人教新课标版数学高一A版必修2例题与探究 4.2.123直线与圆的位置关系 圆与圆的位置

典题精讲
例1求通过直线l:2x+y+4=0及圆C:x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且有最小面积的圆的方程. 思路分析:对于直线与圆的位置关系,一般不求直线与圆的交点,而用圆心到直线距离来处理直线与圆的问题.
解法一:画出如图4-2-6示意图,圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4.
图4-2-6 设直线l 与圆C 交于A 、B 两点,D 为AB 的中点,则直线CD 的方程为x-2y+5=0,
由⎩⎨⎧=++=+-.
042,052y x y x 解得D(56,513-). ∴CD=
5545|
42)1(2|=++-⨯,AD=4-5525164=-. ∵以D 为圆心,AB 为直径的圆是面积最小的圆, ∴所求方程是(x+513)2+(y-56)2=5
4. 解法二:设圆的方程是(x 2+y 2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即
［x+(1+λ)］2+(y+24
-λ)2=4
161652+-λλ, 则此圆面积为S=π4161652+-λλ=π［45(λ-58)2+4
5］, ∴当λ=5
8时,圆面积最小,此时圆的方程是5x 2+5y 2+26x-12y+37=0. 绿色通道:圆中的最值问题一般都要利用数形结合思想进行求解.根据圆的性质,寻找最值取得的条件而求解,涉及所求的圆是经过直线与圆或圆与圆的交点时,也可利用圆系方程来求解,这样较为简便.
变式训练1
求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x 2+y 2-4x-3=0和x 2+y 2-4y-3=0的交点的圆的方程. 解:画出如图4-2-7,设经过两已知圆的交点的圆的方程为x 2+y 2-4x-3+λ(x 2+y 2-4y-3)=0,
图4-2-7
则其圆心坐标为(
λ
λλ++12,12).∵所求圆的圆心在直线x-y-4=0上, ∴λλλ+-+1212-4=0,解得λ=31-. ∴所求圆的方程为x 2+y 2-6x+2y-3=0.
例2求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆的方程.
思路分析:本题利用待定系数法求圆的方程及直线与圆的位置关系.若选用圆的标准方程,注意到圆的切线的性质,求出圆心坐标及半径;若采用圆的一般方程,则通过待定系数法求D 、E 、F.
图4-2-8
解法一:设圆心为C(a,b),圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.
再由|CA|=|CB|,CB ⊥l 可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-•---+-=+++.1)31(8
6.)6()8()4()2(2222a b b a b a 解得a=211,b=2
3-,r=2125.故所求圆的方程为(x-211)2+(y+23)2=2125. 解法二:设圆心为C,则CB ⊥l.
故直线CB 的方程为3x-y-18=0.
设直线CB 与圆C 的另一交点为P,连结AP 、AB,则AP ⊥AB.
直线AP 的斜率为-1,直线AP 的方程为x+y+6=0.
由上述两个方程,可得P 点坐标为(3,-9),
而C 为线段BP 的中点,
所以C 点的坐标为(211,2
3-).圆的半径为|CB|=2125. 因此,所求圆的方程为(x-211)2+(y+23)2=2
125. 解法三:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,
由CB ⊥l,A(-2,-4)、B(8,6)在圆上,
所以得方程组
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
-
=
-
•
-
-
-
-
=
+
+
+
+
=
+
⨯
-
+
⨯
-
+
-
+
-
.1
)
3
1
(
8
2
6
2
,0
6
8
6
8
,0
)4
(
)2
(
)4
(
)2
(
2
2
2
2
D
E
F
E
D
F
E
D
整理得
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
-
-
=
+
+
=
-
+
.
36
3
,
100
6
8
,
20
4
2
E
D
F
E
D
F
E
D
解得
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
=
-
=
.
30
,3
,
11
F
E
D
故所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
绿色通道:求圆的方程,一般可从圆的标准方程与圆的一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,这要根据题目所给的条件来确定.总之,要让所选择的方程形式使解题过程简单. 变式训练2
自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,如图429,求光线l所在直线的方程.
图4-2-9
解法一:依题意,设直线l的方程为y-3=k(x+3),
即kx-y+3k+3=0,利用平面几何知识,点C′到直线l的距离为1,
即
1
|3
3
2
2|
2+
+
+
+
k
k
k
=1,
化为24k2+50k+24=0.
解得k1=
3
4
-,k2=
4
3
-.
故所求直线方程为y-3=
4
3
-(x+3)或y-3=
3
4
-(x+3),
即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
解法二:如图4-2-10,由已知,圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=1.
设光线l所在直线的方程为y-3=k(x+3),
图4-2-10
由题意知k≠0,于是l 的反射点的坐标是(k k )1(3+-
,0). 因为光线入射角等于反射角,
所以,反射线l′所在直线的方程是y=-k ［x+k
k )1(3+］. 整理得kx+y+3k+3=0.
这条直线与已知圆相切,因而圆心到它的距离等于半径1, 即21|
55|k k ++=1,12k 2+25k+12=0. 解得k=43-或k=3
4-. 所以l:3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
例3已知曲线C:x=24y -(-2≤y≤2)和直线y=k(x-1)+3只有一个交点,求实数k 的取值范围. 思路分析:恰当地作出图形是解本题的关键.将所给曲线和直线画在一个坐标系下,曲线为半圆,直线过定点,从图形中可以发现两者只有一个交点的情况.
