运筹学课件--运筹学完整课件 - 副本

单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
Page 1
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 x 3 40 x1 3 x 2 x 4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检 验数，即： k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。 变量作为换出变量。
bi L min a ik 0 a ik 运筹学
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
找出 ( j )max即 k
aik 0 (对任一 j 0)
否
无穷多 最优解
停止
循 环
是
无界解
bi 计算 i ( alk 0) alk
2016/10/29
用非基变量xk 替换基变量xl
运筹学
列出下一个 新单纯形表
线性规划模型的应用
一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条 件时，才能建立线性规划模型。 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约 束可用线性等式或不等式描述
2016/10/29
运筹学
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
人工变量法：
Page 9
前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易 确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位 矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的 等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加 的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M 法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称 为人工变量法。
Page 16
2016/10/29
运筹学
线性规划在管理中的应用
1. 人力资源分配问题
Page 17
例1.11 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 所需人员 60 70 60 50
Page 5
bi /ai2，ai2>0
0 x4 θi
0
0
x3
40
30
2
1
1
3
1
0
0
1
j j j
x4 x3 x2 x1 x2
40 10
换 出 行
乘 以 1/3 后 得 到
0 4
30 10
18 4
3 4
5/3 1/3 5/3 1 0 0
3
0 1 0 0 1 0
运筹学
4
1 0 0 3/5 －1/5 －1
Page 14
新加变量 系数 xs xa
minZ
令 z′=- Z minZ =－ max z′
0
-M
单 纯 形 法
2016/10/29
运筹学
A
求 : j c j z j
所有 j 0
否
循环
是
Page 15
基变 有某个 否 否 唯一 量中是否 非基变量的 最优解 含有xa j 0
是 无可行解 是
2016/10/29 运筹学
系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
max Z 3 x1 2 x 2 x 3－Mx 6 Mx 7 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 x 6 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 x 7 1 x j 0, j 1,2, ,7
2016/10/29
运筹学
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 4 x1 x 2 2 x 3 10 2 x 1 2 x 2 x 3 1 x1、x 2、x 3 0
不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
2016/10/29
单纯形法的计算步骤
cj
cB 0 0 基变量 x4 b 15 20
Page 7
1
x1 2 1/3
2
x2 -3 1
1
x3 2 5
0
x4 1 0
0
x5 0 1
θi
j
x5
－ 20 25 60
2
0
j
1
2
x2
x1
x4
75 3 20 1/3 1/3
Page 11
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
2016/10/29
运筹学
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
cj CB -M 0 -M 0 -M -1 2 -M -1 2 3 -1 XB x6 x5 x7 x6 x5 x3 x2 x5 x3 x2 x1 2016/10/29 x3 b 4 10 1 3 8 1 3/5 31/5 11/5 13 31/3 19/3 3 x1 -4 1 2 3-2M -6 -3 2 5-6M －6/5 3/5 －2/5 5↑ 0 1 0 0 2 x2 3 -1 -2 2+M 5 3 -2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 x3 1 2 1 -1+2M↑ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 运筹学 0 0 x4 -1 0 0 -M -1 0 0 -M －1/5 3/5 －2/5 0 1 1 0 -5 0 1 0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 -M x6 1 0 0 -M x7 0 0 1
Page 10
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
Page 19
2016/10/29
运筹学
线性规划在管理中的应用
设备
Ⅰ A1 A2 5 7 产品 Ⅱ 10 9 Ⅲ 设备有效 台时 6000 10 000
Page 20
设备加工费
（单位小时）
300 321
B1
B2 B3 原料费（每件） 售价（每件）
6
4 7 0.25 1.25
8
12
4000
7000
250
2016/10/29 运筹学
单纯形法的计算步骤
Page 2
2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0
θi
0
j
x4
30
1
3
3
4
0
0
1
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
5
6
22:00——2:00
2:00——6:00
20
30
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作 8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满 足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?
2016/10/29 运筹学
线性规划在管理中的应用
min x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x1 x 6 60 x1 x 2 70 x 2 x 3 60 s .t x 3 x 4 50 x 4 x 5 20 x 5 x 6 30 x , x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5 6
25 35/3
1
0 1 0 0 1
0
2
17 5
－9
1
1 0 0
0
0
3 1
－2
j
x2
1 0
0
17/3 1/3 1 28/9 -1/9 2/3
-98/9 -1/9 -7/3
运筹学
2016/10/29
单纯形法的计算步骤
Page 8
学习要点：
1. 线性规划解的概念以及3个基本定理
2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤
2016/10/29
运筹学
单纯形法的计算步骤
Page 3
3）进行最优性检验 如果表中所有检验数 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变
2016/10/29
单纯形法的计算步骤
③
Page 4
用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。
④
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。
2016/10/29
运筹学
单纯形法的计算步骤
换入列
将3化为1
cj cB 基变量 b 3 x1 4 x2 0 x3
0
－1/3 1/3 －4/3 －1/5 －2/5 －1
0
18 30
2016/10/29
单纯形法的计算步骤
例1.9 用单纯形法求解
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 20 3 x1、x 2、x 3 0
Page 18
解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。
此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。
2016/10/29 运筹学
线性规划在管理中的应用
2. 生产计划问题 某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A、B 两道工序加工。设A工序可分别在设备A1和A2上完 成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。已 知产品Ⅰ可在A、B任何一种设备上加工；产品Ⅱ可 在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能 在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。 加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表， 试安排最优生产计划，使该厂获利最大。
Page 6
解：将数学模型化为标准形式：
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 x 5 20 3 x j 0, j 1,2, ,5
运筹学
3）无界解判别：某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大 M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
2016/10/29 运筹学
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
Page 12
θi 4 5 1 3/5 8/3 —— —— 31/3 ——
j
→ →
j
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
→
j
j
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
解的判别：
Page 13
1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线 规划具有唯一最优解。
2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。
783 200
11 0.35 2.00 0.5 2.8
4000
2016/10/29
运筹学
线性规划在管理中的应用
Page 21
解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量。约束条 件有：
5 x111 10x 211 6000 (设 备A1) 7 x112 9 x 212 12x 312 10000 （设备 A 2） 6 x121 8 x 221 4000（ 设 备 B1） 4 x122 11x 322 7000 (设 备B 2) 7 x123 4000 (设 备B 3) x111 x112 x121 x122 x123 （ 产 品 I在 工 序 A，B上 加 工 的 数 量 相 等 ） x 211 x 212 x 221 （ 产 品 II在 工 序 A，B上 加 工 的 数 量 相 等 ） x 312 x 322 （ 产 品 III在 工 序 A，B上 加 工 的 数 量 相 等 ） x ijk 0（i 1,2,3; j 1,2; k 1,2,3）
单纯性法小结:
建 立 模 型 两 个 求 解 图 解 法、 三个 以上 单纯 形法 不 处 理 xj′ ≥0 xj″ ≥0 xj≥0 xj 无 约束 令xj = xj′ xj″ 令 xj’ = - xj 不 处 理 约束条 件两端 同乘以 -1 加 松 弛 变 量 xs 加 入 人 工 变 量 xa 减 去 xs 加 入 xa 不 处 理 xj ≤ 0 bi ≥0 bi < 0 ≤ 个 数 取 值 右 端 项 等式或 不等式 = ≥ 极大或极小 maxZ