【河南省】2017学年中原名校高考模拟数学年(理科)试题(八)

所以动圆 P 与圆 M 内切．设动圆 P 半径为 r，则 2 2 r | PM | ．
因为动圆 P 经过点 N，所以 r | PN | ，| PM | | PN | 2 2＞| MN | ，
所以曲线 E 是 M，N 为焦点，长轴长为 2 2 的椭圆．
由 a 2,c 1，得 b2 2 1 1 ， 所以曲线 E 的方程为 x2 y2 1 …（4 分）
, y1 y2

2m2 2 1 2t2
，
又 k1k2 4 ，知 y1y2 4(x1 1)(x2 1) 4(ty1 m 1)(ty2 m 1) 4t2 y1 y2 4(m 1)t( y1 y2 ) 4(m 1)2 ．
- 4 - / 16
代入得 2m2 2 (1 4t2 ) 4(m 1) 4mt2 4(m 1)2

4
≤2
9 2 t2 4 3
t2 4
（当且仅当 t2 17 时取等号）． 2
综上， △ABC 面积的最大值为 2 …（12 分） 3
21．解：（Ⅰ）法 1：函数 f (x) lnx a 的定义域为 (0, ) ． x
由
f
(x)
lnx
a x
，得
f
( x)

1 x

a x2
所以 sin BAP 3sin120° 3 57 ．…（12 分）
19
38
法 2：作 AD BC ，垂足为 D，
- 1 - / 16
因为△APC 是边长为 2 的等边三角形，
所以 PD 1，AD 3，∠PAD 30°．…（7 分）
因为 △APC 的面积是 3 3 ，所以 1 AD PB 3 3 ．…（8 分）
AD
因为 AD 1，所以 CD 6 ．
设 AB x (x＞0) ，则 BD x2 1 ．
依题意 △ABD~△BDC ，所以 AB CD ，即 x 6 ．…（7 分）
AD BD
1 x2 1
- 2 - / 16
解得 x 2 ，故 AB 2, BD 3, BC BD2 CD2 3 ．…（8 分）
5
600
600
600
600
全市老人的总预算为 2812 66 104 2.2176 108 元．
政府执行此计划的年度预算约为 2．2176 亿元．
20．解：（Ⅰ）圆 M : x2 y2 2 y 7 0 的圆心为 M (0, 1) ，半径为 2 2
点 N (0,1) 在圆 M 内，因为动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，
故抽取 16 人中不能自理的 80 岁及以上长者人数为16 3 =6 ．80 岁以下长者人数为 10 人 8
（Ⅱ）在 600 人中 80 岁及以上长者在老人中占比为： 15 20 45 20 = 1 ，
600
6
- 3 - / 16
用样本估计总体，80 岁及以上长者共有 66 1 =11 万， 6
e
e
所以函数 h(x) 在 0＜x＜1 上单调递减，在 (1 , ) 上单调递增．
e
e
当
x

1 e
时， [h( x)]min

1 e

a
．…（6
分）
于是，当 a≥ 2 时， h(x)≥ 1 a≥1 ．①…（7 分）
e
ee
令 (x) xex ，则(x) ex xex ex (1 x) ．
1 2t2
1 2t2
又 m 1，化简得 (m 1)(1 4t2 ) 2(4mt2 ) 2(m 1)(1 2t2 ) ，
解得 m 3 ，故直线 BC 过定点 (3,0) …（8 分）
由 ＞0
，解得 t2＞4
，
S△ABC

1 2
2
|
y2

y1 |
4 t2 4 9 2( t2 4)2
4 3 3 1 3 57 ．…（12 分） 19 2 19 2 38
18．解：（Ⅰ）因为 平面ABD 平面BCD,平面ABD 平面BCD BD ， 又 BD DC ，所以 DC 平面ABD ．…（1 分） 因为 AB 平面ABD ，所以 DC AB ．…（2 分） 又因为折叠前后均有 AD AB, DC AD D ，…（3 分） 所以 AB 平面ADC ．…（4 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 AB 平面ADC ，所以二面角 C AB D 的平面角为 CAD ．… 又 DC 平面ABD, AD 平面ABD ，所以 DC AD ． 依题意 tan CAD CD 6 ．…（6 分）
如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz ，则 D(0, 0, 0),B ( 3, 0, 0),C (0, 6, 0)E, ( 3 , 6 , 0)A, ( 3 , 0, 6 ，)
22
33
所以 DE ( 3 , 6 ,0), DA ( 3 ,0, 6 ) ．
22
33
由（Ⅰ）知平面 BAD 的法向量 n (0,1,0) ．…（9 分）
所以 △APC 是等边三角形．…
所以 ACP 60°．…（6 分）
（Ⅱ）法 1：由于 APB 是 △APC 的外角，所以 APB 120°．…（7 分）
因为△APB 的面积是 3 3 ，所以 1 AP PB sin APB 3 3 ．…（8 分）
2
2
2
所以 PB 3 ．…（9 分）
由余弦定理得 PC2 AP2 AC2 2 AP AC cos PAC ，…（1 分）
所以 22 AP2 (4 AP)2 2 AP (4 AP) cos 60 ，
整理得 AP2 4AP 4 0 ，…（2 分）
解得 AP 2 ．…（3 分）
所以 AC 2 ．…（4 分）

xa x2
．…（1
分）
因为 a＞0 ，则 x (0, a) 时， f (x)＜0 ； x (a, ) 时， f (x)＞0 ．
所以函数 f (x) 在 (0, a) 上单调递减，在 (a, ) 上单调递增．…（2 分）
当 x a 时，[ f (x)min ] ln a 1．…（3 分）
当 0＜x＜1时， f (x)＞0 ；当 x＞1 时， f (x)＜0 ．
所以函数(x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减．
当
x
1 时，[(x)]max

