湖南省郴州市2022届数学高二第二学期期末调研试题含解析

湖南省郴州市2022届数学高二第二学期期末调研试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．设抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
1204
x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
A ．1x =-
B ．2x =-
C ．3x =-
D ．4x =-
2．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
3．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且x R ∀∈，有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
成立，
则()f x 图象的一个对称中心坐标是（ ） A ．2,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭ C ．2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．5,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
4．某个命题与正整数有关，如果当()n k k N *=∈时命题成立，那么可推得当1()n k k N *=+∈ 时命题也成立。

现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 A ．当n=7时该命题不成立 B ．当n=7时该命题成立 C ．当n=9时该命题不成立
D ．当n=9时该命题成立
5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以是0~9中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，任意按最后一位数字，则不超过3次就按对的概率为（ ） A ．0.4
B ．0.3
C ．0.2
D ．0.1
6．已知0>ω，函数()cos24cos 3f x a x x a ωω=-+，若对任意给定的[1,1]a ∈-，总存在
1212,[0,]()2
x x x x π
∈≠，使得12()()0f x f x ==，则ω的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
7．一个正方形花圃，被分为5份A 、B 、C 、D 、E ，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）．
A．24 种B．48 种C．84 种D．96种
8．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22
⨯列联表，由计算可得28.806
K≈
P（K2>k ）1．11 1．14 1．124 1．111 1．114 1．111
k 2．615 3．841 4．124 5．534 6．869 11．828
参照附表，得到的正确结论是（）
A．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
9．用反证法证明命题“已知,,
a b c为非零实数，且0
a b c
++>，0
ab bc ac
++>，求证,,
a b c中至少有两个为正数”时，要做的假设是（）
A．,,
a b c中至少有两个为负数B．,,
a b c中至多有一个为负数
C．,,
a b c中至多有两个为正数D．,,
a b c中至多有两个为负数
10．已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为
4
3
3
，则a的值为（）
A．3B．
2
3
3
C．23D．
3
11．展开式中的系数是（）
A．7B．C．21D．
12．过抛物线24
y x
=的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且||3
A F=，O为坐标原点，则AOF
的面积与BOF的面积之比为
A ．
12
B ．
3 C ．3
D ．2
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．若()(),22a R i a i R ∈-+∈，则a =____ 14．已知函数3,0
(),0
x x f x ax b x ⎧+≥⎪=⎨
+<⎪⎩满足条件，对于1x R ∀∈，存在唯一的2x R ∈，使得12()()f x f x =，
当(2)(3)f a f b =成立时，则实数a b +=__________． 15．已知“x m ≥”是“1
24
x
>”的充分不必要条件，且m ∈Z ，则m 的最小值是_____． 16．设函数1
()||||f x x x a a
=+
+-(0)a >，若(3)5f <，则a 的取值范围是_____. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，且22sin sin b c
B C
+=+．
（1）求角A 的大小； （2）若2c =
，求ABC 的面积．
18．如图，圆O 的半径为2，点P 是圆O 的一条半径OA 的中点，BC 是圆O 过点P 的动弦. (1)当P 是BC 的中点时，求OB OC ⋅的值;
(2)若OP OB OC λμ=+，λ,R μ∈,且2BP PC =. ①λ,μ的值; ②求cos BOC ∠的值.
19．（6分）甲乙两名选手在同一条件下射击，所得环数,ξη的分布列分别为
ξ
6 7 8 9 10
P
0.16 0.14 0.42 0.1 0.18 η
6
7
8
9
10
P
0.19 0.24 0.12 0.28 0.17
（I ）分别求两名选手射击环数的期望；
（II ）某比赛需从二人中选一人参赛，已知对手的平均水平在7.5环左右，你认为选谁参赛获胜可能性更大一些？
20．（6分）m 为何值时，函数2
()234f x x mx m =+++
（1）在(1,3)-上有两个零点； （2）有两个零点且均比-1大．
21．（6分）为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索,学校将髙一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制）为优秀，
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
(I)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”
〔Ⅱ）从乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈， 从中选三位同学发言,记来自[80，90)发言的人数为随机变量x ，求x 的分布列和期望.
22．（8分）如图所示,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面,//,3,ABCD AF DE DE AF BE =与平面
ABCD 所成角为60︒.
(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；
(Ⅱ)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得//AM 平面BEF ,并证明你的结论．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】
分析：椭圆的右焦点为4,0（），抛物线2
2y px =的焦点坐标为
,02p （），求解p ，再得出准线方程． 详解：椭圆的右焦点为4,0（），抛物线2
2y px =的焦点坐标为,02
p （），解得8p =，得出准线方程4x =-
点睛：抛物线2
2y px =的焦点坐标为,02p （），准线方程2p x =- 2．B 【解析】 【分析】
先求出每一个小组的人数，再求编号落在[101,500]的人数. 【详解】
每一个小组的人数为
，
所以编号落在[101,500]的人数为.
