重庆市第八中学2020届高三数学下学期第四次月考试题理含解析

某某市第八中学2020届高三数学下学期第四次月考试题 理（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.若复数1i
z i
-=（i 为虚数单位），则z 的模为( )
A. 1
B.
2
C. 【答案】C 【解析】 【分析】
由复数除法运算可得1i z =--，从而可求出其模.
【详解】解：因为()2111i i
i z i i i
--===--，所以z =.
故选:C.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数模的求解.本题的易错点是化简时，误将2i 当作1进行计算.
2.已知集合{
P x y ==
，{}ln 1Q x x =<，则P Q =( )
A. ()0,1
B. (]0,1
C. ()1,e
D. [)1,e 【答案】D 【解析】 【分析】
令10x -≥可求出[)1,P =+∞；解对数不等式，可求出()0,Q e =，进而可求出两个集合的交集.
详解】解：由题意知，10x -≥ ，解得1x ≥，所以[)1,P =+∞；
由ln 1ln x e <=，解得0x e <<， 则()0,Q e =， 所以[)1,P Q e ⋂=. 故选:D.
【点睛】本题考查了函数定义域的求解，考查了对数不等式的求解，考查了集合的交集运算.本题的关键是对两个集合进行化简整理.
3.设非零等差数列{}n a 的公差为d ，则使得数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
也为等差数列的d 有( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】
根据{}n a 为等差数列，可求出n a dn b =+，从而可得
11
n a dn b
=+，则()()
111n n d a a dn b d dn b +--=+++，由等差数列的定义，可求出此时d 的值. 【详解】解：因为非零等差数列{}n a 的公差为d ，则()111n a a n d nd a d =+-=+-，设
1b a d =-，
则n a dn b =+，即11
n a dn b =+，()11111n a d n b dn b d +==++++，
则()()
11111n n d a a dn b d dn b dn b d dn b +--=-=++++++， 因为数列1n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
为等差数列，所以111
n n a a +-结果为常数，此时只能是0d =. 故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的定义.
4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A. 若m 与α所成的角等于n 与α所成的角，则//m n B. 若m 与α所成的角等于m 与β所成的角，则//αβ C. 若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角等于n 与β所成的角 D. 若m n ⊥，则m 与α所成的角不可能等于n 与α所成的角 【答案】C 【解析】 【
分析】
在正方体中，举出反例，可判断四个选项的正确性.
【详解】解：A:如图，在正方体中，设下底面为α，点C 为边上中点，此时m 与α所成的角等于n 与α所成的角，其正切值均为2，但m 与n 相交，不平行，则A 错误；
B:如图，在正方体中，设其下底面为α，左侧面为β，此时m 与α所成的角等于m 与β所成的角均为45︒，但此时αβ⊥，则B 错误；
D ：如图，在正方体中，设下底面为α，此时m n ⊥，但m 与α所成的角与n 与α所成的角
相等，为45︒，则D 错误.
故选:C.
【点睛】本题考查了直线与平面所成角，考查了直线与平面的位置关系.对于此类问题，常结合具体的几何体举出反例说明选项错误，利用排除法选出正确答案.
5.若a b >，0c <，则（ ）
A. ac bc >
B. c c
a b
> C. ab bc > D. 22ac bc > 【答案】D 【解析】 【分析】
利用不等式的基本性质即可判断出正确答案.
【详解】对于A ：由a b >，0c <，可得ac bc <，故错误； 对于B ：由a b >，0c <，当0b =时，
c c
a b
>不成立，故错误； 对于C ：由a b >，0c <，当0b =时，ab bc >不成立，故错误； 对于D ：由a b >，0c <，可得20c >，进而可得22ac bc >，故正确. 故选：D.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于常考题.
6.某平台为一次活动设计了“a ”、“b ”、“c ”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“aaab ”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“aabb ”），即可获奖.已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为( ) A. 9B. 10C. 12D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意将中奖情况列举出为aabb 型、aaab 型、4个一样，每种情况结合组合的思想即可求出每种情况的数量，将最后结果相加即可.
【详解】解：由题意知，aabb 型有2
33C =种；aaab 型有11326C C =种；4个一样有1
33C =种，
则36312++=种，
故选:C.
【点睛】本题考查了计数原理中分类的思想，考查了组合数的计算，考查了排列组合的思想.
