2020-2021学年河南新乡九年级上数学期中试卷

2020-2021学年河南新乡九年级上数学期中试卷
一、选择题
1. 下列说法正确的是( )
A.某事件发生的概率为0.5，这就是说：在两次重复试验中，必有一次发生
B.一个袋子里有100个球，小明摸了8次，每次都只摸到黑球，没摸到白球，结论：袋子里只有黑色的球
C.将两枚一元的硬币同时抛下，可能出现的情形有：①两枚均为正；②两枚均为反；③一正一反. 所以出
现一正一反的概率是1
3
D.全年级有400名同学，一定会有2人同一天过生日
2. 在平面直角坐标系xOy中，以点(−3, 4)为圆心，4为半径的圆( )
A.与x轴相交，与y轴相切
B.与x轴相离，与y轴相交
C.与x轴相切，与y轴相交
D.与x轴相切，与y轴相离
3. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知∠A=100∘，∠C=30∘，则∠DFE的度数是（）
A.55∘
B.60∘
C.65∘
D.70∘
4. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，
BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )
A.17.5m
B.17m
C.16.5m
D.18m
5. 已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y=k
x
(k<0)的图象上，且x1<x2<0<x3，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y2>y1>y3
B.y3>y2>y1
C.y1>y2>y3
D.y3>y1>y26. 若函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数y=ax+b和y
=c
x
在同一平面直角坐标系中的图
象大致是( )
A. B.
C. D.
7. 在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有−2，−1，1，将三张卡片背面朝上洗匀，从中抽出一张，并将卡片上的数字记为x，然后从余下的两张中再抽出一张，将卡片上的数字记为y，则点(x, y)在直线y=
−1
2
x−1上方的概率为()
A.1
2
B.1
3
C.2
3
D.1
8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=2√3，则S阴影=( )
A.π
B.2π
C.2
3
√3π D.2
3
π
9. 如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于( )
A.3π
B.4π
C.5π
D.6π
10. 如图，点D 是平行四边形OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，BD =
√
2，∠ADB =135
∘
，S
△ABD =2．若反比例函数y =k
x (x >0)的图象经过A ，D 两点，则k 的值是( )
A.2√2
B.4
C.3√2
D.6
二、填空题
一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的圆心角是________.
掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为________.
如图所示，在△ABC 中，AC =BC =4，∠C =90∘，O 是AB 的中点，⊙O 与AC ，BC 分别相切于点D ，E ，⊙O 与AB 交于点F ，DF ，CB 的延长线交于点G ，则BG 的长是________．
设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k
x 图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形ABCD 可以是平行四边形； ②四边形ABCD 可以是菱形； ③四边形ABCD 不可能是矩形；
④四边形ABCD 不可能是正方形． 其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于坐标原点O ，四个顶点分别在双曲线y =4
x
和y =k
x
(k <0)上，
AC BD
=2
3
，
平行于x 轴的直线与两双曲线分别交于点E ，F ，连接OE ，OF ，则△OEF 的面积为________．
三、解答题
如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为F ．
(1)求证：△ABE ∼△DFA ；
(2)若AB =6，BC =4，求DF 的长．
如图，在Rt △ABC 中，∠C =90∘，点O 在AC 上，以OA 为半径的半圆O 交AB 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ．
(1)求证：BF =DF ；
(2)若AC =4，BC =3，CF =1，求半圆O 的半径长．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
(1)求证：BE=EC．
(2)填空：①若∠B=30∘，AC=2√3，则DE=________；
②当∠B=________∘时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
为了探索函数y=x
+
1
x
(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0<x1<x2≤1，则y1________y2；
若1<x1<x2，，则y1________y2；
若x1⋅x2=1，则y1________y2（填”>”，“=”，“<”）．
(3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内?
如图所示，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象交于第二、四象限的点A(−2, a)和点B(b, −1)，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出mx+n>k
x
中x的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使PB−PA取得最大值时，求出点P的坐标．
已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是AÊ上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE=∠BDE，BD与AE交于点F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD平分∠ABE，求证：AD2=DF⋅DB．
阅读下列材料，并完成相应的任务.
