山东省聊城市堂邑中学2013届高三10月月考数学理试题

山东省聊城市堂邑中学2013届高三10月月考
数学理试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题 1．设a 是实数，且
，则实数=a （ ） A.1- B.1 C.2 D.2-
2．若一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小 ( )
A.相等
B.互补
C.
相等或互补
D.无法确定 3．ABC ∆
的外接圆的圆心为O
,，则AO BC ⋅等于（ ）
4．某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的体积是（ ）
5．的图象上有一点)cos ,(t t P ，
此函数图象与x 轴及直线t x =围成图形（如图阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的函数关系)(t g S =的图象可以是（ ）
俯视图
侧视图 正视图
A. B. C. D.
6．设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x
恒成立，则cos b c
a
的值等于（ ）
C. 1-
D.1
7．集合{0,1,2,3,4},{0,2,4},M
N P M N ===,则P 的子集共有( )
A.6个
B.8个
C.10个
D.12个 8．下列函数中,即是偶函数又在),0(+∞单调递增的函数是( ) A.3y
x = B.3y x =-+
C.2
1y x =-- D.2
x
y =
9．函数
()(3)x f x x e =-的单调增区间是
A.(,2)-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2,)+∞ 10．下列命题错误的是
A. 命题“若02
2
=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，则
022≠+y x ”；
B. 若命题01,:02
00≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2
>+-∈∀⌝x x R x p ；
C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件；
D. 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角. 11．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2
||π
ϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，
只需把)(x f y =的图象上所有点
A.向右平移
6
π
个单位长度 B.向右平移
12
π
个单位长度
C.向左平移
6
π
个单位长度 D.向左平移
12
π
个单位长度
12．若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++=，AB AC mAP +=，则实数m 的值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则b 的最大值是 ; 14．若方程044=-+ax x 的各个实根k x x x ,,,21 )4(≤k 所对应的点
均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是__________. 15．
32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值是_________.
16．△ABC 中B=120°,AC=23,AB=2,则△ABC 的面积为_________.
三、解答题
17．(本题分12分）
从装有2只红球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同． （Ⅰ）若抽取后又放回,抽取3次,求恰好抽到2次为红球的概率;
（Ⅱ）若抽取后不放回,设抽完红球所需的次数为ξ,求ξ的分布列及期望． 18．(本题分12分）
如图，斜率为1的直线过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，与抛物线交于两点A 、B, 将直线AB 按向量(),0a p =-平移得到直线l ,N 为l 上的动点,M 为抛物线弧AB 上的动点
. (Ⅰ) 若求抛物线方程. (Ⅱ)求ABM S ∆的最大值. (Ⅲ)求NA NB ⋅的最小值.
19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程为（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为
θθρsin 6cos 2+=.
（Ⅰ）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由. 20．已知平面上三个向量,,,a b c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为0
120。

（I ）求证：()a b c -⊥； （II ）若
1()ka b c k R ++>∈，求k 的取值范围。

21．设
121()log 1
ax f x x -=-为奇函数，a 为常数。

（I ）求a 的值； （II ）证明
()f x 在区间(1,)+∞内单调递增；
（III ）若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2
x f x m >+恒成立，
求实数m 的取值范围。

参考答案
1．B
B 2．D
【解析】解：如果两个二面角的半平面分别对应垂直，那么这两个二面角角相等或互补”（面与二面角的性质）但是这个命题不一定正确，如下图就是一个反例.
正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角D-AA 1-F 与二面角D 1-DC-A 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故选：D ． 3．C
【解析】由AB ，AC 及BC 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC 为直角三角形，即A 为直角，可得BC 为圆的直径，O 为BC 中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据BC
AO 及CO
再由AC
在三角形AOC 中设出∠AOC=α，利用余弦定理求出cos α的值，然后利用平面向量的数量积运算法则表示出所求的式子，利
C 4．C
【解析】根据图示可知该三棱锥的高为4，底面是直角三角形，两直角边为5和4，那么利用体积公式可知为
故选C 5．C
的图象上有一点)cos ,(t t P ，此函数图象与x 轴及直线t x =围成图形（如图阴影部分）的面积为S 可以用定积分表示并且可知面面线
变大在变大，而且变化先快，后慢，选C 6．C
【解析】解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f （x ）+f （x-c ）=2，于是取
c=π，则对任意的x∈R，f （x ）+f （x-c ）=1
，选C
7．B
【解析】{0,2,4}
P M N ==，所以P 的子集共有8个 8．D
【解析】偶函数是A ，B ，C 。

因为当(0,)x ∈+∞时，2
x
y =是增函数
9．D 【解析】()(3)(2)0,2x x x
f x e x e e x x '=+-=->>,应选D
10．D
【解析】a 与b 的夹角为180时，0<⋅b a ，但a 与b 的夹角不是钝角,所以D 错。