7.直线0x a +=与圆2
2
2x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若1OA OB ⋅=-，
则a =( )
A.
2
±
B. ±1
C. 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可求出圆的半径
r =,A B 在圆上可知2OA OB ==，结合1
OA OB ⋅=-可得1
cos 2
AOB ∠=-，从而求出120AOB ∠=︒，结合点到直线的距离，进而可得()0,0O 到
直线的距离2
a
d =
=，则可求出a 的值. 【详解】解：由题意知，圆心为()0,0O ，半径
r =由,A B 在圆上，可知2OA OB == 则1
cos 22OA OB AOB OA OB
⋅∠=
=
=-，则120AOB ∠=︒，
所以()0,0O 到直线的距离
cos602
a
d r =︒==，解得a =故选:C.
【点睛】本题考查了向量的夹角求解，考查了圆心、半径的求解，考查了点到直线的距离.本题的关键是将已知数量积转化为角度大小.
8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x =-，当[]
0,2x ∈时，
()21x f x =-，则()21f =( )
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
优选
【答案】B 【解析】 【分析】
由()()4f x f x =-及()f x 为奇函数可得函数的周期为8，结合周期性和对称性可知
()()2111f f =-=-.
【详解】解：由()()4f x f x =-知，()f x 图像对称轴为2x =； 由()f x 为奇函数得，()f x 图像对称中心为()0,0，则()f x 的周期为8； 所以()()()()213311f f f f =-=-=-=-， 故选:B
.
【点睛】本题考查了函数的周期，考查了函数的对称性，考查了函数奇偶性的性质.一般地，若已知()
()f x a f b x +=-，则可得()f x 的对称轴为
2
a b
x +=
；若已知()()f x a f x b +=+，则函数的周期为a b -，若函数的对称轴为x a =且对称中心为(
),0b ，
则其周期为4a b -.
9.设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线分别交双曲线
的左，右两支于点,A B .若22AF BF ⊥，且221AF BF ==，则实数a 的值为( ) A.
4 B. 4 C. 2
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】 由已知可求出
AB =112BF a =+，112AF a =-，进而可
得11||1212BF AB AF a a =+=
-=+，即可求出实数a 的值.
【详解】解：由双曲线的定义可知，
12112BF BF BF a -=-=，
21112AF AF AF a -=-=,
所以112BF a =+，112AF a =-.由22AF BF ⊥，知22
222AF AB BF +== .
则11||22211BF AB AF a a ==+=++-，则42a =，解得2
a =
. 故选:A.
【点睛】本题考查了双曲线的定义.本题的关键是由,A B 所在的不同支，结合双曲线的定义写出表达式.
10.用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架，其顶点为,,A B C ，将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图）.若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为( )
A.
3
33 B. 33cm C. 333cm D. 393cm 【答案】D 【解析】 【分析】
由等边三角形的性质，求出ABC 内切圆半径3r cm =，其面积293ABC
S cm =，从而可
求四面体MABC 的高max 3h =，进而可求出体积的最大值.
【详解】解：设球的圆心为O ，半径为R ，ABC 内切圆圆心为1O ，由题意知ABC 三边长为6cm ，
则ABC 内切圆半径1
cos3033
r AB cm =
⋅⋅︒=，则2211OO R r =-=，
所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为223
934
ABC
S
AB cm =
⋅=， 所以四面体MABC 体积的最大值3max max 1933
ABC
V S h cm =
⋅=.
故选:D.
【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.
11.函数()sin (1)cos f x x x a x =++，
(0,)a π∈的图象在点()()
,a f a 处的切线与x 轴平行，则a =( ) A.
4πB. 3π
C. 23π
D. 34
π
【答案】A 【解析】 【分析】
求出导数，由题意知，0f a ，从而可得cos sin 0a a a a -=，结合(0,)a π∈，进而可
求出a 的值.
【详解】解：由题意知，()cos sin f x x x a x '=-，因为图象在点()()
,a f a 处的切线与x 轴平行，则0f a ，即cos sin 0a a a a -=，整理得tan 1a =，因为(0,)a π∈，解得4
a π
=
，
故选:A.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了已知三角函数值求角的大小.本题的关键是由切线与x 轴平行得到导数为0.
