高一下学期学生暑假作业(二十七)

暑假作业(二十七)
一. 选择题:
1. 在数列{}n a 中0n a ≠，且满足113(2)32n n n a a n a --=
≥+，则数列1
{}n
a 是 ( )
A ．递增等差数列
B ．递减等差数列
C ．摆动数列
D ．以上都不对
2．已知数列{}n a 的通项公式*2
1
log ()2
n n a n N n +=∈+，
设前n n S 项和为，则使5n S <-成立的自然数n ( ) A ．有最大值63 B ．有最小值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31
3．设函数f(x)=1
x x n x x 22+++-(x ∈R ，且x≠21
n -, n ∈N *), f(x)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n =(1-a n )·(1-b n )，
则数列{c n } ( )
A ．是公差不为0的等差数列
B ．是公比不为1的等比数列
C ．是常数列
D ．不是等差数列，也不是等比数列
二. 填空题:
4．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意*n N ∈，都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是 ______________.
5．已知数列{}n a 满足*11,log (
1)(2,)n n a a n n n ==+≥∈N 。

定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅为正整数的
*()k k ∈N 叫做和谐数，则在区间[1，2009]内所有的和谐数的和为_______________。

6．在
n
1
和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数依次成等比数列，则插入的n 个数之积是____________．
三. 解答题:
7. 等差数列{}n a 的前n
项和为1319n S a S ==+，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()n
n S b n n
*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
8. 已知数列{}n a 中123,5a a ==，其前n 项和为 满足1
2122(3)n n n n S S S n ---+=+≥．
（1）试求数列{}n a 的通项公式．
（2）令11
2,n n n n b a a -+=⋅n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：1
6n T <．
9．将函数1
()sin 34
f x x =-
在区间(0,)+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列*{}()n a n ∈N 。

(1) 求函数()f x 的图象上第10个极值点的坐标；
(2) 又设12sin sin sin n n n n b a a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的通项公式。

10. 设数列{a n }的各项都为正数，且对任意的n ∈N +都有2
33231n n S a a a =+⋅⋅⋅++,其中S n 为数列{a n }的前n
项和。

⑴ 求证：n n n a S a -=22
. ⑵ 求数列{a n }的通项公式。

⑶ 设n a
n n n b 2)1(31
⋅-+=-λ（λ为非零整数，n ∈N +）试确定λ的值，使得对任意n ∈N +都有b n+1>b n
成立。

暑假作业(二十七)
一. 选择题: A B C 3. 解：
22()1x x n f x y x x -+==++，∴2
3(46)(14)0y n y n -+++-≥，即441,33
n n n n n b n a b a b +-+==
(1)(1)1()n n n n n n n C a b a b a b =--=-++4414
123333
n n =-
-+-=-是常数，选C 。

二. 填空题: 4. (3,)-+∞ 5. 2036 6. 21()n
n n
+ 5. 解：
*1lg(1)
1,log (1)(2,)lg n n n a a n n n n
+==+=
≥∈N ， *12lg3lg 4
lg(1)lg(1)1()lg 23
lg lg 2k k k a a a k k ++∴⋅⋅
⋅=⋅
⋅⋅⋅
=∈N 记*lg(1)
()lg 2
k m m +=∈N ， 则*
*
21(,)m
k m k =-∈∈N N ，∴在区间[1，2009]内的正整数k 为1
2
1021,21,
21---，其和为
121021011(21)(21)(21)
(222)10
2122036-+-+
+-=+++-=-=。

故填2036。

三. 解答题:
7. 解：
（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，
，2d
∴=，故21(n n a n S n n =-=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S
b n n
==
{}n b 中存在三项
p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成
等比数列，则2
q p r
b b b =．即2((q p r +=++．2()(20q pr q p r ∴-+--=
p q r *
∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，2
2()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭
，
，．与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．
8. 解：（1）由12122(3)n n n n S S S n ---+=+≥得1
1122(3)n n n n n S S S S n -----=-+≥
1n n n a s s -=-，112(3)n n n a a n --∴=+≥，即112(3)n n n a a n ---=≥,又21532(2)a a n -=-=≥，112(2)n n n a a n --∴-=≥,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
11
2
3
1
2122
2
2
2332112n n n n n -----=+++
++=+=+-（）
故数列{}n a 的通项公式为12+=n
n a ．
（2）1111
122111,(21)(21)22121n n n n n n n n n b a a --+++⎛⎫
===- ⎪++++⎝⎭
1231111111
1235592121n n n n T b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111123216
n +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 9. 解：(1) 化简()f x ，得1()sin 34f x x =-
，其极值点为()36
k x k ππ=+∈Z 当9k =时，得196x π=，∴()f x 的图象上第10个极值点的坐标是191
(,)64
π。

(2) ()f x 在区间(0,)+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成以6π为首项，3
π
为公差的等差数，
*21
(1)()6
3
6
n n a n n π
π
π-∴=
+-⋅
=
∈N 。

13sin sin()sin 0,0,1sin sin n n n n n n n n b a a a b b a a π+++≠∴≠=
==-，且114b =。

{}n b ∴是以1
4
为首项，-1为公比的等比数列，即1*(1)()4n n b n --=∈N 。

10. 解：⑴ 由已知当n=1时，a 13=a 12 ,又a 1>0,∴a 1=1,当n≥2时
a 13+a 23+…+a n 3=S n 2,a 13+a 23+…+a n-13=S n-12,∴a n 3=(Sn-S n-1)(S n +S n-1)=a n (S n +S n-1) ,又a n >0,∴a n 2=S n +S n-1 ,而S n-1=S n -a n ,∴a n 2=2S n -a n ,n=1时,a 1=1也满足上式。

⑵ 由⑴可知a n 2=2S n -a n 当n≥2时112
12----=n n n a S a .
∴1112
12)(2----+=+--=-n n n n n n n n a a a a S S a a ,又a n +a n-1>0,∴a n -a n-1=1,则数列{a n }是等差数列，首项
为1，公差为1,∴a n =n.
⑶ ∵a n =n b n =3n +(-1)n-1·λ·2n ,要使b n+1>b n 恒成立.
b n+1-b n =3n+1-3n +(-1)n λ·2n+1-(-1)n-1·λ·2n =2×3n -3λ(-1)n-1·2n >0恒成立,∴()1
1
231--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛<-n n λ恒成立
当n 为奇数时，1
23-⎪
⎭⎫
⎝⎛<n λ恒成立，又1
23-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n 的最小值为1,∴λ<1.
当n 为偶数时,1
23-⎪
⎭
⎫
⎝⎛->n λ恒成立，又1
23-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-n 的最大值为⎪⎭
⎫
⎝⎛-
23，∴23->λ.
∴012
3
≠<<-
λλ又，λ为整数,∴λ=-1.。