中考试题一模汇编：多边形

北京市2016年各区中考一模汇编
平面几何之多边形
一、多边形基础
1.【2016海淀一模，第05题】
如图，在ABCD 中，3AB =，5BC =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则DE 的长为 A.5 B. 4 C. 3 D. 2
2.【2016通州一模，第16题】
在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图1是由边长 相等的小正方形和直角三角形构成的，
可以用其面积关系验证勾股定理. 图2 是由图1放入矩形内得到的，
90BAC ∠=︒，AB =3，AC =4，则D ， E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，
那么矩形KLMJ 的面积为__________.
二、多边形之平行四边形
3.【2016东城一模，第22题】
如图：在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E （尺
规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF ． （1）求证：四边形ABEF 为菱形；
（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF =6，AB =5，求AE 的
长．
4.【2016丰台一模，第22题】
如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ，AE 与BF 相交于点O ，连接EF ． A
E
D
B C
图2
图1
J
M
L
K D
E
H
I A
G F C
B O F E D
C B
（1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若AE= 6，BF = 8，CE = 3，
求□ABCD 的面积．
5.【2016平谷一模，第22题】
如图，□ABCD ，点E 是BC 边的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC =∠DEC ，连接CF ，DE ．
（1）求证：四边形DECF 是平行四边形； （2）若AB =13，DF =14，12
tan 5
A =，求CF 的长．
6.【2016朝阳一模，第22题】
如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠
CDF =∠BAE ．（1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；
（2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．
7.【2016海淀一模，第22题】
如图，矩形则ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DG 的延长线于点E （1）求证：BD BE =；
（2）若10BE =，6CE =，连接OE ，求tan OED ∠的值
A
D
C O B
E
8.【2016西城一模，第21题】
如图，在ABCD Y 中，过点A 作AE DC ⊥交DC 的延长线于点E ，过点D 作AE DF //交BA 的延长线于点F ． （1）求证：四边形AEDF 是矩形；
F
E
D
C
B A
A F
E C
D B
（2）连接BD ，若2AB AE ==，2
5
tan FAD ∠=
，求BD 的长．E
F
D
A
C
B
9.【2016西城一模，第28题】
在正方形ABCD 中，点P 是射线CB 上一个动点，连接PA ，PD ，点M ，
N 分别为BC ，AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q ．
（1）如图1，当点P 与点B 重合时，QPM ∆的形状是____________________；
（2）当点P 在线段CB 的延长线上时，如图2． ①依题意补全图2；
②判断QPM ∆的形状，并加以证明；
（3）点P '与点P 关于直线AB 对称，且点P '在线段BC 上，连接AP '，若
点Q 恰好在直线AP '上，正方形ABCD 的边长为2，请写出求此时BP 长的思路．（可以不写出计算结果）
Q
M
N
B
D
A C
B
D
A
C
P
B
D
A
C
图1 图2 图3
10.【2016通州一模，第23题】
如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；
（2）如果点E 是AB 的中点，AC =4，EC =2.5，求四边形ABCD 的面积．
D
E
A
三、多边形之筝形
11.【2016东城一模，第26题】
在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.
定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）.
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD 的面积.
图1 图2
12.【2016丰台一模，第26题】
研究一个几何图形，我们经常从这个图形的定义、性质、判定三个方面进行研究. 下面我们来研究筝形. 如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC
=DC，则四边形ABCD是筝形．
（1）请你用文字语言为筝形定义；
（2）请你进一步探究，写出筝形的性质（写二条即
可）；
（3）除了定义，请你再探究出一种筝形的判定方法并证明.
13.【2016丰台一模，第28题】
在矩形ABCD 中，将对角线CA 绕点C 逆时针旋转得到CE ，连接AE ，取AE 的中点F ，连接BF ，DF .
（1）若点E 在CB 的延长线上，如图1. ①依题意补全图1；
②判断BF 与DF 的位置关系并加以证明；
（2）若点E 在线段BC 的下方，如果∠ACE =90°，∠ACB =28°，AC =6，请写出求BF 长的思路.（可以不写出计算结果．．．．．．．．．
）
14.【2016西城一模，第26题】
有这样一个问题：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．
小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．
下面是小南的探究过程：
（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整； 已知：如图，在筝形ABCD 中，AB AD =，CB CD = 求证：___________________________． 证明：
A B C D A B C
D
由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等． （2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：
________________________________________________________________．
（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．
详细解答
1. D
2. 110；
3. 解：（1）证明： 由尺规作∠BAD 的平分线的过程可知，
AB =AF ，且∠BAE =∠FAE . 又∵平行四边形ABCD ，
∴∠FAE =∠AEB . ∴∠BAE =∠AEB . ∴AB =BE . ∴BE= FA .
∴四边形ABEF 为平行四边形.
∴四边形ABEF 为菱形. …………2分 （2）∵四边形ABEF 为菱形， ∴AE ⊥BF ，OB =
2
1
BF =3，AE =2AO . 在Rt △AOB 中，AO =22-453 .
∴AE =2AO =8. …………5分
4. （1）证明：在ABCD Y 中， ∴AD ∥BC .
∴DAE AEB ??.
∵BAD Ð的平分线交BC 于点E ，∴DAE
BAE ??.∴
BAE BEA ??.
∴AB BE =.
同理可得AB AF =. ∴AF BE =.
∴四边形ABEF 是平行四边形. ∴ABEF Y 是菱形. -------- 3分
（2）解：过F 作FG ^BC 于G .
∵是菱形， 6AE =，8BF =
∴AE ^BF ，
1
32
OE AE =
=，1 4.2OB BF ==
∴22 5.BE OB OE =+=
∵
∴24.5
FG = ∴
. -------- 5分
5. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴A D ∥
BC ． (1)
∴∠ADE =∠DEC ． ∵∠AFC =∠DEC ， ∴∠AFC =∠ADE ， ∴DE ∥FC ．
∴四边形D E C F 是平行四边
形． (2)
（2）解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ， (3)
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD =∠A ，AB=CD =13
∵12
tan 5
A
，AB =13， ∴DH =12，
CH =5．…………
4
A F
E
C
D H B
∵DF =14，∴CE =14． ∴EH =9．
∴FD =22912+=15．
∴CF=DE =15． (5)
6. （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴DC AB =,DCF B ∠=∠=90º． ∵BAE CDF ∠=∠， ∴△ABE ≌△DCF ．………………1分
∴CF BE =． ∴EF BC =．
∵AD BC =, ∴AD EF =．………………………2分 又∵EF ∥AD ，
∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………3分 （2）解：由（1）知，EF =AD = 5． 在△EFD 中，DF =3，DE =4，EF =5，
∴222DE DF EF +=．
∴∠EDF =90º．…………………………………………………4分 ∴11
22
ED DF EF CD ⋅=⋅． ∴12
5
CD =． ……………………………………………………
5分
7. 1）证明∵四边形ABCD 为矩形，,//AC BC AB DC ∴=.∵AC //BE
∴四边形ABEC 为平形四边形 2分 AC BE ∴=
BD BE ∴=
3分 （2）解：过点O 作OF CD ⊥于点F
∵四边形ABCD 为矩形。