任务：
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
(2)当圆内接四边形ABCD 是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟悉的一个定理：________（请写出定理名称）；
(3)如图(3)四边形ABCD 内接于⊙O ，AB =3，AD =5，∠BAD =60∘，点C 为BD
̂的中点，求AC 的长.
如图，已知∠MON =90∘，OT 是∠MON 的平分线，A 是射线OM 上一点，OA =8cm ．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1cm/s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O ，P ，Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC ，QC ．设运动时间为t(s)，其中0<t <8．
(1)求OP +OQ 的值；
(2)是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；
(3)求四边形OPCQ 的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南新乡九年级上数学期中试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
概率的意义
【解析】
根据概率的意义找到正确选项即可．
【解答】
解：A，事件发生的概率为0.5是在大量实验数据条件下存在的，故A错误；
B，可能白球的数量少，摸到的概率小，故B错误；
C，一正一反出现的概率为1
2
，故C错误；
D，一年最多366天，400名同学，一定会有2人同一天过生日，故D正确.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
坐标与图形性质
【解析】
首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
【解答】
解：∵圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，且4=4，3<4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
多边形的内角和
圆周角定理
三角形内角和定理
三角形的内切圆与内心
【解析】
根据三角形的内角和定理求得∠B＝50∘，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理，得∠DOE＝130∘，再根据圆周角定理得∠DFE＝65∘．【解答】
解：∵∠A=100∘，∠C=30∘，
∴∠B=50∘，
∵∠BDO=∠BEO=90∘，
∴∠DOE=130∘，
∴∠DFE＝65∘．
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【解答】
解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB // DC，
∴△ABE∼△ACD，
∴AB
AC
=BE
CD
，
∵BE=1.5m，AB=1.2m，BC=12.8m，
∴AC=AB+BC=14(m)，
∴ 1.2
14
=1.5
DC
，
解得，DC=17.5m，
即建筑物CD的高是17.5m.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
反比例函数的性质
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：反比例函数y=k
x
(k<0)，其图象在第二、四象限，
在第二象限中，y随x的增大而增大，且x1<x2<0<x3，
故y3<0<y1<y2.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
二次函数的图象 反比例函数的图象
【解析】
根据二次函数图象开口向上得到a >0，再根据对称轴确定出b ，根据与y 轴的交点确定出c >0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【解答】
解：∵ 二次函数图象开口方向向上， ∴ a >0.
∵ 对称轴为直线x =−
b 2a
>0，
∴ b <0.
∵ 与y 轴的正半轴相交， ∴ c >0，
∴ y =ax +b 的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y =c
x 图象在第一、三象限内，
只有B 选项图象符合． 故选B . 7. 【答案】 A
【考点】
列表法与树状图法
一次函数图象上点的坐标特点 【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点(x, y)在直线y =−12
x −1上方的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】
解：画树状图：
共有6种等可能的结果，
其中点(x, y)在直线y =−1
2
x −1上方的有：
(−2, 1)
，(−1, 1)，(1, −1)，共3种， ∴ 点(x, y)在直线y =−1
2x −1上方的概率为：3
6=1
2． 故选A ． 8. 【答案】
D
【考点】
扇形面积的计算 圆周角定理 垂径定理的应用 【解析】
求出CE =DE ，OE =BE =1，得出S △BED =S △OEC ，所以S 阴影=S 扇形BOC ． 【解答】
解：如图，CD ⊥AB ，交AB 于点E ，
∵ AB 是直径，
∴ CE =DE =1
2CD =√3. 又∵ ∠CDB =30∘， ∴ ∠COE =60∘，
∴ OE =1，OC =2， ∴ BE =1，
∴ S △BED =S △OEC ， ∴ S 阴影=S 扇形BOC =
60π×22360
=
2π3
．
故选D ． 9.
【答案】 C
【考点】 弧长的计算 旋转的性质 【解析】
根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为1
2圆弧，根据弧长公式求出弧长即可． 【解答】
解：如图所示，
圆心O 运动路径的长度=OE +弧EO 的长
=1
4
×2π×5+1
4
×2π×5=5π．
故选C . 10.
