一正项级数及其审敛法

(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1


(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
解
(1)
un1 un

(n 1)! 1

1

n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
(2)
un1 un

(n 1)! 10n1

10n n!
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n


(1)若级数 vn收敛，则级数 un收敛.
n1
n1


(2)若级数 un发散，则级数 vn发散.
n1
n1
NOTE:比较判别法的关键点：找到合适的参照数 列，我们现在有两个：几何级数和调和级数。
例1
判断级数
n1
2n
sin
31n的收敛性.
2 vn
2
即
l 2
vn

un

3l 2
vn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
例 4 判定下列级数的敛散性:
1
(1) sin ; n1 n
1
(2)
n1
3n

n 1
;
解
(1)

lim
n
n
sin
1 n

lim
n
sin 1
n

1,
原级数发散.
1
n
(2)

lim
n
3n
1
比值审敛法失效, 改用比较审敛法

(2n
1 1)
2n

1 n2
,
级数
n1
1 n2
收敛,
故级数


n1
2n

(
1 2n

1)
收敛.
7.根值审敛法 (柯西判别法)：

设
un
是正项级数,如果lim n
n
un


n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
证明
易见，0
2n
sin
1 3n

2n

1 3n


2 3
n
,
而级数
n1

2 3
n

收敛,
由比较判别法，级数
n1
2n
sin
31n的收敛.
例2 讨论P 级数
1
1 2p

1 3p

1 4p


1 np

(p
0)的收敛性.
( p 0)
解 设 p 1, 1 1 , 则P 级数发散.
正项级数收敛 部分和所成的数列 {sn}有界.
3.定理2（比较审敛法）


设有两个正项级数 un和 vn ,而且un vn ,则
n1
n1


(1)若级数 vn收敛，则级数un收敛.
n1
n1


(2)若级数 un发散，则级数 vn发散.
n1
n1
可形象的记为：大收则小收，小散则大散.
证明 不妨只对结论(1)进行证明


分别设级数 un和 vn的前n项部分和为An和Bn ,
n1
n1

由un vn , 可知An Bn.由 vn收敛 {Bn}有界，故 n1

An有界，所以 un收敛. n1


推论1：设有两个正项级数un和vn, 存在k 0,
即sn有界, 则P 级数收敛.
P

级数
当p 当p

1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
4.比较审敛法的极限形式:


设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn

l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
n
3n

lim
n
1
1

n 3n

1,

n1
31n收敛,
故原级数收敛.
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：

设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un


(数或
)
则
(1) 1时级数收敛; (2) 1时级数发散; (3) 1时失效.
§9.2 正项级数及审敛法公式
一、正项级数及其审敛法

1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
因为un sn sn1, 得sn un sn1 sn1
所以，部分和数列 {sn } 为单调增加数列.
2.定理1（正项级数的基本收敛定理）
np
1
n
n dx
y
设 p 1, 由图可知 n p x n1 p
sn
1
1 2p

1 3p


1 np
y

1 xp
(
p

1)
1
2 1
dx xp


n dx x n1 p
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1
1 p
1
(1

1 n p1
)

1

1 p 1

例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
例5
判别级数
n1

x a
n的敛散性，其中x,
a为正数.
解 因为
lim
n
n

x a
n

lim x x , n a a
故当x＞a时，x ＞1，级数发散； a
当0 x a时，x <1，级数收敛； a
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例 级数 1 发散,
n1 n

级数
n1
1 n2
收敛,

(

1)

例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1

1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
当x=a时，一般项un =1不趋近0,则级数发散.