高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)抛物线

第六节抛物线
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1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．
2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
3．理解数形结合思想．
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l 的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
．抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点O(0,0)
对称轴y＝0 x＝0
焦点F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
p
2
，0F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
p
2
，0F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
0，
p
2
F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
0，－
p
2
离心率e＝1
准线
方程
x＝－
p
2
x＝
p
2
y＝－
p
2
y＝
p
2
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
开口
方向
向右向左向上向下
焦半径
(其中
P(x0，y0))
|PF|＝
x0＋
p
2
|PF|＝
－x0＋
p
2
|PF|＝
y0＋
p
2
|PF|＝
－y0＋
p
2
1．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？
提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．
2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？
提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p
2；若抛物线方程为x 2
＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p
2
.
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )
A ．y 2＝－8x
B ．y 2
＝－4x
C ．y 2＝8x
D ．y 2
＝4x
解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2
＝8x .
2．抛物线y 2
＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B 因为抛物线y 2
＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2.
3．抛物线y ＝2x 2
的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18
，而抛物线x
2
＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 2
4
＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为
________________．
解析：由c 2＝9－4＝5，得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2
＝－45x .
答案：y 2
＝－45x
5．设抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．
解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，∴2p ×p 4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324
. 答案：32
4
考点一
抛物线的定义及应用
[例1] 设P 是抛物线y 2
＝4x 上的一个动点．
(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． [自主解答]
(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.
由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．
于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF 交曲线于点P ，则所求的最小值为|AF |，即为 5.
(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |. 则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【互动探究】
若将本例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，求|PB |＋|PF |的最小值．
解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离．
∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22
＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5. 【方法规律】
抛物线定义中的“转化”法
利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
1．(2014·吉安模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，且与直线x ＝－p
2相切，其中p >0，则动
圆圆心的轨迹E 的方程为____________．
解析：依题意得，圆心到定点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0的距离与到直线x ＝－p
2的距离相等，再依抛物线的
定义知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2
＝2px .
答案：y 2
＝2px
2．过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________.
解析：因为抛物线y 2
＝4x 的焦点F (1,0)．显然，当AB 垂直于x 轴时，|AF |≠3，
所以AB 的斜率k 存在，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线y 2
＝4x 联立，
消去y 得k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系得
x 1＋x 2＝2k 2
＋4k 2＝2＋4k 2.又|AF |＝3＝x 1＋p
2
＝x 1＋1，所以x 1＝2，
代入k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0，得k 2
＝8，所以x 1＋x 2＝52，x 2＝12
，
故|BF |＝x 2＋1＝12＋1＝3
2
.
答案：32
考点二 抛物线的标准方程及性质
[例2] (1)(2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线的距离
是( )
A.12
B.
3
2 C ．1 D.
3 (2)(2013·江西高考)抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3
＝1相交于
A ，
B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.
[自主解答] (1)由抛物线y 2
＝4x ，有2p ＝4，p ＝2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x 2
－y 2
3＝
1的渐近线方程为y ＝±3x .不妨取其中一条3x －y ＝0.由点到直线的距离公式有d ＝|3×1－0|3＋1
＝3
2. (2)在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
3
p ，－p 2.又因为点B 在
双曲线上，故p 233－p 2
4
3
＝1，解得p ＝6.
答案：(1)B (2)6
【方法规律】
1．求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．
(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧
(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4
D ．2 5
解析：选B 依题意，设抛物线方程是y 2
＝2px (p >0)，则有2＋p
2＝3，得p ＝2，故抛物线
方程是y 2
＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22
＋8＝2 3.
2．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的焦点
到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )
A ．x 2
＝833y B ．x 2＝1633y
C ．x 2＝8y
D ．x 2
＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于c
a ＝
a 2＋
b 2
a 2
＝ 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2＝2，所
以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2，所以p
22＝2，则
p ＝8，所以抛物线方程为x 2
＝16y .
高频考点 考点三 直线与抛物线的位置关系
1．直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题．
2．直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度： (1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程； (2)证明直线过定点；
(3)求线段长度或线段之积(和)的最值； (4)求定值．
[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛
物线E ：x 2
＝2py (p >0)上．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．
[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.
设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.
因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2
＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2
＝4y .
(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝1
2
x .
设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14
x 2
0，且l 的方程为
y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －1
4
x 20.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 2
0－42x 0，y ＝－1.
所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
0－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP u u u v ·MQ u u u u v ＝0对满足y 0＝14
x 2
0(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．
由于MP u u u v ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ u u u u v ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2
0－42x 0，－1－y 1，由MP u u u v ·MQ u u u u v ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1
＋y 1＋y 21＝0，即(y 2
1＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14
x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
1－y 1＝0，y 2
1＋y 1－2＝0，
解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．
直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略
(1)求直线方程．先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻
找关于该量的方程，解方程即可．
(2)证明直线过定点．可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点．
(3)求线段长度和线段之积(和)的最值．可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离．
(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到．
(2014·汉中模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2
＝2py (p >0)相交于B ，C
两点．当直线l 的斜率是1
2
时，AC u u u v ＝4AB u u u v .