12.已知ABC 中，
3AB =，4AC =，3
BAC π
∠=
，I 是BAC ∠的平分线上一点，且AI =若ABC 内（不包含边界）的一点D 满足1
2
ID x AB AC =+
，则实数x 的取值X 围是( ) A. 11,312⎛⎫--
⎪⎝⎭B. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
将向量,AB AC 归一化可得11
34
AI AB AC =
+，结合向量的线性运算可得1334AD x AB AC ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，由等和线性质可知，11034x <+<，从而可求出实数x 的取值X
围.
【详解】解：设,34AB AB AC AC
i j AB
AC
=
=
==，则1,1i j ==，且,60i j BAC =∠=︒， 所以()
2
2
11211cos603i j
AI +=++⨯⨯⨯︒==，即11
34
AI AB AC =
+， 因为111
222
ID xAB AC AD AI xAB AC AD xAB AC AI =+
⇒-=+⇒=++， 所以1111323434AD xAB AC AB AC x AB AC ⎛
⎫=+
++=++ ⎪⎝
⎭， 由等和线性质得11034x <+<，解得11
312
x -<<-. 故选:A.
【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积运算，考查了等和线性质.本题的关键是以,AB AC 为基底表示出AD .本题的难点在于用,AB AC 表示出向量AI . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某工艺品厂要制作一批鼠年迎春徽章，每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润.统计发现，每个工人每天制作的合格品个数平均值为300，方差为25，那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为___________. 【答案】20 【解析】 【分析】
合格品个数为x ，利润为y ，从而可得4y x =，由2
25x s =可推出2
y s 的值，进而可求出纯利
润的标准差.
【详解】解：设合格品个数为x ，利润为y ，则4y x =，由2
25x s =得，
2162540020y y s s =⨯=⇒=.
故答案为:20.
【点睛】本题考查了标准差的求解.本题的关键是由个数的方差，结合个数和利润的关系，求出利润的方差.
14.若函数()2
cos2(sin cos )(0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为
2
π
，则ω=___________.
【答案】2 【解析】 【分析】
结合同角三角函数的基本关系、二倍角公式、辅助角公式可得()124f x x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 从而可知222
T ππ
ω=
=，进而可求出ω的值. 【详解】解：()2
2cos2sin
cos 2sin cos cos21sin2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++-=+-
124x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，所以222T ππω==，解得2ω=.
故答案为:2.
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了三角函数的周期性.本题的关键是对函数进行化简. 15.若数列{}n a 满足11a =，且()*
12n
n n a a n N ++=∈，则11
1
k
k a
==∑_________.
【答案】1365 【解析】 【分析】
结合分组求和的思想，由已知得2
410111222S =++++，由等比数列的求和公式可求出最
后结果.
【详解】解：()()()2410111234510111222S a a a a a a a =+++++
++=+++
+
()54141136514
-=+
=-.
故答案为:1365
【点睛】本题考查了数列的求和，考查了等比数列的前n 项和.本题的关键是求前11项的和时，从第二项开始两两结合进行求解.
16.已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点F 的直线与抛物线C
相交于,A B 两点，若3
2
AF BF -=，则AK BK =__________. 【答案】2 【解析】 【分析】
设FA 与
x 轴正方向的夹角为θ，则由抛物线的定义可求出2
1cos AF θ
=
-，
21cos BF θ
=
+，结合已知解1cos 3θ=，从而可知3AF =，3
2BF =，结合角平分线定
理可求出AK
BK
的值.
【详解】解：不妨设A 在第一象限，设FA 与
x 轴正方向的夹角为θ，由题意知，
()()1,0,1,0F K -，
则A 到准线的距离1cos 2d AF AF θ==+，B 到准线的距离22cos d BF BF θ==-， 所以21cos AF θ=
-，21cos BF θ=+，则322
21cos 1cos AF BF θθ
-==--+，
解得1cos 3
θ=，因此23113AF ==-，231213
BF ==
+， 由抛物线的性质可知，AKF BKF ∠=∠,由角平分线定理知
122AK AF
d BK d BF
===. 故答案为:2.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了角平分线定理.本题的关键是求出直线AB 与x 轴的夹角.本题的难点是将所求的值转化为,AF BF 的比值.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.ABC 的内,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中a b <，已知cos 2sin()b A a A C =+. （1）求A ；
（2
）若1b c -=，ABC
a . 【答案】（1）6
π
；（2）1. 【解析】
【分析】
（1）由余弦定理、正弦定理及A B C π++=可将已知式子进行化简得，
()2sin 12sin sin sin B A A B -=，结合sin 0B >，可知22sin sin 10A A +-=，从而可求
sin A 的值，再结合a b <确定0,
2A π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，进而可求A 的大小.
