高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习附答案

【最新】高中数学《集合与常用逻辑用语》专题解析
一、选择题
1．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤
2
n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.
【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥
，由基本不等式得22
m n m n +-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确. ④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110
221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩
，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
2．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果.
详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；
若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件.
本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．
当m≠0时，则l 1∥l 2⇒
32211m m m --=≠-， 由
321m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211
m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，
故答案为：A
【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
4．已知集合，则 ( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
【分析】 由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解. 【详解】 由题意，集合，， 所以
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合
，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①中，当2x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，
所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
6．集合{}|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B I 为( ) A ．()1,2
B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3- 【答案】B
【解析】
【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.
【详解】 18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I .
故选：B .
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
7．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）
①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-；
②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；
③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
【解析】
【分析】
对三个命题逐一判断即可.
【详解】 ①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .
【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
8．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即可.
【详解】
e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，
令()e 2(0)x f x x x =->，则()e 2x
f x '=-，
令()0f x '=，解得ln 2x =， 因为()'
f x 为R 上的增函数,
所以当()0,ln 2x ∈时,()'0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >, 故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，
所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-,
即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；
但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-,
所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<，
故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.
综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件.
故选:A
【点睛】
本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
9．下列选项错误的是（ ）
A ．命题“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”
B ．“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件
C ．在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件
D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题
【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的定义，可以判断A 的真假；由充要条件的定义，判断B ，C 的真假；根据两个命题之间的真假关系即可判断D 的真假．
【详解】
对于选项Ａ，“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1，故选项A 为真命题；
对于选项B ，由“x 2﹣3x +2＞0”得，x ＞2或x ＜1；故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，故选项B 为真命题；
对于选项C ，在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”，则边a ＞边b ，由正弦定理知，sin A ＞sin B ；反之，也成立，故在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件,故C 为真命题；
对于选项D ，在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题可能为真命题，也可能为假命题．故D 为假命题；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查四种命题的定义、性质以及真假关系，充分、必要条件的判断，属于基础题．
10．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误.
故选：A
【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题
又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点
∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题；
故p 是q 的必要不充分条件
故选B
12．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( )
A ．(1,3)
B ．(－∞，－1)
C ．(－1,1)
D ．(－3,1)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解.
【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)，
∴A ∩B ＝(－1,1)．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．下列四个命题中真命题的个数是
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>
③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.
④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断．
【详解】
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；
②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；
③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.
④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．
因此4个命题均正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
14．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是
A ．M N N =I
B ．()U M N =∅I ð
C ．M N U =U
D ．()
U M N ⊆ð 【答案】A
【解析】
【分析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．
【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．
故选A ．
【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
15．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ B ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.
【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111()22x a x x x +<=+恒成立，
11()12x x +≥=Q ，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞.
故选：C ．
【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
16．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记
(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，
(),0a b ϕ= .
【详解】
若(),0a b ϕ=，
0a b -=a b =+
两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =
当0a =0b b b =-= ，
0b ∴≥ ，即a 与b 互补，
同理0b =时，a 与b 互补，
反过来，当0ab =时，
0a b -= ，
即(),0a b ϕ= ，
故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.
17．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
【详解】 Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.
因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
18．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4π”的（） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，
由“1a <-”，可得4π
θ>，再举特例34πθ=，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π” 不能得到“1a <-”，即可得解.
【详解】
解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则
tan 1a θ=->，即4π
θ>，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π”， 若“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4π”，不妨令34πθ=， 则3tan 14
a π=-=，则不能得到“1a <-”， 即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4
π”的充分而不必要条件， 故选A.
【点睛】 本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
19．定义在R 上的函数()y f x =满足()555,0222f x f x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--> ⎪ '⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，任意的12x x <都有()()12f x f x >是125x x +<的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 因为()5,02x f x '>>； ()5,02x f x '<<，且()f x 关于52
x =对称，所以12x x <时， ()()12f x f x > ()212212125555,555222
f x x x x x x x x <>=-⇒⇒-<∴<-⇒+<
反之也成立： 12x x <时，
()()()1212121225555,,55222
x x x x x x f x f x f x +<⇒<⇒>-<-=<>，所以选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
20．已知命题0:(0,)
p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ）
A ．q ⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∧
D ．()()p q ⌝∨⌝ 【答案】C
【解析】
【分析】
分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.
【详解】
取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故命题p 为真；
因为122x x -+≥=12
x =
时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。