【答案】 D
【考点】
平行四边形的性质
反比例函数图象上点的坐标特征 全等三角形的性质与判定 【解析】
根据三角形面积公式求得AE ＝2√2，易证得△AOM ≅△CBD(AAS)，得出OM ＝BD =√2，根据题意得出△ADE 是等腰直角三角形，得出DE ＝AE ＝2√2，设A(m, √2)，则D(m −2√2, 3√2)，根据反比例函数系数k 的几何意义得出关于m 的方程，解方程求得m ＝3√2，进一步求得k ＝6． 【解答】
解：作AM ⊥y 轴于M ，延长BD ，交AM 于E ，设BC 与y 轴的交点为N ，
∵ 四边形OABC 是平行四边形， ∴ OA // BC ，OA =BC ， ∴ ∠AOM =∠CNM .
∵ BD // y 轴，
∴ ∠CBD =∠CNM ， ∴ ∠AOM =∠CBD ，
∵ CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行， ∴ ∠CDB =90∘，∠AMO =90∘， ∴ ∠CDB =∠AMO ，
∴ △AOM ≅△
CBD(AAS)， ∴ OM =BD
=√2.
∵ S △ABD =1
2BD ⋅AE =2，BD =√2， ∴ AE =2√2.
∵ ∠ADB =135∘， ∴ ∠ADE =45∘，
∴ △ADE 是等腰直角三角形， ∴ DE =AE =2√2， ∴ D 的纵坐标为3√2.
设A(m, √2)，则D(m −2√2, 3√2)，
∵ 反比例函数y =k
x
(x >0)的图象经过A ，D 两点，
∴ k =√2m =(m −2√2)×3√2， 解得m =3√2， ∴ k =√2m =6． 故选D .
二、填空题
【答案】 180∘ 【考点】
圆锥的展开图及侧面积 【解析】
根据圆锥侧面积是底面积的2倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，进而根据圆锥的弧长等于底面周长得到圆锥的侧面展开图的圆心角． 【解答】
解：设母线长为R ，底面半径为r ，
则底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=πrR ． ∵ 侧面积是底面积的2倍， ∴ R =2r ． 设圆心角为n ． ∴ nπR
180∘=2πr =πR ， ∴ n =180∘. 故答案为：180∘. 【答案】
118
【考点】
列表法与树状图法 【解析】
首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的情况与所得点数之和为11的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】 解：列表得： 11的有2种情况，
∴所得点数之和为11的概率为：2
36=1
18
．
故答案为：1
18
.
【答案】
2√2−2
【考点】
切线的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
连接OD，由AC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与AC垂直，又AC＝BC，且∠C＝90∘，得到三角形ABC 为等腰直角三角形，得到∠A＝45∘，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，根据勾股定理求出AB的长，又O
为AB的中点，从而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO与BO的长，再由OB−OF求出FB的长，同时由OD和GC都与AC垂直，得到OD与GC平行，得到一对内错角相等，再加上对顶角相等，由两对对应角相等的
两三角形相似得到三角形ODF与三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的长代入即可求出GB的长．【解答】
解：连接OD．
∵AC为圆O的切线，∴OD⊥AC.
又∵AC=BC=4，∠C=90∘，
∴∠A=45∘.
根据勾股定理得：AB=√42+42=4√2，
又
∵O为AB的中点，
∴AO=BO=1
2
AB=2√2，
∴圆的半径DO=FO=2√2×√2
2
=2，∴BF=OB−OF=2√2−2．
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD // CG，
∴∠ODF=∠G.
又∵∠OFD=∠BFG，
∴△ODF∼△BGF，
∴OD
BG =OF
BF
，即2
BG
=2
2√2−2
，
∴BG=2√2−2．故答案为：2√2−2．【答案】
①④【考点】
正方形的判定
反比例函数图象上点的坐标特征
菱形的判定
平行四边形的判定
矩形的判定
【解析】
如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
【解答】
解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．
由对称性可知，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线AC与直线BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形.
故选项①④正确.
故答案为：①④.