11．A
【解析】74(
),2123T πππω=-=∴=,又因为732,1223
πππ
ϕϕ⨯+=∴=, 所以()s i n (2)3
f x x
π
=+，
因而只需将f(x)的图像向右平移6
π
个单位长度 12．B 【解析】
P B P C A P +=，,AB AC mAP PB PA PC PA mAP ∴+=∴-+-=，
(2)PB PC m AP +=-，所以m-2=1,所以m=3
13．0
【解析】由于圆C 的方程为（x-4）2
+y 2
=1，由题意可知，只需（x-4）2
+y 2
=4
有公共点即可，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可，得到b 的最大值是0 14．()()+∞⋃-∞-,66,
【解析】解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x 3
y=x 3
+a 与曲线
y=x 3+a 是由曲线y=x 3
向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点(x i
)（i=1，2，…，k ）均在直线y=x 的同侧，
因直线y=x 与
交点为：（-2，-2），（2，2）；所以结合图象可得a ＞0且x 3+a ＞-2且x ＜-2
或者a ＜0且x 3+a ＜2且x ＞2，解得a 的范围是
()()+∞⋃-∞-,66,
15．2
【解析】由2
()360,0,2f x x x x x '=-=∴
==,所以当x=0时，f(x)取极大值，也是最大值f(0)=2。

16
．
【解析
】22
2
()222c o s 120,2,
a
a a =+-⨯⨯⨯∴= 1
22sin12032
S ∴=⨯⨯⨯
=17．（Ⅱ）()4E ξ=。

【解析】本题考查排列组和、离散型随机变量的分布列问题，同时考查利用概率分析、解决
问题的能力．在取球试验中注意是否有放回
（1）抽取后又放回，每次取球可看作独立重复试验，利用独立重复试验求解即可． （2）抽取后不放回，ξ所有可能的取值为2，3
，4，5，分别求出其概率即可． 解: 分 所以抽取3次恰好抽到2
分
（Ⅱ）2,3,4,5
ξ=-------------------5分
-------------9分
ξ的分布列为
所以()4E ξ=---------------------------12分 18．（1）2
4y x =. (2) (3)当0x p =时, NA NB ⋅的最小值为 【解析】此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算
（1）根据抛物线的定义得到|AB|=x 1+x 2+p=4p ，再由已知条件，得到抛物线的方程；（2）设直线l 的方程及N 点坐标和A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用向量坐标运算，求得
⋅NA NB 的以N 点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值.
解：（1
，消去x 123x x p +=，由抛物线定义
，即2p =，则抛物线方程为
2
4y x =.-------------3分
(2)由(1)
则M 到
AB 距离:
因,M O 在直线AB 的同侧,
则当0y p =时
分 (3) ,()()1122,,,A x y B x y , 则NA x ⎛
=- NB x ⎛
=-
即2
NA NB x x ⋅=由
①
知
123x x p
+=,
4
,
122y y p
+=，则
2
2NA NB x ⋅=即(2NA
NB x ⋅=当0x p =时, NA NB ⋅的最(其它方法酌情给分)-------- ------12分
【答案】（I ）10)3()1(2
2
=-+-y x ；（II
【解析】本题主要考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
（1）根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程；
（2）先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较，设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C 1C 2，建立等量关系，解之即可．
解：（I 得10)2(2
2=++y x ，
∴曲线1C 的普通方程为10)2(2
2
=++y x ---------------------2分 ∵θθρsin 6cos 2+=，∴θρθρρsin 6cos 22+=，
∵2
2
2
y x +=ρ，θρθρsin ,cos ==y x ，∴y x y x 622
2
+=+， 即10)3()1(2
2
=-+-
y x ，
∴曲线2C 的直角坐标方程为10)3()1(2
2
=-+-y x -------------------5分 （II ）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1(， ------------------8分
设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C ,
分 20．（Ⅰ）证明略 22222()112221II ka b c ka b c k a b c ka b ka c b c ++>⇔++>⇔+++∙+∙+∙> 22221,120,
11,,2
20,20.
a b c a b c a b c a b b c a c k k k k ===︒∴===∙=∙=∙=-∴->∴><且,,,的夹角均为或 【解析】(I)根据向量垂直的条件可证
()0a b c a c b c -∙=∙-∙=即可.
(II) 不等式211ka b c ka b c ++>⇔++> 22222221k a b c ka b ka c b c ⇔+++∙+∙+∙>
然后再把给的数据代入即可得到关于k 的不等式求出k 的取值范围
21．（Ⅰ）1a ∴=-。

（Ⅱ）略（III ）31231991log (),31288
m +-=-∴<--
【解析】(I)根据f(-x)+f(x)=0恒成立，可求得a 值。

（II ）根据复合函数的单调性在（I ）知道a 值的情况下，可以研究内函数1()1
ax g x x -=-它在(1,)+∞上是减函数即可。

(III) 解本小题的关键是把原不等式转化为1()()2x f x m ->，然后
令1()()()2
x x f x ϕ=-，则()x m ϕ>对于区间[3,4]上的每一个x 都成立进一步转化为()x ϕ在[3,4]上的最小值大于m。