高中数学第一章解三角形测评B含解析新人教A版必修5

第一章解三角形测评B
(高考体验卷)
(时间:90分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为( )
A.-
B.
C.1
D.
解析:∵3a=2b,∴由正弦定理得.
∴.∴=2×-1
=2×-1=-1=.
答案:D
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3
B.
C.
D.3
解析:在△ABC中,由已知条件及余弦定理可得c2=(a-b)2+6=a2+b2-2ab cos,整理得ab=6, 再由面积公式S=ab sin C,得S△ABC=×6×sin.故选C.
答案:C
3.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5
B.
C.2
D.1
解析:由题意知S△ABC=AB·BC·sin B,
即×1×sin B,解得sin B=.
∴B=45°或B=135°.
当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+()2-2×1×=1.
此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;
当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+()2-2×1×=5,解得AC=.
符合题意.故选B.
答案:B
4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于( )
A.240(-1)m
B.180(-1)m
C.120(-1)m
D.30(+1)m
解析:如图,作AD⊥BC,垂足为D.
由题意,得DC=60×tan60°=60(m),
DB=60×tan15°=60×tan(45°-30°)
=60×=60×
=(120-60)m.
所以BC=DC-DB=60-(120-60)=120-120=120(-1)(m),故选C.
答案:C
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( )
A.2+2
B.+1
C.2-2
D.-1
解析:A=π-(B+C)=π-,
由正弦定理得,
则a=,
∴S△ABC=ab sin C=×2×()×+1.
答案:B
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a sin B cos C+c sin B cos A=b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
解析:根据正弦定理:a sin B cos C+c sin B cos A=b等价于sin A cos C+sin C cos A=, 即sin(A+C)=.
又a>b,∴∠A+∠C=,∴∠B=.故选A.
答案:A
7.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c=( )
A.2
B.2
C.
D.1
解析:由正弦定理得:,
又∵B=2A,∴,
∴cos A=,∴∠A=30°,
∴∠B=60°,∠C=90°,
∴c==2.
答案:B
8.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=( )
A. B. C. D.
解析:在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC=2+9-2××3×=5,即得AC=.
由正弦定理,
即,所以sin∠BAC=.
答案:C
9.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则
b=( )
A.10
B.9
C.8
D.5
解析:由23cos2A+cos2A=0,得cos2A=.
∵A∈,∴cos A=.
∵cos A=,∴b=5或b=-(舍).
故选D.
答案:D
10.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ).
A. B. C. D.
解析:在△ABC中,由余弦定理可知:
AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,
即7=AB2+4-2×2×AB×.
整理得AB2-2AB-3=0.
解得AB=-1(舍去)或AB=3.
故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin60°=.
答案:B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A 的值为.
解析:由2sin B=3sin C,结合正弦定理得2b=3c,
又b-c=a,所以b=c,a=2c.
由余弦定理得cos A=
==-.
答案:-
12.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知b cos C+c cos B=2b,则
=.
解析:因为b cos C+c cos B=2b,所以由正弦定理可得
sin B cos C+sin C cos B=2sin B,
即sin(B+C)=2sin B,
所以sin(π-A)=2sin B,即sin A=2sin B.
于是a=2b,即=2.
答案:2
13.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.
解析:由题意及余弦定理得cos A=,解得c=2.
所以S=bc sin A=×4×2×sin60°=2.
故答案为2.
答案:2
14.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.
解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.
∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.
由余弦定理,得cos A=.
∴sin A=.
由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.
∵(b-c)2≥0,∴b2+c2≥2bc,
即4+bc≥2bc,∴bc≤4.
∴S△ABC=bc·sin A≤,即(S△ABC)max=.
答案:
15.在△ABC中,已知=tan A,当A=时,△ABC的面积为.
解析:由=tan A,可得||||cos A=tan A.
因为A=,所以||||·,
即||||=.
所以S△ABC=|·sin A
=.
答案:
三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分) 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a值;
(2)求sin的值.
解:(1)因为A=2B,所以sin A=sin2B=2sin B cos B.
由正弦定理、余弦定理得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.
(2)由余弦定理得cos A=
==-.
由于0<A<π,所以sin A
=.
故sin=sin A cos+cos A sin
=.
17.(6分) 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解:(1)由=2,得c·a cos B=2.
又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2ac cos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,
sin B=,
由正弦定理,得sin C=sin B=.
因a=b>c,所以C为锐角,
因此cos C=.
于是cos(B-C)=cos B cos C+sin B sin C
=.
18.(6分) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin B cos B.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A=,求△ABC的面积.
解:(1)由题意得
=sin2A-sin2B,
即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,
sin=sin,
由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),
得2A-+2B-=π,
即A+B=,所以C=.
(2)由c=,sin A=,得a=.
由a<c,得A<C,从而cos A=,
故sin B=sin(A+C)
=sin A cos C+cos A sin C=.
所以△ABC的面积为S=ac sin B=.
19.(7分) 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解:(1)如题图,在△ADC中,由余弦定理,
得cos∠CAD=.
故由题设知,cos∠CAD=.
(2)如题图,设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,
所以sin∠CAD=
=,
sin∠BAD=
=.
于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BAD cos∠CAD-cos∠BAD sin∠CAD
=.
在△ABC中,由正弦定理,.
故BC==3.。