2018高考数学文科异构异模复习考案撬分法习题 第七章 不等式 课时撬分练7-3 含答案 精品

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时间：45分钟
基础组
1.已知实数x ，y 满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋1≥0，
|x |－y －1≤0，
则z ＝2x ＋y 的最大值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
答案 C
解析 区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8.
2. 当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x x ＋3y ≤4
x ≥m
时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的
值是( )
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A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
答案 A
解析 画出可行域，如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z
3
，当直线过点C 时，
z 取到最大值，
又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4.故选A. 3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋3y ≤15y ≤x ＋1
x －5y ≤3，则3x ＋5y 的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
答案 D
解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由图可知，3x ＋5y 在点(－2，－1)处取得最
小值，在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，52处取得最大值，即3x ＋5y ∈．故选D.
4．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≥0y ≥x
y ≥－x ＋b 且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )
A ．1
B ．2
C.52 D ．3
答案 D
解析
由可行域可知目标函数z ＝2x ＋y 在直线2x －y ＝0与直线y ＝－x ＋b 的交点⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 3，2b 3处取得最小值4，所以4＝2×b 3＋2b
3
，解得b ＝3，所以选D.
5．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥0x －y ≤0
0≤y ≤k
，若z 的最大值为6，则z 的最小
值为( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
答案 A
解析
作出满足实数x ，y 的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝x ＋y 经过点A (k ，k )时取得最大值，即k ＋k ＝6，所以k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－2k ，
k )时取得最小值，最小值为－2k ＋k ＝－k ＝－3，故选A.
6. 在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≥1
所确定的平面区域内的动
点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →
|的最小值为( )
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A.55
B.23
C.22
D ．1
答案 A
解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →
＝OQ →
，则|OP →＋OQ →
|＝|OP →
＋Q ′O →
|＝|Q ′P →
|≥|P ′P →
|≥|BA →
|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图：
因为|AB →|＝
|0＋1|12
＋2
2
＝5
5
， 因此|OP →＋OQ →|min ＝
5
5
，故选A. 7．定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0，且函数y ＝
f (x －1)的图象关于点(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则
当1≤s ≤4时，
t －2s
s ＋t
的取值范围是( ) A.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－3，－12
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－3，－12 C.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－5，－12 D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－5，－12
答案 D
解析 ∵定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0，∴f (x )
为R 上的减函数．∵函数f (x －1)的图象关于点(1,0)成中心对称，∴f (x )的图象关于点(0,0)成中心对称，∴f (x )为奇函数，f (x )＝－f (－x )，∴f (s 2
－2s )≤－f (2t －t 2
)⇒f (s 2
－2s )≤f (t 2
－2t )⇒s 2
－2s ≥t 2
－2t ⇒(s －t )(s ＋t －2)≥0⇒s ≥t 且s ＋t ≥2或s ≤t 且s ＋t ≤2，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
1≤s ≤4s ≤t
s ＋t ≤2
的只有点(s ，t )＝(1,1)，
当⎩⎪⎨⎪
⎧
1≤s ≤4s ≥t s ＋t ≥2
时，可行域如图阴影部分所示，由图可知，t s ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，而t －2s
s ＋t
＝
t ＋s －3s s ＋t ＝1－31＋t s ，从而可知1－31＋t s
∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－5，－12.选D.
8．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，
x ＋3y －2≥0
表示的平面区域的面积为________．
答案 4
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝1
2×2×(2＋2)
＝4.
9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x －2y≥0，
x ＋3y≥0
所确定的平面区域，则圆x 2
＋y 2
＝4在区域D 内的弧长是________． 答案
π
2
解析 作出可行域D ，如图的阴影部分所示．
设弧为AB ︵
，x －2y ＝0的斜率k 1＝12，倾斜角θ，有tan θ＝1
2，x ＋3y ＝0的斜率为k 2＝
－13，倾斜角为ρ，有tan ρ＝－1
3
，则∠AOB＝θ＋(π－ρ)＝θ＋π－ρ. tan ∠AOB＝tan (θ＋π－ρ)＝tan (θ－ρ)
＝tan θ－tan ρ
1＋tan θtan ρ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－131＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13＝1， 则∠AOB＝π4.故l AB ︵＝
π4×2＝π
2. 10．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥1，y≤2，
x －y≤0，
则可行域的面积为________．
答案 12
解析 作出可行域如图(阴影部分)所示，所以可行域的面积为S ＝12×1×1＝1
2.
11．在平面直角坐标系xOy 中，若点P(m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y≥3表示的平面区域内，则m ＝________.
答案 6
解析 由题意得|4m －3－1|
5＝4，及2m ＋1≥3解得m ＝6.
12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥0，x ＋3y≥4，
3x ＋y≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．
答案 0
解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥0，x ＋3y≥4，
3x ＋y≤4
表示的平面区域，得到如图所示的△ABC 及其内
部，其中A(1,1)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，43，C(0,4)．
经过点A 时，目标函数z 达到最小值．
∴z min ＝－1＋1＝0.
能力组
13.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，
2x ＋y －3≤0，
则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为
( )
A ．3
B ．4
C ．18
D ．40
答案 C
解析 由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，当动直线x ＋6y －z ＝0过点(0,3)时，z max ＝0＋6×3＝18.故选C.
14．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，
0≤y ≤3，
则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
答案 C
解析 由约束条件画出如图所示的可行域，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x
＋z 过点A 时，z 有最大值，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
x ＋2y ＝8得A (4,2)，∴z max ＝2×4＋2＝10.故答案为C.
15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0
x ＋y －4≥0
且有无穷多个点(x ，y )使目标函
数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.
答案 1
解析 作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋z
m
，
若m <0，则－1
m
>0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有
无穷多个；
若m >0，则－1
m
<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在
线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1
m
＝－1，则m ＝1.
综上可知，m ＝1.
16．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，
(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1
2
的最值；
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．
解 (1)作出可行域如图所示， 可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．
平移初始直线12x －y ＋1
2＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.
∴z 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a
2<2，
解得－4<a <2.
故所求a 的取值范围是(－4,2)．。