【答案】
13
2
【考点】
菱形的性质
反比例函数系数k的几何意义
反比例函数图象上点的坐标特征
相似三角形的性质与判定
【解析】
作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，易证得△AOM∽△ODN，根据系数三角形的性质即可求得k的值，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得△OEF的面积．
【解答】
解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N.
∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，
∴ ∠AOM +∠DON =∠ODN +DON =90∘， ∴ ∠AOM =∠ODN .
∵ ∠AMO =∠OND =90∘， ∴ △AOM ∼△ODN ， ∴ S △AOM S △ODN
=(OA
OD )2.
∵ A
点在双曲线y =4x
上，
AC
BD
=2
3，
∴ S △AOM =1
2×4=2，OA
OD =2
3， ∴ 2
S
△ODN
=(2
3)2，
∴ S △ODN =9
2.
∵ D 点在双曲线y =k
x (k <0)上， ∴ 1
2|k|=9
2，
∴ k =−9.
∵ 平行于x 轴的直线与两双曲线分别交于点E ，F ， ∴ S △OEF =1
2×4+1
2×9=132
.
故答案为：132.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD // BC ，∠B =90∘， ∴ ∠DAF =∠AEB ， ∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD =90∘， ∴ ∠AFD =∠B ， ∴ △ABE ∼△DFA .
(2)∵ E 是BC 的中点，BC =4， ∴ BE =2， ∵ AB =6，
∴ AE =√AB 2+BE 2=√62+22=2√10， ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD =BC =4， ∵ △ABE ∼△DFA ， ∴ AB DF =AE
AD ，
∴ DF =
AB⋅AD AE
=2
√
10
=6
5√10． 【考点】
矩形的性质
相似三角形的判定 相似三角形的性质
【解析】
（1）由矩形性质得AD // BC ，进而由平行线的性质得∠AEB ＝∠DAF ，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由E 是BC 的中点，求得BE ，再由勾股定理求得AE ，再由相似三角形的比例线段求得DF ． 【解答】
解：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD // BC ，∠B =90∘， ∴ ∠DAF =∠AEB ， ∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD =90∘， ∴ ∠AFD =∠B ， ∴ △ABE ∼△DFA .
(2)∵ E 是BC 的中点，BC =4， ∴ BE =2， ∵ AB =6，
∴ AE =√AB 2+BE 2=√62+22=2√10， ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD =BC =4， ∵ △ABE ∼△DFA ， ∴
AB DF
=
AE AD
，
∴ DF =
AB⋅AD AE
=
2√10=6
5
√10． 【答案】
(1)证明：连接OD ，如图1.
∵ 过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ， ∴ ∠ODF =90∘，
∴ ∠ADO +∠BDF =90∘. ∵ OA =OD ，
∴ ∠OAD =∠ODA ， ∴ ∠OAD +∠BDF =90∘. ∵ ∠C =90∘，
∴ ∠OAD +∠B =90∘， ∴ ∠B =∠BDF ， ∴ BF =DF .
(2)解：连接OF ，OD ，如图2.
设圆的半径为r ，则OD =OE =r . ∵ AC =4，BC =3，CF =1，
∴ OC =4−r ，DF =BF =3−1=2. ∵ OD 2+DF 2=OF 2=OC 2+CF 2， ∴ r 2+22=(4−r)2+12， ∴ r
=
13
8
，
故圆的半径为13
8． 【考点】 切线的性质
等腰三角形的性质与判定 勾股定理
【解析】
（1）连接OD ，由切线性质得∠ODF ＝90∘，进而证明∠BDF +∠A ＝∠A +∠B ＝90∘，得∠B ＝∠BDF ，便可得BF ＝DF ；
（2）设半径为r ，连接OD ，OF ，则OC ＝4−r ，求得DF ，再由勾股定理，利用OF 为中间变量列出r 的方程
便可求得结果． 【解答】
(1)证明：连接OD ，如图1.