（2）由面积公式整理可得bc =1b c -=两边平方，可得224b c +=，结合余弦定理可求出a 的大小.
【详解】解：（1）由余弦定理、正弦定理及A B C π++=，知()
2
sin 12sin sin sin B A A B -=，
因为()0,B π∈，所以sin 0B >.从而22sin sin 10A A +-=，解得1
sin 2
A =或1-， 因为a b <，所以0,
2A π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，故6
A π
=
.
（2）因为ABC 的面积11
sin sin 2264
S bc A bc π=
==
，所以bc =
由余弦定理知：222
cos 2b c a A bc +-==
，整理得：2223b c a +-==①，
因为1b c -=，则())
2
2
1b c -=
，整理得22244b c bc +=+-=②
把②代入①，得：21a =，故1a =.
【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了二倍角公式.本题的易错点是忽略了a b <这一条件，从而未对sin A 的值进行取舍.一般地，若已知式子中，边角同时存在，往往结合正弦定理、余弦定理进行边角互化.
18.2019年1月1日，由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，该平台是深入学习宣传贯彻新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神的互联网学习平台，覆盖全国所有党员干部职工.某党支部随机抽查了50名同志参加学习测评，达到90分及以上的记为“优秀”，90分以下的记为“不优秀”，得到的情况如表所示：
（1）将表格补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为测评的结果是否优秀与性别有关？
（2）现让测评得分最高的一名男同志和一名女同志参加现场问答比赛，一共设置5
个问题为
了增加比赛的趣味性，由女同志回答第一题后，答题人抛掷2枚正方体骰子（点数为1~6），若得到的两枚骰子的点数之和大于9，则由该同志继续答题，否则由对方答题，以此类推.已知第三题是由男同志回答，求男同志回答的问题比女同志回答的问题多的概率.
附表：
参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
【答案】（1）见解析，不能；（2）13
18
.
【解析】 【
分析】
（1）画出列联表，求出2K ，从而可判断测评的结果是否优秀与性别是否有关. （2）第二题开始，上一个题由某人回答，下一题仍由这个人答题的概率为1
6
p =
.记事件i A 为“第i 题由男同志回答”，2,4,5i =，事件A 为“男同志回答的问题比女同志回答的问题多”，则：245245245245A A A A A A A A A A A A A =+++，通过求出
()(
)(
)(
)
245424554252,,,P A A A P A A A P A A A P A A A 的值，进而可得男同志回答的问题比女同
志回答的问题多的概率. 【详解】解：（1）列联表为：
所以22
50(222188) 2.083 6.63530204010
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，
则不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为测评的结果是否优秀与性别有关. （2）从第二题开始，上一个题由某人回答，下一题仍由这个人答题的概率为16
p =
. 记事件i A 为“第i 题由男同志回答”，2,4,5i =，事件A 为“男同志回答的问题比女同志回答的问题多”，则：245245245245A A A A A A A A A A A A A =+++， 从而，()
245245245245()P A P A A A A A A A A A A A A =+++
()()()()
245254542524P A A A P A A A P A A A P A A A =+++
()()()()()()111111p p p p p p p p p p p p =-⋅⋅+-⋅⋅-+-⋅-⋅-+⋅⋅
511515555111666666666666=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 1318
= 所以，男同志回答的问题比女同志回答的问题多的概率为
1318
. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了独立事件的概率.本题的易错点是求2K 时，计算出错.本题的第二问的关键是正确列出男同志回答的问题比女同志回答的问题多所有可能的结果. 19.如图，四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，
1AD CD ==.E 是棱PB 上的一点，PE PB λ=.
（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AC E --3
多面体PADCE 的体积为79，求λ.
