攀枝花市第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

攀枝花市第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数
z=（其中i 是虚数单位），则z
的共轭复数=（ ） A
．
﹣i
B
．﹣
﹣i C
．
+i
D
．﹣
+i
2． 已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（ ）
A ．a=3
B ．a=﹣3
C ．a=±3
D ．a=5或a=±3
3． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如
由2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22
500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯ 附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
4． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．π
B ．
C ．
D ．
5． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥
6． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n αγ= ，则//αβ C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥ D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥
7． 设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2
项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37
8． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A ．21n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -=
C ．(1)
2
n n n a += D ．21n a n =+ 9． 已知四个函数f （x ）=sin （sinx ），g （x ）=sin （cosx ），h （x ）=cos （sinx ），φ（x ）=cos （cosx ）在x ∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（ ）
A ．f （x ）﹣①，g （x ）﹣②，h （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
B ．f （x ）﹣①，φ（x ）﹣②，g （x ）﹣③，
h （x ）﹣④
C ．g （x ）﹣①，h （x ）﹣②，f （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
D ．f （x ）﹣①，h （x ）﹣②，g （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
10．已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域
上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．
二、填空题
11．设
是空间中给定的个不同的点，则使
成立的点的个数有_________个．
12．已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.
13．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：06222
2
=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的
距离的2倍，则=m .
14．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 . 15．在△ABC 中，
，
，
，则
_____．
16．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；
②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．
三、解答题
17．（本题12分）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p nq =+（*
n N ∈，p ，为常数），且145x x x ，，成等差数列，求：
（1）p q ，的值；
（2）数列{}n x 前项和n S 的公式.
18．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线2
4y x =相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
19．已知函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．
（Ⅰ）若直线l ：y=k 1x 是函数y=f （﹣x ）的图象的切线，直线m ：y=k 2x 是函数y=g （x ）图象的切线，求证：l ⊥m ；
（Ⅱ）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P=g （），Q=
，R=
，试比较P ，Q ，R 的
大小，并说明理由．
20．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD 绕
AD 旋转一周所成几何体的表面积．
21．设集合{}
{}2
|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B = ，求实数组成的集合C ．
22．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
55
Ⅰ2×295%的把握认为“歌迷”与性别有关？
“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌
3.841 6.635
附：K 2
=
．
攀枝花市第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵z==，
∴=．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2．【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，
∴2a﹣1=9或a2=9，
当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；
当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；
∴a=﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
3．【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年由于9.967 6.635
人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D．
4．【答案】D
【解析】解：由函数f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为=π，可得ω=1，
故f（x）=﹣cos2x．
若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=﹣cos2（x﹣a）=﹣cos（2x﹣2a）的图象；
再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+，a=+，k∈Z．
则实数a的最小值为．
故选：D
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．
5． 【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，
∴a ＜0，
且△=b 2
﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．
故选A ．
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A 不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B 不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D 不正确；根据面面垂直的判定定理知C 正确．故选C ． 考点：空间直线、平面间的位置关系． 7． 【答案】 D
【解析】
二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．
【分析】由含x 一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m 、n 为正整
数，可得m=3、n=2，从而求得含x 2
项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n
中含x 一次项的系数为（﹣2）+
（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m 、n 为正整数，可得m=3、n=2，
故含x 2
项的系数是
（﹣2）2
+
（﹣5）2
=37，
故选：D ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：可采用排除法，令1n =和2n =，验证选项，只有(1)
2
n n n a +=，使得121,3a a ==，故选C ． 考点：数列的通项公式．
9．【答案】D
【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；
图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x），
又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x），
那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．
二、填空题
11．【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】设
设，则
因为
，
所以，所以
因此，存在唯一的点M ，使成立。

故答案为：
12．【答案】20x y --=
【解析】解析： 设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的
中点坐标为(4,2).由2114y x =，2
224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而
12
22
y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=.
13．【答案】9 【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 14．【答案】12 【解析】
考点：分层抽样
15．【答案】2
【解析】【知识点】余弦定理同角三角函数的基本关系式
【试题解析】因为所以
又因为解得：
再由余弦定理得：
故答案为：2
16．【答案】①②⑤
【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；
对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；
对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，
1，
由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0
还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是
不动点，故③④错误；
对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；
若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0
即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，
假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；
假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；
故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．
三、解答题
17．【答案】（1）1,1==q p ；（2）2
)
1(22
1
++
-=-n n S n n .
考
点：等差，等比数列通项公式，数列求和.
18．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．
∴g （x ）=e x
．，f （﹣x ）=ln （﹣x ），
则函数的导数g ′（x ）=e x
，f ′（x ）=，（x ＜0），
设直线m 与g （x ）相切与点（x 1，），
则切线斜率k 2=
=
，则x 1=1，k 2=e ，
设直线l 与f （x ）相切与点（x 2，ln （﹣x 2）），则切线斜率k 1==
，则x 2=﹣e ，k 1=﹣，
故k 2k 1=﹣×e=﹣1，则l ⊥m ． （Ⅱ）不妨设a ＞b ，
∵P ﹣R=g （）﹣=﹣=﹣
＜0，∴P ＜R ，
∵P ﹣Q=g （
）﹣
=
﹣
==，
令φ（x ）=2x ﹣e x +e ﹣x ，则φ′（x ）=2﹣e x ﹣e ﹣x
＜0，则φ（x ）在（0，+∞）上为减函数，
故φ（x ）＜φ（0）=0，
取x=
，则a ﹣b ﹣
+
＜0，∴P ＜Q ，
⇔
=
=1﹣
令t （x ）=﹣1+，
则t ′（x ）=﹣
=
≥0，
则t （x ）在（0，+∞）上单调递增， 故t （x ）＞t （0）=0，
取x=a ﹣b ，则﹣1+
＞0，
∴R ＞Q ， 综上，P ＜Q ＜R ，
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．
20．【答案】
【解析】解：四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的 几何体，如右图：
S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=
πr 22+π（r 1+r 2）l 2+πr 1l 1=
=
=
21．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C . 【解析】
考
点：1、集合的表示；2、子集的性质. 22．【答案】
100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2==≈3.030
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…
（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．…
用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．
∴P（A）= (12)
【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．。