第七讲 集合的划分

第七讲 集合的划分（2012-7-24）
例1 设P 是一个奇质数，n 为正整数，集合{}n T ,,2,1 =.如果存在T 的p 个非空子集p T T T ,,,21 ，使得p T T T ,,,21 为T 的一个_p 分划，并且)1(p i T i ≤≤中各元素之和均相同，则称正整数n 为“_p 可分的” ．
（1）设n 为“_p 可分的”，证明：p 是n 或n+1的约数；
（2）设p 2是n 的约数，证明：n 为“_p 可分的”．
例2 设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，记A 中各元素之和为)(A f ，证明：集合{}
φ≠⊆A S A A f ,)(可以分为n 个不交的非空子集的并集，并且每个子集中，最大数与最小数的比小于2．
例3 求所有的正整数n，使得存在一个集合S，满足如下条件：
2 n的n个正整数组成；
（1）S由都小于1
（2）对S的任意两个不同的非空子集A、B，集合A中所有元素之和不等于B中所有元素之和．
例4 如图，直线l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－
kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部
分记为W1，右半部分记为W2．
（I）分别用不等式组表示W1和W2；
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离
之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C
相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4
两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
例4 如图，直线 l 1：y ＝kx （k >0）与直线l 2：y ＝－
kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部
分记为W 1，右半部分记为W 2．
（I ）分别用不等式组表示W 1和W 2；
（II ）若区域W 中的动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离
之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；
（III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C
相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4
两点．求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．
解：（I ）W 1={(x , y )| k x <y <－k x , x <0}，W 2={(x , y )| －k x <y <k x , x >0}，
（II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得
2
d =, 即22222||1k x y d k -=+， 由P (x , y )∈W ，知k 2x 2－y 2>0，
所以 222
221
k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=, 所以动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=；
（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（3
2a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．
由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩
，得2222222()20k m x mnx n k d d -----= 由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且
△=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0
设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则12222mn x x k m
+=-, 1212()2y y m x x n +=++, 设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)，
由及y kx y kx y mx n y mx n ⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n n x x k m k m -==-+ 从而3412222mn x x x x k m
+==+-， 所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2,
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．。