解:如图4-2-11,曲线C 表示是以(0,0)为圆心,2为半径的右半圆,直线过(1,3)点.
图4-2-11
由图可得k AM =111=,k BM =
15=5, ∴1≤k<5.
又21|3|k k ++-=2,3k 2+6k-5=0,解得k=-1±
362(舍正). ∴k 取值的集合为{k|1≤k<5或k=-1-3
62｝. 绿色通道:依据曲线交点的情况,寻求解析式中未知系数的取值范围问题,通常都借助于图象,数形结合会帮助我们迅速发现符合条件的部分图象,从而找到结果.
变式训练3
若直线y=x+k 与曲线x=21y -恰有一个公共点,求k 的取值范围.
图4-2-12
答案:曲线x=21y -可变形为x 2+y 2=1(x≥0),它表示半圆,即单位圆的右半部分(包括边界),y=x+k 表示的是斜率等于1的平行直线系,根据图象容易知道-1<k≤1或k=2-. 例4设圆满足:
①截y 轴所得弦长为2;
②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.
在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
思路分析:可设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,它有三个待定系数a 、b 、r.将条件②等价转化为所截圆弧所对的圆心角的度数为90°,进而可求出r 与b 的关系.将条件①等价转化为r 与a 的关系.最后利用算术平均值不等式或方程有实数解的条件:判别式不小于0等方法求出a 、b 、r.
解法一:设圆的圆心坐标为P(a,b),半径为r,
则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P 截x 轴所得劣弧的圆心角为90°,
于是圆P 截x 轴所得弦长为2r,
故r 2=2b 2.
又圆P 截y 轴所得的弦长为2,
所以有r 2=a 2+1,
从而得2b 2-a 2=1.
点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=a b a |
2|-.
所以5d 2=|a-2b|2=a 2+4b 2-4ab=2a 2+2b 2-4ab+1=2(a-b)2+1≥1,
当且仅当a=b 时,上式取等号,
此时5d 2=1,从而d 取得最小值.
由此有⎩⎨⎧=-=,
12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.
1,1,1,1b a b a 或 由r 2=2b 2,知r 2=2.
故所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
解法二:同解法一得d=5|
2|b a -,
故a-2b=±5d.
于是a 2=4b 2±5bd+5d 2,①
将a 2=2b 2-1代入①式,
整理得2b 2±54db+5d 2+1=0.②
把它看作关于b 的一元二次方程,由于方程有实根,
故判别式非负,
于是Δ=8(5d 2-1)≥0,
解得5d 2≥1.
所以5d 2有最小值1,从而d 有最小值5
5. 将其代入②式得2b 2±4b+2=0,
解得b=±1.
将b=±1代入r 2=2b 2,得r 2=2.
又由r 2=a 2+1,得a=±1.
综上,解得a=±1,b=±1,r 2=2.
由|a-2b|=1,知a 、b 同号.
于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
绿色通道:解题的过程就是实现条件向结论转化的过程.对于直线与圆,需要综合平面几何、解析几何、代数知识,将条件转化成熟悉的形式,以便用常规的解题思路求解.
变式训练4 已知圆的半径为10,圆心在直线y=2x 上,圆被直线x-y=0截得的弦长为24,求圆的方程. 解法一:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10.
由圆心在直线y=2x 上,得b=2a.①
联立直线与圆的方程,得2x 2-2(a+b)x+a 2+b 2-10=0.
∴x 1+x 2=a+b,x 1·x 2=
2
1(a 2+b 2-10). 由弦长公式,得 24)10(2)(24)(1222212212=-+-+•=-+•+b a b a x x x x k .
化简,得a-b=±2.②
由①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4.
∴所求圆的方程为
(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.
解法二:根据半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形,
由勾股定理可得弦心距
d=2810)2
24(22=-=-r . 又∵弦心距等于圆心(a,b)到直线x-y=0的距离,
∴d=2|
|b a -. ∴2|
|b a -=2.
又已知b=2a,∴可解得a=2,b=4或a=-2,b=-4.
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.
问题探究
问题如何求过点(x 0,y 0)的切线方程？
导思:求经过某一点的切线时,只需再找到直线上一点或直线的斜率即可.
确定直线斜率的方法有:
(1)k=tanα,α∈［0,2π)∪(2
π,π); (2)k=1
212x x y y --(x 2≠x 1); (3)l 1∥l 2⇔k 1=k 2;(4)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.
此外,还可通过待定系数法求斜率k,即先设出直线的方程,再依据题意列一个含有k 的方程,通过解方程求得斜率k.特别注意的是:设斜率为k,认为k 是存在的,对于k 不存在的情况要结合题意进行检验.若k 不存在时有意义,需加上相关的直线.
探究:(1)若点(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,则切线方程为x 0x+y 0y=r 2.
若点(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上,则切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2.
(2)斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为y=kx±r 21k +.斜率为k 且与圆
(x-a)2+(y-b)2=r 2相切的切线方程求法,可以设切线为y=kx+m,然后变成一般式kx-y+m=0,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出m,即1|
|2++-k m b ka =r.
(3)若点(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的外面,则设切线方程为y-y 0=k(x-x 0),变成一般式kx-y+y 0-kx 0=0,因为与圆相切,所以有1|
|200+-+-k kx y b ka =r.
由此解出k,若此方程有两组相等实根,则还有一条斜率不存在的切线,务必要补上.。