∵ 过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ， ∴ ∠ODF =90∘，
∴ ∠ADO +∠BDF =90∘. ∵ OA =OD ，
∴ ∠OAD =∠ODA ， ∴ ∠OAD +∠BDF =90∘. ∵ ∠C =90∘，
∴ ∠OAD +∠B =90∘， ∴ ∠B =∠BDF ， ∴ BF =DF .
(2)解：连接OF ，OD ，如图2.
设圆的半径为r ，则OD =OE =r . ∵ AC =4，BC =3，CF =1，
∴ OC =4−r ，DF =BF =3−1=2. ∵ OD 2+DF 2=OF 2=OC 2+CF 2， ∴ r 2+22=(4−r)2+12， ∴ r =
138
，
故圆的半径为138
．
【答案】
(1)证明：连接DO ，如图所示：
∵∠ACB=90∘，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线.
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90∘，
∴∠BDE+∠ADO=90∘，
∴∠BDE+∠A=90∘
又∵∠B+∠A=90∘，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC.
3,45
【考点】
切线的性质
切线长定理
正方形的判定与性质
【解析】
（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出结论；
（2）①由含30∘角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45∘，于是∠DOC=90∘然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【解答】
(1)证明：连接DO，如图所示：
∵∠ACB=90∘，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线.
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90∘，
∴∠BDE+∠ADO=90∘，
∴∠BDE+∠A=90∘
又∵∠B+∠A=90∘，∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC.
(2)解：①∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=2√3，∴AB=2AC=4√3，
∴BC=√AB2−AC2=6.
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90∘.
由(1)得：BE=EC，
∴DE=1
2
BC=3；
②当∠B=45∘时，四边形ODEC是正方形，
理由如下：
∵∠ACB=90∘，
∴∠A=45∘.
∵OA=OD，
∴∠ADO=45∘，
∴∠AOD=90∘，
∴∠DOC=90∘.
∵∠ODE=90∘，
∴四边形DECO是矩形.
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：3；45．
【答案】
解：(1)函数图象如图所示.
>,<,=
(3)①由题意，
y=1×1+2(x+1
x
)×0.5=x+1
x
+1(x>0).
②x+1
x
+1≤3.5，
∴x+1
x
≤2.5，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，1
2
≤x≤2，
因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长应控制在1
2
≤x≤2.
【考点】
函数的图象
函数关系式
【解析】
（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出）与x
的函数关系式；
②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【解答】
解：(1)函数图象如图所示.
(2)根据图象和表格可知，
当0<x1<x2≤1时，y1>y2；
当1<x1<x2，则y1<y2；
当x1⋅x2=1，则y1=y2.
故答案为：>；<；=.
(3)①由题意，
y=1×1+2(x+1
x )×0.5=x+1
x
+1(x>0).
②x+1
x
+1≤3.5，
∴x+1
x
≤2.5，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，1
2
≤x≤2，
因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长应控制在1
2
≤x≤2. 【答案】
解：∵△AOC的面积为4，
∴1
2
|k|=4，
解得k=−8或k=8（不符合题意舍去），∴反比例函数的关系式为y=−8
x
，
把点A(−2, a)和点B(b, −1)代入y=−8
x
，
得a=4，b=8.
(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知，mx+n>k
x
x的取值范围是x<−2或0<x<8.
(3)∵点A(−2, 4)关于y轴的对称点A′(2, 4)，
又B(8, −1)，则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P.
设直线A′B的关系式为y=cx+d，
则有{
2c+d=4,
8c+d=−1,
解得，{
c=−5
6
,
d=17
3
,
∴直线A′B的关系式为y=−5
6
x+17
3
，
∴直线y=−5
6
x+17
3
与y轴的交点坐标为(0, 17
3
)，
即点P的坐标为(0, 17
3
)．
【考点】
反比例函数系数k的几何意义
反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数与一次函数的综合
三角形三边关系
【解析】
（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
（2）根据图象直接写出mx+n>k
x
的解集；
（3）求出点A(−2, 4)关于y轴的对称点A′(2, 4)，根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
【解答】
解：∵△AOC的面积为4，
∴1
2
|k|=4，
解得k=−8或k=8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y=−8
x
，
把点A(−2, a)和点B(b, −1)代入y=−8
x
，
得a=4，b=8
.