故选：B 【点睛】
本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】
首先根据函数的最小正周期和最值确定函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数图象的对称中心. 【详解】
由()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为4π，得1
2
ω=， 因为()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以()max
3f x f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 即
()12232
k k Z ππ
ϕπ⨯+=+∈，
由2
π
ϕ<
，得3
π
ϕ=
，故()1
sin 2
3f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，
令
()123x k k Z ππ+=∈，得()223
x k k Z π
π=-∈， 故()f x 图象的对称中心为()22,03k k Z ππ⎛
⎫-∈
⎪⎝
⎭， 当0k =时，()f x 图象的对称中心为2,03π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质、周期性和对称中心的应用及相关的运算问题，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】
根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当()n k k N *
=∈时命题不成立，则1()n k k N *
=-∈命题也不成立，所以选A. 【详解】
根据逆否命题和原命题的真假一致性得，
当()n k k N *
=∈时命题不成立，则1()n k k N *
=-∈命题也不成立， 所以当8n =时命题不成立，则7n =命题也不成立， 故答案为：A 【点睛】
(1)本题主要考查数学归纳法和逆否命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性. 5．B 【解析】 【分析】
利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案. 【详解】
设第i 次按对密码为事件()1,2,3i A i =
第一次按对()1110
P A =
第一次按错，第二次按对()
1291110910
P A A =
⨯= 第一次按错，第二次按错，第三次按对()
1239811
109810
P A A A =⨯⨯= 事件1A ，事件12
A A ，事件123A A A 是互斥， 任意按最后一位数字，则不超过3次就按对的概率()P A 由概率的加法公式得：()()()()
1121233
0.310
P A P A P A A P A A A =++== 故选：C ． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．D 【解析】
分析：先化简函数的解析式得2
12
()2(cos )2(0)f x a wx a a a
a
=-+-
≠，再解方程f(x)=0得到
1cos wx a a
=±
，再分析得到4w ≥，再讨论a=0的情况得到w 的范围，再综合即得w 的最小值. 详解：当a≠0时，2
2
1
2()(2cos 1)4cos 32(cos )2f x a wx wx a a wx a a
a
=⋅--+=-+-
，
由f(x)=0得222
111(cos ),cos a wx wx a a a a
--=∴=±， 因为[1,1],0,a a ∈-≠
所以111,1a a +
≤， 根据三角函数的图像得只要coswx=1满足条件即可， 这时1220,x x w π==
，所以
2, 4.2
w w ππ
≤∴≥ 当a=0时，()4cos f x x ω=-，令f(x)=0，所以coswx=0，须满足23, 3.42
w w ππ
⋅≤∴≥ 综合得 4.w ≥故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查函数的零点和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合思想方法.(2)解答本题的难点在讨论a≠0时，分析推理出
22
w ππ
≤. 7．D
【解析】 【分析】
区域A 、C 、D 两两相邻，共有3
4A 24=种不同的种植方法，讨论区域E 与区域A 种植的花的颜色相同与不
同，即可得到结果. 【详解】
区域A 、C 、D 两两相邻，共有3
4A 24=种不同的种植方法，
当区域E 与区域A 种植相同颜色的花时，种植B 、E 有122⨯=种不同的种植方法， 当区域E 与区域A 种植不同颜色的花时，种植B 、E 有212⨯=种不同的种植方法， ∴不同的种植方法有()3
4A 2296⨯+=种，
故选D 【点睛】
本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与分析、运算及求解能力，属于中档题． 8．B 【解析】
解：计算K 2≈8.815>6.869，
对照表中数据得出有1.114的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的， 即有1−1.114=8.4%的把握说明两个变量之间有关系， 本题选择B 选项. 9．A 【解析】
分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a 、b 、c 中至少有二个为负数”，由此得出结论．
详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“,,a b c 中至少有二个为正数”的否定为：“,,a b c 中至少有二个为负数”． 故选A ．
点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力． 10．A 【解析】 【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】
解：由三视图可知，几何体的直观图如图：
是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体， 底面都是2的等腰直角三角形，高为a ， 所以体积为：
()
2
111
22
32
a ⨯⨯+⨯()2
4323a ⨯
⨯=，
解得3a =．
故选A ． 【点睛】
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于简单题． 11．C 【解析】 【分析】
直接利用二项展开式的通项公式，求出对应的值，再代入通项求系数.
【详解】
，
当时，即时，，
的系数是.
【点睛】
二项展开式中项的系数与二项式系数要注意区别. 12．D 【解析】 【分析】
设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，并设直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出124y y =-，由抛物线的定义得出点A 的坐标，可得出点B 的纵坐标2y 的值，
最后得出AOF ∆的面积与BOF ∆的面积之比为1
2
y y 的值. 【详解】
设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+， 将该直线方程与抛物线方程联立2
14x my y x
=+⎧⎨
=⎩，得2
440y my --=，124y y ∴=-， 由抛物线的定义得113AF x =+=，得12x =，2
1148y x ∴==，
10y >
，1y ∴=，
可得出2y =1
1221
2212
AOF BOF
OF y S y
S y OF y ∆∆⋅∴
===⋅，故选：D. 【点睛】
本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．4 【解析】 【分析】
去括号化简，令虚部为0，可得答案. 【详解】
(2)(2)22(4)i a i a a i R -+=++-∈
∴-==40,4a a ，故答案为4.
【点睛】
本题主要考查了复数的乘法运算以及复数z a bi =+为实数的等价条件. 14
．3+ 【解析】
分析：根据条件得到()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调，得到,a b 的关系式，进而即可求解. 详解：若对于1x R ∀∈，存在唯一的2x R ∈，使得12()()f x f x =， 所以函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调， 则3b =且0a <，
由(2)(3)f a f b =，得(2)(9)f a f =
，即223333a +=
=+，。