1 e
．…（8
分）
于是，当 x＞0 时，(x)≤1 ．②…（9 分） e
显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．
故当 x＞0 ， a≥ 2 时， x ln x a＞xex ．…（10 分） e
因为 b＞1 ，所以 ln b＞0 ．
所以 ln b ln(ln b) a＞ln b elnb …（11 分）
所以 ln(ln b) a ＞1 ，即 f (ln b)＞1 ．…（12 分）
ln b b
b
22．解：（Ⅰ）因为 2 cos( π) 1 0 ， 4
河南省 2017 年中原名校高考模拟数学（理科）试卷（八）
答案
一、选择题 1~5．CADBD 6~10．ABDBA 11~12．DC 二、填空题 13． 3
2 14．800 15．17 16．2 112 三、解答题
17．解：（Ⅰ）在 △APC 中，因为 PAC 60°, PC 2, AP AC 4 ，
2
2
2
所以 PB 3 ．…（9 分）
所以 BD 4 ．
在 Rt△ADB 中， AB BD2 AD2 19 ，…（10 分）
所以 sin BAD BD 4 ,cos BAD AD 3 ．
AB 19
AB 19
所以 sin BAP sin(BAD cos30°) sin BAD cos30° cos BADsin 30°…（11 分）
80 岁及以上长者占户籍人口的百分比为 11 100% 2.75% ． 400
（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为 X 元，
P(x 0) 4 , P(x 120) 1 475 95 , P(x 200) 1 85 17 , P(x 220) 1 25 5
由图可知二面角 B AD E 的平面角为锐角， 所以二面角 B AD E 的余弦值为 1 ．…（12 分）
2
19．解：（Ⅰ）数据整理如下表：
健康状况
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80 岁及以上
20
45
20
15
80 岁以下
200
225
50
25
从图表中知不能自理的 80 岁及以上长者占比为： 15 3 ， 15 25 8
在 △APB 中， AB2 AP2 PB2 2 AP PB cos APB 22 32 2 2 3 cos120? 19 ，
所以 AB 19 ．…（10 分）
在 △APB 中，由正弦定理得 AB PB ，…（11 分） sin APB sin BAP
令 g(x) x ln x ，则 g(x) (ln x 1) ．
当 x (0, 1) 时， g(x)＞0 ； 当 x (1 , ) 时， g(x)＜0 ．
e
e
所以函数 g(x) 在 (0, 1) 上单调递增，在 (1 , ) 上单调递减．…（2 分）
e
e
故 x 1 时，函数 g(x) 取得最大值 g(1) 1 ln 1 1 ．…（3 分）
当 ln a 1≤0 ，即 0＜a≤1 时，又 f (1) ln1 a a＞0 ，则函数 f (x) 有零点．…（4 分） e
所以实数 a 的取值范围为 (0, 1] ． e
法 2：函数 f (x) lnx a 的定义域为 (0, ) ． x
由 f (x) lnx a ，得 a x ln x ．…（1 分） x
设平面 ADE 的法向量 m (x, y, z)
由m
DE 0, m

DA

0
得

3 2
x
6 y0 2

3 x 3
6 z0 3
令 x 6 ，得 y 3, z 3 ，
所以 m ( 6, 3, 3) ．…（10 分）
所以 cosn, m n m 1 ．…（11 分） |n| |m| 2
所以 cos sin 1 0
由 x cos , y sin ，
得 x y 1 0 …（3 分）
因为
x

4t 2
消去
t
得
ห้องสมุดไป่ตู้y2

4x
，
y 4t
所以直线 l 和曲线 C 的普通方程分别为 x y 1 0 和 y2 4x ．…（4 分） （Ⅱ）点 M 的直角坐标为 (1,0) ，点 M 在直线 l 上，

2
设直线
l
的参数方程：
x

1

2

y

2t 2
t （t 为参数），A，B 对应的参数为 t1,t2
2 （Ⅱ）直线 BC 斜率为 0 时，不合题意
设 B(x1, y1),C(x2 , y2 ) ，直线 BC : x ty m ，
x ty m
联立方程组

x
2

y2 2
得 (1 2t2 ) y2 1
4mty 2m2
2 0, y1

y2
4mt 1 2t2
e
e eee
因而函数 f (x) lnx a 有零点，则 (1 , ) ．…（4 分）
x
e
所以实数 a 的取值范围为 (0, 1] ． e
（Ⅱ）证明：令 h(x) x ln x a ，则 h(x) ln x 1．
- 5 - / 16
当 0＜x＜1 时， h(x)＜0 ；当 x＞1 时， h(x)＞0 ．
,
5
5 600 600
5 600 600
5 600 600
P(x 300) 1 15 3 ， 5 600 600
则随机变量 X 的分布列为：
X
0
120
200
220
300
P
4
95
17
5
3
5
600
600
600
600
E(X) 0 4 120 95 200 17 220 5 300 3 28 ，