(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知，mx +n >k
x x 的取值范围是x <−2或0<x <8.
(3)∵ 点A(−2, 4)关于y 轴的对称点A ′(2, 4)，
又B(8, −1)，则直线A ′B 与y 轴的交点即为所求的点P . 设直线A ′B 的关系式为y =cx +d ， 则有{2c +d =4,8c +d =−1,
解得，{c =−5
6,
d =173,
∴ 直线A′B 的关系式为y =−5
6x +
173
，
∴ 直线y =−56
x +
173
与y 轴的交点坐标为(0, 173
)，
即点P 的坐标为(0, 17
3)．
【答案】
证明：(1)∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠AEB =90∘，
∴ ∠EAB +∠EBA =90∘.
∵ ∠CBE =∠BDE ，∠BDE =∠EAB ， ∴ ∠EAB =∠CBE ，
∴ ∠EBA +∠CBE =90∘，即∠ABC =90∘， ∴ CB ⊥AB .
∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ BC 是⊙O 的切线. (2)∵ BD 平分∠ABE ， ∴ ∠ABD =∠DBE . ∵ ∠DAF =∠DBE ， ∴ ∠DAF =∠ABD . ∵ ∠ADB =∠ADF ， ∴ △ADF ∼△BDA ， ∴
AD BD
=
DF AD
，
∴ AD 2=DF ⋅DB ． 【考点】 圆周角定理 切线的判定
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB +∠EBA ＝90∘，再由已知得出∠ABE +∠CBE ＝90∘，则CB ⊥AB ，从而证得BC 是⊙O 的切线；
（2）通过证得△ADF ∽△BDA ，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论． 【解答】
证明：(1)∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠AEB =90∘，
∴ ∠EAB +∠EBA =90∘.
∵ ∠CBE =∠BDE ，∠BDE =∠EAB ， ∴ ∠EAB =∠CBE ，
∴ ∠EBA +∠CBE =90∘，即∠ABC =90∘， ∴ CB ⊥AB .
∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ BC 是⊙O 的切线. (2)∵ BD 平分∠ABE ， ∴ ∠ABD =∠DBE . ∵ ∠DAF =∠DBE ， ∴ ∠DAF =∠ABD . ∵ ∠ADB =∠ADF ， ∴ △ADF ∼△BDA ， ∴
AD BD
=
DF AD
，
∴ AD 2=DF ⋅DB ．
【答案】
解：(1)依据1指的是：同弧所对的圆周角相等；
依据2指的是：两角分别对应相等的两个三角形相似． 勾股定理
(3)如图，连接BD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ．
∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴ ∠BAD +∠BCD =180∘，
∴ ∠BCD =180∘−∠BAD =180∘−60∘=120∘.
∵ 点C 为BD ̂的中点， ∴ CD
̂=CB ̂， ∴ CD =CB ， ∴ ∠CDB =30∘. 在Rt △CED 中，DE =
√3
2
CD ， ∴ BD =2DE =√3CD .
由托勒密定理得AC ⋅BD =AB ⋅CD +AD ⋅BC ， ∴ AC ⋅√3CD =3CD +5CD ， ∴ √3AC ⋅CD =8CD ， ∴ AC =
8√3
3
.
【考点】
相似三角形的判定 圆周角定理 勾股定理的应用 含30度角的直角三角形 圆心角、弧、弦的关系
【解析】
（1）根据圆周角定理的推论以及三角形相似的判定定理，即可得到答案. （2）根据矩形的性质和托勒密定理，即可得到答案.
（3）连接BD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，由四边形ABCD 内接于⊙O, 点C 是弧BD 的中点，可得△BCD 是底角为30∘的等腰三角形，进而得BD =2DE =√3CD ，结合托勒密定理，列出方程，即可求解． 【解答】
解：(1)依据1指的是：同弧所对的圆周角相等；
依据2指的是：两角分别对应相等的两个三角形相似． (2)当圆内接四边形ABCD 是矩形时， ∴ AC =BD ， BC =AD ，AB =CD ，
∵ 由托勒密定理得： AC ⋅BD =AB ⋅CD +BC ⋅AD ， ∴ AC 2=AB 2+BC 2. 故答案为：勾股定理.
