数学_2015年福建省泉州某校高考数学模拟最后一卷(文科)(含答案)

2015年福建省泉州某校高考数学模拟最后一卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合M ＝{−1, 0, 1, 2, 3}，N ＝{−2, 0}，则下列结论正确的是（ ） A N ⊆M B M ∩N ＝N C M ∪N ＝M D M ∩N ＝{0}
2. 下列说法正确的是（ ） A “若x =π
3，则sinx =
√3
2
”的逆命题为真 B a ，b ，c 为实数，若a >b ，则ac 2>
bc 2 C 命题p:∃x ∈R ，使得x 2+x −1<0，则¬p:∀x ∈R ，使得x 2+x −1>
0 D 若命题¬p ∧q 为真，则p 假q 真
3. 设向量a →
，b →
均为单位向量，且|a →
+b →
|=1，则a →
与b →
的夹角θ为( ) A π
3
B π
2
C 2π
3
D 3π
4
4. 设变量x 、y 满足约束条件{x +y ≤3
x −y ≥−1y ≥1，则目标函数z =−2x +y 的最大值为（ ）
A −2
B 0
C 1
D 2
5. 已知函数f(x)=cos 2x −1
2，则（ ）
A f(x)为偶函数且最小正周期为π
B f(x)为奇函数且最小正周期为π
C f(x)为偶函数且最小正周期为2π
D f(x)为奇函数且最小正周期为2π
6. 已知α，β表示两个互相垂直的平面，a ，b 表示一对直线，则a ⊥b 的一个充分条件是（ ）
A a // α，b ⊥β
B a // α，b // β
C a ⊥α，b // β
D a ⊥α，b ⊥β 7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是( )
A 10
B 17
C 26
D 28
8. 设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A 9π+42 B
9π2
+12 C 36π+18 D
9π2+18
9. 已知抛物线y 2=4x ，过其焦点F 作倾斜角为π
4的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，则弦BC 的长为（ ） A 10
3 B 2 C
4 D 8
10. 在△ABC 中，∠A =120∘
，AB →⋅AC →=−1，则|BC →
|的最小值是（ ）
A √2
B 2
C √6
D 6
11. 设函数f(x)={ln(−x),x <0
−lnx,,x >0若f(m)>f(−m)，则实数m 的取值范围是（ ）
A (−1, 0)∪(0, 1)
B (−∞, −1)∪(0, 1)
C (−1, 0)∪(1, +∞)
D (−∞, −1)∪(1, +∞)
12. 已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1、F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1e 2的取值范围为（ ） A (1
3，+∞) B (2
3，1) C (2, +∞) D (3
2，+∞)
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.） 13. 已知i 是虚数单位，复数2i
1−i 的模为________．
14. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，a =√3bsinA −acosB ，则角B =________．
15. 已知x >−1，y >0且满足x +2y ＝1，则
1x+1
+2
y
的最小值为________．
16. 定义在实数集R 上的函数y =f(x)的图象是连续不断的，若对任意实数x ，存在实数t 使得f(t +x)=−tf(x)恒成立，则称f(x)是一个“关于t 的函数”．给出下列“关于t 的函数”的结论：
①f(x)=0是常数函数中唯一一个“关于t 的函数”； ②“关于1
2的函数”至少有一个零点； ③f(x)=x 2是一个“关于t 的函数”． 其中正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列{a n}是等差数列且公差d>0，n∈N∗，a1=2，a3为a1和a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=2
n(a n+2)
，求数列{b n}的前n项和S n．
18. 已知函数f(x)=cosπ
6x−√3sinπ
6
x(0≤x≤5)的图象过点B(4, m)，
（1）若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边过点B，求sin2α的值；（2）求函数y=f(x)的最值．
