湖北省孝感市云梦县2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试题 (解析版)

2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都给出代号为A、B、C、D
的四个选项，其中只有一个是正确的，每一小题选对得3分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分.）
1．下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去3．已知三角形两边长分别为3和9，则该三角形第三边的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9
4．点（a，b）关于y轴的对称点的坐标是（）
A．（﹣a，﹣b）B．（a，﹣b）C．（a，b）D．（﹣a，b）
5．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝∠E，则∠C的度数是（）
A．20°B．25°C．30 D．35°
6．如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）
A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
7．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝1，BE＝，则△ABC的周长是（）
A．6+B．3+2C．6+2D．3+3
9．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB 于E，交BC于F，若四边形BFDE的面积为16，则AB的长为（）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．如图，∠AOB＝20°，M，N分別是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（）
A．β﹣α＝30°B．β﹣α＝40°C．β+α＝180°D．β+α＝200°二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分请将结果直接写在答题卷相应位置上）11．屋顶钢架经常采用三角形结构，运用的几何原理是．
12．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），则点P的坐标是．
13．一个等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠BAC＝110°，则∠DAE＝．
15．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有个．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC上一点，且BD＝BC，过点D分别作DE ⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F，下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②D是AC的中点；
③DE垂直平分AB；④AB＝BC+CD；其中正确的结论是（填序号）．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答写在答题卷上）
17．已知△ABC中，∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，求△ABC的各内角度数．
18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE．
19．如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于点G，
求证：AD垂直平分EF．
20．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为12cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26cm，求OA的长．
21．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE ∥DF．
22．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（1）如图1，若△ABC与△DEF关于直线l对称，请作出直线l；
（2）如图2，在矩形ABCD中，已知点B，F分别在AD和AB上，请在边BC上作出点G，在边CD作出点H，使得四边形EFGH的周长最小．
23．D为等边△ABC的边AC上一点，E为直线AB上一点，CD＝BE．
（1）如图1，求证：AD＝DE；
（2）如图2，DE交CB于点F．
①若DE⊥AC，CF＝6，求BF的长；
②求证：DF＝EF．
24．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF＝BE+CF（如图1）；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF＝BE﹣CF；
（3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B．
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B
选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C
选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角
形，故D选项错误．
故选：C．
3．已知三角形两边长分别为3和9，则该三角形第三边的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】已知三角形的两边长分别为3和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，把各项代入不等式不符合的即为答案．
只有6不符合不等式，
故选：A．
4．点（a，b）关于y轴的对称点的坐标是（）
A．（﹣a，﹣b）B．（a，﹣b）C．（a，b）D．（﹣a，b）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．
【解答】解：点（a，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣a，b），
故选：D．
5．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝∠E，则∠C的度数是（）
A．20°B．25°C．30 D．35°
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝60°，
∴∠A＝∠1＝60°，
∴∠C+∠E＝60°，
∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠E＝30°．
故选：C．
6．如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）
A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：A、BD＝DC，AB＝AC，再加上公共边AD＝AD可利用SSS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
B、∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD再加上公共边AD＝AD可利用ASA定理判定△ABD≌△
ACD，故此选项不合题意；
C、∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD再加上公共边AD＝AD可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，
故此选项不合题意；
D、∠B＝∠C，BD＝DC再加上公共边AD＝AD，没有ASS定理判定△ABD≌△ACD，故此选
项符合题意；
故选：D．
7．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n﹣2）＝720，继而可求得答案．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180（n﹣2）＝720，
解得：n＝6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6＝60°．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝1，BE＝，则△ABC的周长是（）
A．6+B．3+2C．6+2D．3+3
【分析】根据直角三角形的性质求出BD，根据角平分线的性质求出CD，得到BC的长，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE＝1，
∴BC＝3，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（2AC）2＝AC2+32，
解得，AC＝，
则AB＝2，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3+3，
故选：D．
9．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB 于E，交BC于F，若四边形BFDE的面积为16，则AB的长为（）
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，再由DE⊥DF，可推出∠FDC＝∠EDB，由等腰直角三角形ABC可得∠C＝45°，得出△EDB≌△FDC，得出四边形BFDE的面积是三角形ABC的一半，利用三角形的面积公式即可求出AB的长．
【解答】解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，
∴∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠C，
又∵DE⊥DF，
∴∠FDC+∠BDF＝∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC＝∠EDB，
在△EDB与△FDC中，，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴S四边形BFDE＝S△BDC＝S△ABC＝16，
∴AB2＝32，
∴AB＝8，
故选：A．
10．如图，∠AOB＝20°，M，N分別是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（）