【答案】（1）证明见解析；（2）2
3
. 【解析】 【分析】
（1）由已知求出2AC =，在ABC 中，结合余弦定理求出2BC =从而可知AC BC ⊥，由PC ⊥底面ABCD 可推出AC PC ⊥，可证明AC ⊥面PBC ，进而可证明面面垂直.
（2）以C 为坐标原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y ，z 轴，建立空间直角坐标
系，设()0,0,P a .由（1）知，取平面PAC 的法向量为()1,0,0m =，通过求出(
)
CA =，
()(
)
2,0,1CE CP PE a λ=+=
-，则可知平面ACE 的法向量为()(
)1n a λ=-，
进而由二面角P AC E --()1a λλ-=；分别求出四棱锥P ABCD -的体积12
V a =
，E ABC -的体积()1
13V a λ'=-，则结合多面体PADCE 的体
积为117
(1)239
V V a a λ'-=
--=，进而可求出λ的值. 【详解】解：（1）四边形ABCD 中，AB AD ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥. 在ACD 中，90ADC ∠=︒，1AD CD ==，所以
AC =45DAC ∠=︒. 则在ABC 中，45BAC ∠=︒，
AC =，2AB =，
所以
2222cos 2BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，解得：BC =. 由2224BC AC AB +==，知90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥. 因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PC ⊥. 因为BC ，PC 是平面PBC 上的两条相交直线，所以AC ⊥面PBC . 因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .
（2）由（1）知：CB ，CA ，CP 两两垂直，以C 为坐标原点，CB ，CA ，CP 所在直线
分别为x 轴，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()A ，)
B .
设()0,0,P a ，则(
)
2,0,PE PB a λλ==
-，PC a =.
由（1）知，BC ⊥底面PAC ，故取平面PAC 的法向量为()1,0,0m =.
又()0,CA =，()(
)
2,0,1CE CP PE a λ=+=
-，
设平面ACE 的法向量为(),,n x y
z =，则00CA n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()20
210
y x az λλ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，
取()1x a λ=-，2z λ=，得()()
1,0,2n a λλ=-.
所以222cos ,||||(1)2m n m n m n a λλ⋅=
=-+，由条件，知：2223
(1)2a λλ
=-+， 整理得：()1a λλ-=①.四棱锥P ABCD -的体积()111
322
V PC AB CD AD a =
⋅+⋅=， 又E 到面ABC 距离()()111h PC a λλ=-=-，所以E ABC -的体积()1
13
V a λ'=-，
则多面体PADCE 的体积为117
(1)239
V V a a λ'-=--=②，
由①，②得：2617140λλ+-=，解得：23λ=或7
2
λ=-.
因为E 是棱PB 上的一点，所以01λ≤≤.从而，2
3
λ=.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质，考查了面面垂直的判定，考查了锥体体积的求解，考查了二面角.本题的难点在于第二问，计算量比较大.本题的关键在于将多面体分割成两个锥体，则可求其体积.涉及到二面角问题时，可采用直接法，即在图中确定二面角，然后结合解三角形的方法进行求解；也可建立空间直角坐标系，采用向量的方法.
20.已知椭圆22:142
x y E +=，经过点(),1M m 且斜率为k 的直线l 与E 相交于,C D 两点，与
x 轴相交于点P .
（1）若0m ≠，且M 恰为线段CD 的中点，求证：线段CD 的垂直平分线经过定点； （2）若0m =，设,A B 分别为E 的左、右顶点，直线AC 、BD 相交于点Q .当点P 异于,A B
时，OP OQ ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）是，4. 【解析】 【分析】
（1）设()11,C x y ，()22,D x y ，由,C D 是椭圆E 上的点可得22
1122
22142
142
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减进行整理可得1
2OM k k ⋅=-，从而可求出2
m k =-，则可得CD 的垂直平分线的斜率，由点斜式可
得CD 的垂直平分线的方程为2
1y x m
=
-，即可得所过定点. （2）由点斜式得直线l 的方程为1y kx =+，则点1,0P k ⎛⎫-
⎪⎝⎭从而可求1,0OP k ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
； 得直线AC 的方程为()1122
y y x x =
++，直线BD 的方程为()1122y
y x x =--，联立可求出其
交点横坐标121122
122121
242422Q y x y x y y x x y y y x y -++=
+-+，联立l 与椭圆方程，结合韦达定理，对Q x 进行化
简，可得Q x 4k =-，即可求出OP OQ ⋅的值，从而可判断是否为定值. 【详解】解：设()11,C x y ，()22,D x y .
