后系统的 h 值为常数 (这种假设在不太长的时间间隔里是允许的) 。
f ( kt) > f ( ko) 设 :f ( kt) =ζf ( ko) 其中ζ> 1 表示 t 期比零期由于人均装备率的提高引起产出增长的倍数 ,于是 (4) 式可写
成
Yt Yo
=
At Ao
(Lt) Lo
hζ
(5)
由 (5) 式可见 t
期比零期产出的增长是由技术进步 ( At ) Ao
,规模效应
Yio
(1
+
a)
=
Zφit Yit
(10)
DMUi 在零期有效 ,有 t 期非有效 ,同时还说明在同样的规模扩大条件下 ,i 单元存在着一
个技术进步滞后期 △t1 使得
Yit =
Yio (1 + a) t -
△t1 (L ut ) h L io
(11)
将 (11) 式代入 (10) 式 ,经整理后得
参 考 文 献
1 Charnes A ,Cooper W W ,Rhodes E , Measuring efficiency of decision making units. Eur. J . Opl Res ,1978 ,2 ( 6) : 429～
444 2 Q. L . Wei ,Bruce Sun ,Z. J . Xiao ,Measuring technical Progress Wit h data envelopment analysis , Eur. J . Opl Res. 1995 ,80 : 691～702 . 3 Banker R D ,Charnes A ,Cooper W W ,Some models for estimating technical and scale efficiency in DEA , Eur. J . Opl Res. 1984 ,30 (9) 4 张寿 ,于清文. 计量经济学. 上海 :上海交通大学出版社 ,1984 5 仲长荣 ,陈国宏 ,技术经济学. 福州 :福建教育出版社 ,1993 6 魏权龄. 评价相对有效性的 DEA 方法. 北京 :中国人民大学出版社 ,1998
h
(6)
如果定义平均的技术进步率为
a
=
At - At At - 1
-
1
=
At At -
1
-
1
则 At = At - 1 (1 + a)
同理有 :At - 1 = At - 2 (1 + a)
·14 ·
科 研 管 理
1998 年
At - 2 = At - 3 (1 + a) ω A1 = Ao (1 + a) 将以上逐步迭代 ,最终可得 At = Ao (1 + a) t