九年级数学圆心角 圆周角一周强化浙教版

圆心角圆周角一周强化
一、一周知识概述
1、圆心角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
1°圆心角所对的弧叫做1°的弧．
n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．
性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．
如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；
③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：
若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；
若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．
特别强调：
(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．
(2)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．
(3)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．
3、圆周角
(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．
(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．
二、重难点知识归纳
重点：理解和掌握圆心角、圆周角的有关定义以及圆心角、圆周角、弦、弧，弦心距之间的关系．
难点：有关性质的综合应用．
三、典型例题讲解
例1、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）
A．CM=DM B．
C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC
分析：
因为AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，所以根据垂径定理可知CM=DM，. 从而根据“在同圆（或等圆）中，相等的弧所对的弦相等”，可知AC=AD，BC=BD，所以△BCD为等腰三角形，即∠BCD=∠BDC. 而AD与BD的数量关系是不确定的，故正确答案为C.
答案：C
例2、已知：如图，A点是半圆上一个三等份点，B点是的中点，P是直径MN上一
动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值是多少？
分析：
利用圆的对称性，将AP+BP转化为一条线段的长．结合弧与圆心角的关系得到直角三角形是解题的关键．
解：
作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上．
连结BA′交MN于点P，连结PA，则PA＋PB最小，此时PA＋PB=PA′＋PB=A′B．连结OA′、OB．，∴∠AON=∠A′ON=60°．
又．∴∠A′OB=90°．
．
即PA＋PB的最小值是．
例3、如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：．
证明：
作直径CF，连结AF、BF．
∵OE⊥BC，∴E为BC的中点．
又∵CF为直径，O为圆心，
．(三角形中位线定理)
∵CF为直径，∴∠CAF=90°，即FA⊥AC．
又AC⊥BD，∴FA∥BD，
∴∠FAB=∠ABD．，BF=AD．．
点评：
由线段的倍分关系，容易想到三角形的中位线、垂径定理等知识．本例作直径，是使△BCF的中位线OE显现出来，再证BF=AD即可．
例4、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟到B点（如图所示），此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？（不考虑球技等其他因素）
分析：
在足球比赛中，情况很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑.如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN 的X角的大小，当X角较小时，则球容易被对方守门员拦截.
解：
连接AM，AN，BM，BN，AM与⊙O交于点C，则由三角形外角的性质，得∠M>∠A，再由同弧所对的圆周角相等得∠M=∠B，所以∠B>∠A.因此在B点射门较好，即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门.。