（1）由题意知，直线OM 的斜率为1OM
k m =，因为,C D 是椭圆E 上的点，则22
112222142
1
42
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ， 两式相减，整理得1
2OM k k ⋅=-，所以2m k =-，故线段CD 的垂直平分线的斜率为2m
，
从而线段CD 的垂直平分线的方程为2
1y x m
=
-， 所以，线段CD 的垂直平分线经过定点()0,1-.
（2）直线l 的方程为1y kx =+，由条件知：0k ≠，则点1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0OP k ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
联立直线l 与椭圆E 的方程，消去y 得：()
22
12420k x kx ++-=，
所以122412k x x k -+=
+，12
2
2
12x x k -=+. 直线AC 的方程为()1122
y y x x =
++①，直线BD 的方程为()1122y
y x x =--②.
设点(),Q Q Q x y ，由①，②得，121122122121
242422Q y x y x y y x x y y y x y -++=
+-+
()()()()121212121242424
k x x x k x x x x k x x ++--=
-+++()()122
122
164124
12k
k x x k x x k ---+=-+
+4k =-.
所以，()1
44OP OQ k k
⋅=-
⋅-=.即OP OQ ⋅为定值4. 【点睛】本题考查了中点弦问题，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线方程的点斜式.本题的难点在于计算，特别是第二问中对交点横坐标的化简.一般中点弦问题的做题思路为，设出弦端点的坐标，代入到圆锥曲线方程，两方程相减，进行化简，即可得弦的中点和弦所在直线斜率的关系. 21.已知函数()1
ln x f x e
a x -=+.（e 为自然对数的底数）
（1）当0a =时，设()()g x f x x =-，求函数()g x 在13,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最值； （2）当1x ≥时，证明：()()2
12f x x x λ+≥-+，其中{}min 2,5a λ=+（{}min ,a b 表
示,a b 中较小的数.）
【答案】（1）最小值为0，最大值为1
2
32
e -；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题意知()1
x g x e
x -=-，令其导数为0，解得1x =，从而可探究()g x 在13,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的
单调性，可直接确定其最小值，通过作差法可比较121122g e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1
233
22g e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的大小，
从而可求最大值.
（2）分成25a +≤，25a +>两种情况，通过对所证不等式进行变形.第一种情况下等价于证明1
2ln (2)0x e
a x x a x a -++-++≥，设()1
2ln (2)x k x e
a x x a x a -=++-++，通过导
数法可证明()k x 在[
)1,+∞上单调递增，由 ()10k =，所以()0k x ≥；第二种情况下等价于证明12ln 530x e a x x x -++-+≥，由（1）知，1x e x -≥，及1x ≥，3a >，所以
122ln 533ln 43x e a x x x x x x -++-+>+-+，设()2
3ln 43h x x x x =+-+，通过导数可
证明()h x 在[
)1,+∞上单调递增，由()10h =，所以()0h x ≥，从而可证明. 【详解】解：（1）当0a =时，()1
x g x e
x -=-，13,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()11x g x e -'=-，
令()0g x '=，得1x =，当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 所以函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，在区间3
1,2
⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，
从而()g x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()10g =.因为121122g e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1
23322g e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，
11
2
21310
22g g e e -⎛⎫⎛⎫-=-+=<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以1322g g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()g x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为123322g e ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
.
（2）①当25a +≤，即3a ≤时，2a λ=+.
()212(1)2ln (2)0x f x x x e a x x a x a λ-+≥-+⇔++-++≥
设()1
2ln (2)x k x e
a x x a x a -=++-++，则()12(2)x a
k x e x a x
-'=++-+.
令()1
2(2)x a x e
x a x ϕ-=++-+，则()2121
22
22x x a x e x a x e x x
ϕ--+-'=-+=， 因为1x ≥，所以()
21221
223x x x e x x e --+=+≥，因为3a ≤，所以()0x ϕ'≥，
当且仅当1x =且3a =时，等号成立.从而()k x '在[
)1,+∞上单调递增. 注意到()11k '=，所以()0k x '>，从而()k x 在[
)1,+∞上单调递增. 注意到()10k =，所以()0k x ≥，原不等式成立. ②当25a +>，即3a >时，5λ=.