19. 某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人．为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间（单位：小时），采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如图．
（1）应抽取男生多少人？并根据样本数据，估计该校高三年学生每天课外阅读的平均时间；
（2）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生中任意抽取两人，求抽
中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率．
20. 如图所示，几何体ABCDE中，△ABC为正三角形，CD⊥面ABC，
BE // CD，BC=CD=2BE．
（1）在线段AD上找一点F，使EF // 平面ABC，并证明；
（2）求证：面ADE⊥面ACD．
21. 已知圆C的圆心在直线y=x−2上
（1）若圆经过A(3, −2)和B(0, −5)两点．
(I)求圆C的方程；
（2）设圆C与y轴另一交点为P，直线l过点P且与圆C相切．设D是圆C上异于P，B的动点，直线BD与直线l交于点R．试判断以PR为直径的圆与直线CD的位置关系，并说明理由；(II)设点M(0, 3)，若圆C半径为3，且圆C上存在点N，使|MN|=2|NO|，求圆心C的横坐标
的取值范围．
22. 已知函数f(x)=x−1
x +alnx
2
（1）当a=−1时，求函数f(x)在点A(1, 0)处的切线方程；
（2）讨论函数f(x)的单调性；
（3）若函数f(x)有两个极值点x 1和x 2，设过M （x 1, f(x 1)），N （x 2, f(x 2)）的直线的斜率为k ，求证：k >a +2．
2015年福建省泉州某校高考数学模拟最后一卷（文科）答案
1. D
2. D
3. C
4. C
5. A
6. D
7. B
8. D
9. D 10. C 11. B 12. A 13. √2 14. 60∘ 15. 9
2
16. ② 17. 解：（1）∵ a 1=2，a 3为a 1和a 9的等比中项，
∴ a 32=a 1a 9，即(2+2d)2=2(2+8d)， 化简得 d 2=2d ，
∵ d >0，解得d =2，
∴ a n =2+2(n −1)=2n ； （2）b n =2
n(a
n
+2)
=2n(2n+2)=1n(n+1)=1n −1
n+1， S n =b 1+b 2+...+b n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1
n +1)
=n
n+1．
18. 解：（1）∵ 函数f(x)=cos π
6x −√3sin π
6x(0≤x ≤5)的图象过点B(4, m)， ∴ m =cos
2π3
−√3sin
2π3
=−2，
即点B(4, −2)，|OB|=√42+(−2)2=2√5， ∴ sinα=2
√
5
=−
√5
5
，cosα=2
√
5=2√55
，
∴ sin2α=2sinαcosα=2⋅(−
√55)⋅
2√55
=−4
5．
（2）f(x)=2cos(π
6x+π
3
)，
∵ 0≤x≤5，
∴ π
3≤π
6
x+π
3
≤7π
6
，
当π
6x+π
3
=π
3
时，即x=0时，f(x)max=1，
当π
6x+π
3
=π时，即x=4时，f(x)min=−2．
19. 解：（1）应抽取男生150×25
375
=10人，…
该校高三年学生每天课外阅读的平均时间为0.5×(0.40×0.25+0.80×0.75+
0.32×1.25+0.24×1.75+0.16×2.25+0.08×2.75)=1.05，…
（2）从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生有6人，…
其中读平均时间不少于2小时有3人，…
令这三人分别为A，B，C．另外三人为a，b，c，
设抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时为事件E，…
从中抽中的这两个人所有情况为(A, B)，(A, C)，(A, a)，(A, b)，(A, c)，(B, C)，(B, a)，(B, b)，(B, c)，(C, a)，(C, b)，(C, c)，(a, b)，(a, c)，(b, c)共15种，…
这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的情况为(A, a)，(A, b)，(A, c)，(B, a)，(B, b)，(B, c)，(C, a)，(C, b)，(C, c)共9种…
∴ 抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率为P(E)=9
15=3
5
．…