(1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是1
2
时，
l 的方程为y ＝1
2(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＝2py ，x ＝2y －4，
消去x ，得2y 2
－(8＋p )y ＋8
＝0，y 1＋y 2＝8＋p
2
，y 1y 2＝4，由已知AC u u u v ＝4AB u u u v ，∴y 2＝4y 1，
由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，∴抛物线G 的方程为x 2
＝4y .
(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝4y ，y ＝k x ＋4，得x 2－4kx －16k ＝0， 由Δ>0得k <－4或k >0，∴x 0＝x B ＋x C 2
＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2
＋4k ，BC 中垂线方程为y
－2k 2－4k ＝－1k
(x －2k )，∴b ＝2(k ＋1)2
，∴b >2.故b 的取值范围为(2，＋∞)．
———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 4个结论——直线与抛物线相交的四个结论
已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下结论：
(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2p
sin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；
(2)x 1x 2＝p 2
4；
(3)y 1y 2＝－p 2
；
(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点
(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．
(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题． (3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点．
前沿热点(十五)
与抛物线有关的交汇问题
1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．
2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．
[典例] (2013·湖南高考)过抛物线E ：x 2
＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .
(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM u u u u r ·FN u u u r <2p 2
；
(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为75
5
，求抛物线E 的方程．
[解题指导] (1)直线l 1的方程与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由向量的坐
标形式得出FM u u u u r ·FN u u u
r 的表达式，再证明不等式；
(2)先求出点M 到直线l 的距离的表达式，再求最值，结合已知条件即可求p ，从而得出抛物线方程．
[解] (1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p
2.
由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝k 1x ＋p 2，
x 2＝2py ，
得x 2－2pk 1x －p 2
＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 2
1＋p .
所以点M 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM u u u u r ＝(pk 1，pk 2
1)．
同理可得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN u u u r ＝(pk 2，pk 2
2)．
于是FM u u u u r ·FN u u u r ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 2
2)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，
所以0<k 1k 2<⎝ ⎛⎭
⎪
⎫k 1＋k 222＝1.故FM u u u u r ·FN u u u r <p 2(1＋12)＝2p 2
. (2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p
2，
所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 2
1＋p . 故圆M 的方程为(x －pk 1)2
＋⎝
⎛
⎭⎪⎫y －pk 2
1－p 22
＝(pk 21＋p )2
，
化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 2
1＋1)y －34
p 2＝0.
同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 2
2＋1)y －34
p 2＝0.
于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 2
1)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离
d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 2
1＋k 1＋1|5＝p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫k 1＋142＋785
.
故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85.由题设，7p 85＝75
5，解得p ＝8.
故所求的抛物线E 的方程为x 2
＝16y .
[名师点评] 解答本题的关键有以下两点： (1)充分利用k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2时，k 1·k 2<⎝
⎛⎭
⎪⎫k 1＋k 222；
(2)注意2k 21
＋k 1＋1>0，即d ＝|2k 2
1＋k 1＋1|5＝2k 2
1＋k 1＋1
5
.
(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2
＝0的距离为32
2
，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B
为切点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．
解：(1)依题意d ＝|0－c －2|2＝c ＋22
＝32
2，解得c ＝1，
∴抛物线C 的方程为x 2
＝4y .
(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由x 2
＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x .
∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为y －y 1＝x 1
2
(x －x 1)，
即y ＝x 12x ＋y 1－12x 21.∵y 1＝14x 21，∴y ＝x 1
2x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在直线PA 上，
∴y 0＝x 12x 0－y 1.①同理，y 0＝x 2
2
x 0－y 2.② 综合①②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝x
2
x 0－y ，
∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝x
2
x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，
所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0x －2y －2y 0＝0，
x 2
＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 2
0＝0，
∴y 1＋y 2＝x 2
0－2y 0，y 1y 2＝y 2
0，∵x 0－y 0－2＝0，
∴|AF |·|BF |＝y 20－2y 0＋x 20＋1＝y 20－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 2
0＋2y 0＋5＝2⎝
⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，
∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值为9
2
.
[全盘巩固]
1．抛物线x 2
＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32
C ．－12
D ．－32
解析：选D 把抛物线方程化为x 2
＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y
＝p 2＝12－a 2，则12－a
2＝1，解得a ＝－3
2
. 2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2
＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋1
2＝0的距离等于( )
A.74 B ．2 C.9
4
D ．4 解析：选C 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y
2
＝x 的焦点⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，所以弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝9
4
.
3．(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2
＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3
解析：选C FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2
＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12
x ＋1，与y ＝
－1联立，得N (4，－1)，由三角形相似知|FM ||MN |＝x M 4－x M ＝1
5
.