90BCD ∴∠=︒∵BE =BD =10，6CD CE ∴==
同理，可得1
32CF DF CD ===.
9EF ∴=
4分 在Rt BCE =∆中，由勾股定理可得8BC =。

∵OE =OD ，OF ∴为BCD ∆的中位线。

1
42
OF BC ∴==∴在Rt OEF ∆中，4tan 9OF OED EF ∠=
= 5分
F
E D
C
B
A
A
D
O
F
C
B
E 8.
9.
10.
11.
∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形， (1)
分；
∵AC平分∠BAD，∴EAC DAC
∠=∠，
∴EAC ACD ∠=∠，
∴DAC ACD ∠=∠，
∴AD =CD ， ………………… 2分；
∴四边形AECD 是菱形.
（2）∵四边形AECD 是菱形，
∴AE =CE ，
∴EAC ACE ∠=∠，
∵点E 是AB 的中点，
∴AE =BE ，
∴B ECB ∠=∠，
∴90ACE ECB ∠+∠=︒，即90ACB ∠=︒ (3)
分；
∵点E 是AB 的中点，EC =2.5，
∴AB =2EC=5，
∴BC =3. (4)
分；
∴S △ABC =162BC AC ⋅=.∵点E 是AB 的中点，四边形AECD 是菱形， ∴S △AEC =S △EBC =S △ACD =3.∴四边形ABCD 的面积=S △AEC +S △EBC +S △
ACD =9. ………………… 5分；
13. 解：
（1）菱形（正方形）.…………1分
（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对
角线所在的直线垂直平分另一条对角线.（写出其中的两条就
行） …………3分
已知：筝形ABCD.
求证：∠B =∠D.
证明：连接AC .
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC.
∴∠B =∠D. …………4分
（3）连接AC .
过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E .∵∠
ABC=120°，
∴∠EBC=60°. D
E A C B
∴BE =1，CE =3.
∴S 四边形ABCD =21122434322
ABC S AB CE ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. …5分
14. . 解：（1）两组邻边分别相等的四边形叫做筝形. --------- 1分
（2）①筝形有一组对角相等； ---------
2分
②筝形是轴对称图形. --------- 3
分
（3）一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.------ 4分
已知：如图，四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线.
求证：四边形ABCD 是筝形.
证明：∵AC 是BD 的垂直平分线,
∴,AB AD CB CD ==.
∴四边形ABCD 是筝形. --------- 5
分
13.（1）
① 补全图形，如图所示. ----------- 1分
② 判断：.BF DF ^
证明：延长DF 与CE 的延长线交于点G ，
连接BD 交AC 于.O
∵在矩形ABCD 中，
AD ∥BC ，AD BC =,,AC BD =
∴.ADF G ??
∵AFD EFG ??，AF EF =，
∴AFD V ≌EFG V . ----------- 3分
∴EG AD =,.GF DF =
∴.EG BC =
∴.BG EC = ∴.BG BD =
∴.BF DF ^----------- 5分
（2）求解思路如下：
a. 由90ACE ??画出图形，如图所示.
b. 与②同理，可证BF DF ^；
c. 由28ACB ??，可
求,BAC AOB 行
的度数； d ． 由OF 是ACE V 的中位线可得,,AOF BOF BDF 行
?的度数；e. 在Rt BFD V 中，由BDF Ð的度数和BD 的长，可求BF 的长。

----------- 7分
A B C D E G
A B C D E
14.
初中数学试卷
灿若寒星制作。