A．β﹣α＝30°B．β﹣α＝40°C．β+α＝180°D．β+α＝200°【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，KD∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∵∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，
∴α+β＝180°﹣20°﹣∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．屋顶钢架经常采用三角形结构，运用的几何原理是三角形的稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：屋顶钢架经常采用三角形结构，运用的几何原理是三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．
12．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），则点P的坐标是（2，﹣3）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），
∴点P坐标是（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
13．一个等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为50°．
【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2＝50°．
故填50°
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠BAC＝110°，则∠DAE＝25°．
【分析】根据AE平分∠BAC，得到∠BEA的大小．再根据垂直定义，得到直角三角形，在直角△ABD中，可以求得∠BAD的度数，即可求解∠DAE的大小．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣110°﹣60°＝10°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣10°＝80°；
又∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝×110°＝55°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE
＝80°﹣55°
＝25°．
故答案为：25°．
15．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有 4 个．
【分析】没有指明点P在正半轴还是在负半轴，也没有说明哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：（1）当点P在x轴正半轴上，
①以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2，
∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2，
∴OA＝OP＝2，
∴P的坐标是（﹣2，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．
故答案为：4．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC上一点，且BD＝BC，过点D分别作DE ⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F，下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②D是AC的中点；
③DE垂直平分AB；④AB＝BC+CD；其中正确的结论是①③④（填序号）．
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质与判定进行解答即可．
【解答】解：①∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠CBD，①正确．
②因为AD＝BD，但BD≠CD，故②错误；
③∵∠ABD＝∠A＝36°，
∴AD＝BD，
∵DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，③正确；
④由①③可知，AD＝BD＝BC，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AD+CD＝BC+CD，④正确；
故答案为：①③④．
三．解答题（共8小题）
17．已知△ABC中，∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，求△ABC的各内角度数．【分析】根据三角形的内角和定理，结合已知条件解方程组即可．
【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+10°+10°）＝180°，
3∠A+30°＝180°，
3∠A＝150°，
∠A＝50°．
∴∠B＝60°，∠C＝70°．
18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE．
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
19．如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于点G，
求证：AD垂直平分EF．
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可以证明结论成立．
【解答】证明；∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
又∵DE＝DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
即AD垂直平分EF．
20．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为12cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26cm，求OA的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，同理EA＝EC，于是得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OA，同理OA＝OC，得到OA＝OB＝OC，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵l1垂直平分AB，
∴DB＝DA，
同理EA＝EC，
∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1垂直平分AB，
∴OB＝OA，
同理OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
又∵△OBC的周长为26cm，BC＝12cm，
∴OB+OC＝26﹣12＝14cm，
∴OB＝OC＝7cm，
∴OA＝7cm．
21．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE ∥DF．
【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可．
【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠B，DF平分∠D，
∴∠EBF+∠FDC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EBF＝∠DFC，
∴BE∥DF．
22．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（1）如图1，若△ABC与△DEF关于直线l对称，请作出直线l；
（2）如图2，在矩形ABCD中，已知点B，F分别在AD和AB上，请在边BC上作出点G，在边CD作出点H，使得四边形EFGH的周长最小．
【分析】（1）作AD的垂直平分线l，则l为△ABC与△DEF的对称轴；
（2）延长EB到E′使E′B＝BE，延长FD到F′使DF′＝DF，然后连接E′F′交BC于G，交CD与H，利用两点之间线段最短可证明此时四边形EFGH的周长最小．
【解答】解：（1）如图，直线l为所作；
（2）如图，四边形EFGH为所作．
23．D为等边△ABC的边AC上一点，E为直线AB上一点，CD＝BE．
（1）如图1，求证：AD＝DE；
（2）如图2，DE交CB于点F．
①若DE⊥AC，CF＝6，求BF的长；
②求证：DF＝EF．
【分析】（1）只要证明△ADE是等边三角形即可；
（2）①如图2，利用直角三角形30度角性质即可解决问题；
②过点D作DG∥AB交BC于点G，只要证明△CDG是等边三角形，△GDF≌△BEF（AAS）即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，
又∵CD＝BE，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE；
（2）①如图2，∵DF⊥AC，
∴∠CDF＝90°，
∵∠C＝60°，
在Rt△CDF中，∠CFD＝30°，
∴，
又∵CD＝BE，
∴BE＝3，
而∠BFE＝∠CFD＝30°，∠E＝30°，
∴BE＝BF，
∴BF＝3；
②如图3，过点D作DG∥AB，交CB于点G，
∴∠CGD＝∠ABC＝60°，∠GDF＝∠E，
∵∠C＝60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD＝DG，
又∵CD＝BE，
∴DG＝BE，
在△GDF和△BEF中，
，
∴△GDF≌△BEF（AAS），
∴DF＝EF．
24．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF＝BE+CF（如图1）；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF＝BE﹣CF；
（3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明．【分析】（1）求出△BEA≌△AFC，推出EA＝FC，BE＝AF，即可得出答案；
（2）求出△BEA≌△AFC，推出EA＝FC，BE＝AF，即可得出答案；
（3）求出△BEA≌△AFC，推出EA＝FC，BE＝AF，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
∴△BEA≌△AFC，
∴EA＝FC，BE＝AF，
∴EF＝EA+AF＝BE+CF．
（2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
∴△BEA≌△AFC，
∴EA＝FC，BE＝AF，
∵EF＝AF﹣AE，
∴EF＝BE﹣CF．
（3）EF＝CF﹣BE，
理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
∴△BEA≌△AFC，
∴EA＝FC，BE＝CF，
∵EF＝EA﹣AF，
∴EF＝CF﹣BE．。