4．设F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA uu u v ＋FB uu u v ＋FC uuu
v ＝0，
则|FA uu u v |＋|FB uu u v
|＋|FC uuu v |＝( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)，由FA uu u v ＋FB uu u v ＋FC uuu
v ＝0知，
(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA uu u v |＋|FB uu u v
|＋|FC uuu v |＝x 1＋x 2＋x 3
＋3
2
p ＝6. 5．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．抛物线
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．直线
解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．
6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4
解析：选C 设P (x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF |＝x 0＋2，所以x 0＝32，
代入抛物线方程求得y 2
＝24，解得|y |＝26，所以△POF 的面积等于12·|OF |·|y |＝
12×2×26＝2 3.
7．(2013·北京高考)若抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．
解析：∵抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为(1,0)，∴p
2
＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝
－1.
答案：2 x ＝－1
8．(2014·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2
＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________．
解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2
＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．
答案：(1,0)
9．抛物线y ＝－x 2
上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：法一：
如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2
相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切
线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝－x 2
，
4x ＋3y ＋b ＝0，
消去y 整理得3x 2
－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b
＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43
＝0，抛物线y ＝－x 2
上的点到直线4x ＋3y －8
＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝4
3
.
法二：对y ＝－x 2
，有y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－
x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|m ＝－2m ＝－43，所以m ＝2
3
，
即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9
＝43，由图知抛物线y ＝－
x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是d ＝43
.
答案：4
3
10．已知以向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于
点N ，若OA uu u v ·OB uuu v ＋p 2
＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．
解：(1)由题意可得直线l 的方程为y ＝12x ＋5
4
，①
过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②
解①②得x ＝－1
2
.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，
∴－p 2＝－12
×2，p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2
＝4x .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由题意知y 0＝y 1.
由OA uu u v ·OB uuu v ＋p 2
＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0，又y 21＝4x 1，y 2
2＝4x 2，解得y 1y 2＝－8，③
直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y 0＝4
y 2
x 0.④由③④及y 0＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0)．
11．已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE u u u v ⊥AF u u u v ，动点P 满足EP uu u v
∥OA uu u v ，FO uuu v ∥OP uuu v
(其中O 为坐标原点)．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM u u u u v ·AN u u u
v <0，
求直线l 的斜率的取值范围．
解：(1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )，∵AE u u u v ·AF u u u v
＝(－2，y E )·(－2，y F )＝
y E ·y F ＋4＝0，∴y E ·y F ＝－4，①又EP uu u v
＝(x ＋1，y －y E )，FO uuu v ＝(1，－y F )，
且EP uu u v ∥OA uu u v ，FO uuu v ∥OP uuu v ，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－y
x
，
代入①得y 2
＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2
＝4x (x ≠0)． (2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在，且k ≠0)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2
－4y ＋8＝0，
Δ＝42
－32k >0，即k <12
.令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8
k
，
AM u u u u v ·AN u u u
v ＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2
＝y 21·y 2216－y 21＋y 2
24＋1＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 1y 242－
y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12
k
＋1<0，∴－12<k <0，故实数k 的取值范围为(－12,0)．
12．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P
在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .
(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；
(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．
解：
(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.
故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2
＝2x (x >0)．
(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，
圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，
因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 20
2
，所以|TS |＝2y 20－y 2
0＋1＝2，是定值．
[冲击名校]
已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，－2)．
∵OP ⊥OQ ，∴当x ＝0时，P ，O ，Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0.
当x ≠0时，得k OP ·k OQ ＝－1，即y x ·－2x
＝－1，化简得x 2
＝2y ，
∴曲线C 的方程为x 2
＝2y (x ≠0)．
(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在． 设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝kx ＋b ，x 2
＝2y ，
得x 2
－2kx －2b ＝0.
∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 2
2
.
点(0,2)到直线l 2的距离d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2
＋4k 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2
＋1＋3k 2＋1
≥1
2
×2k 2＋1·
3k 2＋1
＝ 3.
当且仅当k 2
＋1＝
3
k 2＋1
，即k ＝±2时，等号成立．此时b ＝－1. ∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.
[高频滚动]
已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知圆O ：x 2＋y 2
＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．
解：(1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3,0)，即点F (3,0)是椭圆C 的一个焦点．
设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8，所以a ＋3＝8，即a ＝5.
所以b 2＝52－32
＝16.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216
＝1.
(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m 225＋n 2
16
＝1，
即n 2＝16－16m 225
(0≤m 2
≤25)．
所以原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1
m 2＋n 2
＝
1925
m 2
＋16<1.
所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交．L 2＝4(r 2－d 2)＝4⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
1－1925m 2＋16. 因为0≤m 2
≤25，所以
152≤L ≤46
5
. 即直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
152
，465.。