20. 解：（1）点F为线段AD中点，证明如下：
取线段AC中点M，连结BM，FM，EF，
∵ BE // CD，BC=CD=2BE
则FM // CD // BE，且FM=1
2
CD=BE，
所以四边形BEFM平行四边形，则EF // BM，
又∵ EF⊄平面ABC，BM⊆平面ABC，
∴ EF // 平面ABC；
（2）证明：∵ △ABC为正三角形，
∴ BM⊥AC，
∵ CD⊥面ABC，BM⊆平面ABC，
∴ CD⊥BM，
∵ CD∩AC=C，
∴ BM⊥面ACD，
∵ EF // BM，
∴ EF⊥面ACD，
又EF⊆平面ADE，∴ 面ADE⊥面ACD．
21. 解：（1）设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为(−D
2，−E
2
)．…
（1）由题意知
{−E
2
=−D
2
−2
13+3D−2E+F=0
25−5E+F=0
…
解得：D=0，E=4，F=−5∴ 圆C:x2+(y+2)2=9…（2）知P(0, 1)、B(0, −5)，则l:y=1
设D(m, n)(m≠0)DB：y=n+5
m x−5，R(6m
n+5
，1)
以PR为直径的圆的圆心S(3m
n+5，1)，半径r=3|m|
|n+5|
…．
CD：y=n+2
m
x−2即(n+2)x−my−2m=0…以PR为直径的圆的圆心S到CD的距离设为d
则d=|3m(n+2)
n+5
−3m|
√(n+2)2+m2
=
|n+5|√(n+2)2+m2
．…
又点D在圆C上，∴ m2+(n+2)2=9，∴ d=3|m|
|n+5|
=r
故以PR为直径的圆与直线CD总相切…（2）设圆心C(a, a−2)，设N(x, y)，则∵ |MN|=2|NO|，
∴ x2+(y−3)2=4x2+4y2，
∴ 点N在圆E:x2+(y+1)2=4上…
又点N在圆C上，
∴ 圆E与圆C有公共点，
∴ 3−2≤|EC|=√2a2−2a+1≤3+2…∴ −3≤a≤0或1≤a≤4…．
22. 解：（1）当a=−1时，f(x)=x−1
x −lnx
2
，
则f′(x)=1+1
x2−1
2x
，∴ f′(1)=3
2
，
∴ 函数f(x)在点A(1, 0)处的切线方程y=3
2
(x−1)，化简得3x−2y−3=0；
（2）f′(x)=1+1
x2+a
2x
=2x2+ax+2
2x2
(x>0)，
令g(x)=2x2+ax+2(x>0)
①当△=a2−16≤0时，g(x)≥0，2x2>0，
则f′(x)≥0在(0, +∞)恒成立，f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当△=a 2−16>0时
（1）当a >4时，g(x)>0，则f′(x)≥0在(0, +∞)恒成立， f(x)在(0, +∞)上单调递增；
（2）当a <−4时，g(x)=0有两根，又g(0)=2>0， 对称轴x =−a
4>1，且0<x 1=
−a−√a 2−16
4
，x 2=
−a+√a 2−16
4
，
令g(x)>0，解得0<x <x 1或x >x 2，此时f′(x)>0 令g(x)<0，解得x 1<x <x 2，此时f′(x)<0．
综上所述：当−4≤a ≤4或a >4时，f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a <−4时，f(x)在(0,−a−√a 2−16
4
)和(
−a+√a 2−16
4
，+∞)上单调递增，
在(
−a−√a 2−16
4
，
−a+√a 2−16
4
)上单调递减．
（3）证明：由（2）知函数f(x)有两个极值点x 1和x 2，则a <−4，且x 1x 2=1， 不妨设x 1<x 2 又k =
f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1
=
x 2−
1x 2+a 2lnx 2−(x 1−1x 1+a
2
lnx 1)x 2−x 1=1+1
x
2⋅x 1
+a 2
lnx 2−lnx 1
x 2−x 1
=2+a 2
lnx 2−lnx 1
x 2−x 1
．
∴ 欲证k >a +2，即证2+a 2
lnx 2−lnx 1x 2−x 1
>a +2，∵ a <−4，
即证
lnx 2−lnx 12(x 2−x 1)
<1即证lnx 2−lnx 1<2x 2−2x 1又x 1x 2=1，x 1=
1x 2
，且x 2>1，
即证lnx 2−x 2+
1x 2
<0在(1, +∞)上恒成立．
令ℎ(x)=lnx −x +1
x
，x ∈(1, +∞)
∴ ℎ′(x)=1x −1
x 2−1=
−x 2+x−1
x 2
=
−(x−1
2)2−
34
x 2
<0，
∴ ℎ(x)=lnx −x +1
x 在(1, +∞)上是递减函数， ∴ ℎ(x)<ℎ(1)=0， ∴ lnx 2−x 2+
1x 2
<0在(1, +∞)上恒成立
∴ k >a +2．。