()212(1)2ln 530x f x x x e a x x x λ-+≥-+⇔++-+≥，
由（1）知，1x e x -≥，及1x ≥，3a >，所以122ln 533ln 43x e a x x x x x x -++-+>+-+.
设()2
3ln 43h x x x x =+-+，1x ≥，则()2243
0x x h x x
-+'=≥，
所以()h x 在[
)1,+∞上单调递增.注意到()10h =，所以()0h x ≥，原不等式成立. 综上，当1x ≥时，()()2
12f x x x λ+≥-+，{}min 2,5a λ=+.
【点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了函数单调性的求解，考查了导数的应用.本题的难点在于第二问证明不等式时，探究函数的单调性需要多次求导.用导数求函数的最值时，先求出函数的定义域，然后令导数为零，解方程，探究函数、导数随自变量的变化，确定单调性，结合端点处的函数值，从而确定函数的最值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.如图，在极坐标系Ox 中，()2,A π，()2,0B ，弧AO ，BO ，AB 所在圆的圆心分别为
()1,π，()1,0，32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，曲线1M 是弧AO ，曲线2M 是弧BO ，曲线3M 是弧AB ．
（1）写出曲线1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若曲线4M 的极坐标方程为2
63
k π
θπ=
+⋅（0ρ≥，0k =，1，2），写出曲线M 与曲线4M 的所有公共点（除极点外）的极坐标．
【答案】（1）1M ：2cos ρθ=-，,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 2M ：2cos ρθ=，0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
；
3M ： 24sin 40ρρθ+-=，[],2θππ∈；（2）6π⎫⎪⎭，56π⎫⎪⎭，322π⎛
⎫+
⎪⎝
⎭
. 【解析】 【分析】
（1）先求出曲线1M ，2M ，3M 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可； （2）将56πθ=
，6πθ=，32
πθ=分别代入1M ，2M ，3M 的极坐标方程得到对应的极径，然后写出极坐标即可.
【详解】（1）在以O 为原点的平面直角坐标系中，曲线1M ，2M ，3M 的方程为：
1M ：2220x y x ++=（0y ≥）； 2M ：2220x y x +-=（0y ≥）； 3M ： 22440x y y ++-=（0y ≤）；
则它们的极坐标方程分别为： 1M ：2cos ρθ=-，,2π
θπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
；
2M ：2cos ρθ=，0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
；
3M ： 24sin 40ρρθ+-=，[],2θππ∈；
（2）将56πθ=
，6πθ=，32
πθ=分别代入1M ，2M ，3M 的极坐标方程，得：
1ρ=2ρ32ρ=+
则曲线M 与4M 的所有公共点（除极点外）的极坐标分别为：
6π⎫⎪⎭，56π⎫⎪⎭，322π⎛
⎫+
⎪⎝
⎭
. 【点睛】本题主要考查曲线极坐标方程的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 选修4-5：不等式选讲
23.已知函数()()2f x x m x m x R =--+∈的最大值为3，其中0m >． （1）求m ；
（2）若()()()2
2
2
1
113
x y a z -+-+-≥
对所有满足x y z m ++=的实数x ，y ，z 都成立，证明：2a ≤-或0a ≥．
【答案】（1）1m =；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）由绝对值不等式的性质可得：223x m x m x m x m m --+≤---=，进而求得结果； （2）由重要不等式222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 得到(
)()2
222
3a b c
a b c ++≥++，
进而得到()()()
()()2
2
2
2
2
11111133
a x y a z x y a z +-+-+-≥-+-+-=
，进而得证. 详解】（1）由()223f x x m x m x m x m m =--+≤---=，当且仅当(],x m ∈-∞-，等号成立，
所以函数()f x 的最大值为3m ，由条件，知：33m =，解得：1m =； （2）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 所以222a b c ab bc ca ++≥++， 从而(
)()2
222
3a b c
a b c ++≥++，
又因为1x y z ++=，
所以()()()
()()2
2
2
2
2
11111133
a x y a z x y a z +-+-+-≥-+-+-=
， 由条件，
()2
11
3
3
a +≥，解得2a ≤-或0a ≥． 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，考查重要不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于常考题.。