(3)如图，连接BD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ．
∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴ ∠BAD +∠BCD =180∘，
∴ ∠BCD =180∘−∠BAD =180∘−60∘=120∘.
∵ 点C 为BD ̂的中点， ∴ CD
̂=CB ̂， ∴ CD =CB ， ∴ ∠CDB =30∘. 在Rt △CED 中，DE =
√3
2
CD ， ∴ BD =2DE =√3CD
.
由托勒密定理得AC ⋅BD =AB ⋅CD +AD ⋅BC ， ∴ AC ⋅√3CD =3CD +5CD ， ∴ √3AC ⋅CD =8CD ，
∴ AC =
8√3
3
. 【答案】
解：(1)由题意可得，OP =8−t ，OQ =t ， ∴ OP +OQ =8−t +t =8(cm)．
(2)当t =4时，线段OB 的长度最大．理由如下： 如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD // OQ ．
∵ OT 平分∠MON ，
∴ ∠BOD =∠OBD =45∘，
∴ BD =OD ，OB =√2BD ． 设线段BD 的长为x ，
则BD =OD =x ，OB =√2BD =√2x ，PD =8−t −x . ∵ BD // OQ ， ∴ PD
OP =BD
OQ ， ∴
8−t−x 8−t =x
t
，
∴ x =
8t−t 28
，
∴ OB =√2×
8t−t 28
=−
√28
(t −4)2+2√2.
∵ 二次项系数小于0，
∴ 当t =4时，线段OB 的长度最大，最大为2√2cm ．
(3)∵ ∠POQ =90∘，
∴ PQ 是圆的直径， ∴ ∠PCQ =90∘．
∵ ∠PQC =∠POC =45∘， ∴ △PCQ 是等腰直角三角形， ∴ S △PCQ =1
2PC ⋅QC =1
2×
√2
2
PQ ×
√2
2
PQ =1
4PQ 2.
在Rt △POQ 中，PQ 2=OP 2+OQ 2=(8−t)2+t 2， ∴ 四边形OPCQ 的面积S =S △POQ +S △PCQ =12OP ⋅OQ +1
4
PQ 2 =12t(8−t)+1
4
[(8−t)2+t 2]
=16，
∴ 四边形OPCQ 的面积为16cm 2． 【考点】 圆的综合题 动点问题 平行线的性质 二次函数的最值 【解析】
【解答】
解：(1)由题意可得，OP =8−t ，OQ =t ， ∴ OP +OQ =8−t +t =8(cm)．
(2)当t =4时，线段OB 的长度最大．理由如下： 如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD // OQ ．
∵ OT 平分∠MON ，
∴ ∠BOD =∠OBD =45∘，
∴ BD =OD ，OB =√
2BD ． 设线段BD 的长为x ，
则BD =OD =x ，OB =√2BD =√2x ，PD =8−t −x . ∵ BD // OQ ， ∴ PD OP
=
BD OQ
，
∴
8−t−x 8−t
=x
t ，
∴ x =
8t−t 2
8
，
∴ OB =√2×
8t−t 28
=−
√28
(t −4)2+2√2.
∵ 二次项系数小于0，
∴ 当t =4时，线段OB 的长度最大，最大为2√2cm ． (3)∵ ∠POQ =90∘，
∴ PQ 是圆的直径， ∴ ∠PCQ =90∘．
∵ ∠PQC =∠POC =45∘， ∴ △PCQ 是等腰直角三角形， ∴ S △PCQ =1
2PC ⋅QC
=1
2
×
√2
2
PQ ×
√2
2
PQ =1
4
PQ 2.
在Rt △POQ 中，PQ 2=OP 2+OQ 2=(8−t)2+t 2， ∴ 四边形OPCQ 的面积S =S △POQ +S △PCQ =1OP ⋅OQ +1
PQ 2 =12t(8−t)+1
4[(8−t)2+t 2] =16，
∴ 四边形OPCQ 的面积为16cm 2．。